高一數(shù)學上學期周清 第20周 立體幾何中的向量方法 理
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理科第20周 立體幾何中的向量方法 核心知識 1.空間的角 (1)異面直線所成的角 如圖,已知兩條異面直線a、b,經(jīng)過空間任一點O作直線a′∥a,b′∥b.則把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角). (2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個平面所成的角.①直線垂直于平面,則它們所成的角是直角;②直線和平面平行,或在平面內(nèi),則它們所成的角是0的角. (3)二面角的平面角 如圖在二面角αlβ的棱上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則∠AOB叫做二面角的平面角. 2.空間向量與空間角的關(guān)系 (1)設(shè)異面直線l1,l2的方向向量分別為m1,m2,則l1與l2的夾角θ滿足cos θ=|cos〈m1,m2〉|. (2)設(shè)直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m,n,則直線l與平面α的夾角θ滿足sin θ=|cos〈m,n〉|. (3)求二面角的大小 (ⅰ)如圖①,AB、CD是二面角αlβ的兩個面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=〈,〉. (ⅱ)如圖②③,n1,n2分別是二面角αlβ的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足cos θ=cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉. 自我測評 1.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點,N是A1B1上的動點,則直線NO、AM的位置關(guān)系是( ). A.平行 B.相交 C.異面垂直 D.異面不垂直 解析 建立坐標系如圖,設(shè)正方體的棱長為2, 則A(2,0,0),M(0,0,1), O(1,1,0),N(2,t,2),=(-1,1-t,-2), =(-2,0,1),=0,則直線NO、AM的 位置關(guān)系是異面垂直. 答案 C 2.如果平面的一條斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別是a=(1,0,1),b=(0,1,1),那么,這條斜線與平面所成的角是_______. 解析 ∵cos〈a,b〉==, 又∵〈a,b〉∈[0,π],∴〈a,b〉=60. 3.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角的大小為_______. 解析 cos〈m,n〉===, 即〈m,n〉=45,其補角為135, ∴兩平面所成的二面角為45或135.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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