高考數(shù)學(xué)三輪增分練 高考小題分項(xiàng)練13 推理與證明 文
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高考小題分項(xiàng)練13 推理與證明 1.在一個(gè)俱樂(lè)部里,有老實(shí)人和騙子兩類(lèi)成員,老實(shí)人永遠(yuǎn)說(shuō)真話,騙子永遠(yuǎn)說(shuō)假話,一次我們和俱樂(lè)部的四個(gè)成員談天,我們便問(wèn)他們:“你們是什么人,是老實(shí)人?還是騙子?”這四個(gè)人的回答如下: 第一個(gè)人說(shuō):“我們四個(gè)人全都是騙子”; 第二個(gè)人說(shuō):“我們當(dāng)中只有一個(gè)人是騙子”; 第三個(gè)人說(shuō):“我們四個(gè)人中有兩個(gè)人是騙子”; 第四個(gè)人說(shuō):“我是老實(shí)人”. 請(qǐng)判斷一下,第四個(gè)人是老實(shí)人嗎?________.(請(qǐng)用“是”或“否”作答) 答案 是 解析 依據(jù)題設(shè)條件可知前三個(gè)人的說(shuō)法都是在撒謊,因說(shuō)別人是騙子的都是不誠(chéng)實(shí)的,所以依據(jù)題設(shè)中的規(guī)則第四個(gè)人說(shuō)的是真話,即第四個(gè)人是老實(shí)人,所以應(yīng)填是. 2.用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x2+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是________. ①方程x2+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根; ②方程x2+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根; ③方程x2+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根; ④方程x2+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根. 答案?、? 解析 反證法證明問(wèn)題時(shí),反設(shè)實(shí)際是命題的否定,∴用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x2+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是方程x2+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根. 3.觀察下列規(guī)律|x|+|y|=1的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為4,|x|+|y|=2的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為8,|x|+|y|=3的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為12,….則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解(x,y)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 答案 80 解析 觀察可得不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)4,8,12,…可以構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為4,公差為4的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=4n,則所求為第20項(xiàng),所以a20=80. 4. n=表示一個(gè)三位數(shù),記f(n)=(a+b+c)+(ab+bc+ac)+abc,如f(123)=(1+2+3)+(12+23+13)+123=23,則滿(mǎn)足f(n)=n的三位數(shù)共有______個(gè). 答案 9 解析 因?yàn)閍+b+c+ab+bc+ac+abc=100a+10b+c,所以(ab+a+b)(c+1)=10(10a+b)?c+1=10,ab+a+b=10a+b?b=9,a取1到9,共9個(gè). 5.對(duì)于任意正整數(shù)n,定義“n??!”如下:當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),n?。。絥(n-2)(n-4)…642,當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),n?。。絥(n-2)(n-4)…531,且有n?。絥(n-1)(n-2)…321.現(xiàn)有四個(gè)命題: ①2 016?。? 015?。。? 016??;②2 016?。。?1 0081 008??;③2 015?。〉膫€(gè)位數(shù)字是5;④2 014??!的個(gè)位數(shù)字是0. 其中正確的命題有________個(gè). 答案 4 解析 根據(jù)題意,依次分析四個(gè)命題可得: 對(duì)于①,2 016?。? 015?。。?2468…2 0082 0102 0122 0142 016)(1357…2 0092 0112 0132 015)=12345…2 0122 0132 0142 0152 016=2 016!,故①正確;對(duì)于②,2 016?。。?46810…2 0082 0102 0122 0142 016=21 008(1234…1 008)=21 0081 008!,故②正確;對(duì)于③,2 015!?。? 0152 0132 011…31,其個(gè)位數(shù)字與13579的個(gè)位數(shù)字相同,故其個(gè)位數(shù)字為5,故③正確;對(duì)于④,2 014?。。?468…2 0082 0102 0122 014,其中含有10,故個(gè)位數(shù)字為0,故④正確. 6.如圖所示,將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案,每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n>1,n∈N*)個(gè)點(diǎn),相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an,則+++…+=______. 答案 解析 由已知,a2=3=3(2-1),a3=6=3(3-1), a4=9=3(4-1),a5=12=3(5-1),…,an=3(n-1), 數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3,公差為3的等差數(shù)列, 通項(xiàng)為an=3(n-1)(n≥2). 所以==(-), 則+++…+ =9(1-+-+…+-) =1-=. 7. 已知數(shù)列{an}是正項(xiàng)等差數(shù)列,若cn=,則數(shù)列{cn}也為等差數(shù)列.已知數(shù)列{bn}是正項(xiàng)等比數(shù)列,類(lèi)比上述結(jié)論可得__________. ①若{dn}滿(mǎn)足dn=,則{dn}也是等比數(shù)列; ②若{dn}滿(mǎn)足dn=,則{dn}也是等比數(shù)列; ③若{dn}滿(mǎn)足dn=[b1(2b2)(3b3)…(nbn)],則{dn}也是等比數(shù)列; ④若{dn}滿(mǎn)足dn=[b1bb…b],則{dn}也是等比數(shù)列. 答案?、? 解析 等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系有:等差數(shù)列中的加法對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的乘法,等差數(shù)列中的除法對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的開(kāi)方,據(jù)此,我們可以類(lèi)比得:若{dn}滿(mǎn)足dn=[b1bb…b],則{dn}也是等比數(shù)列. 8.已知an=log(n+1)(n+2) (n∈N*),觀察下列運(yùn)算: a1a2=log23log34==2; a1a2a3a4a5a6=log23log34…log78=…=3; … 若a1a2a3…ak (k∈N*)為整數(shù),則稱(chēng)k為“企盼數(shù)”,試確定當(dāng)a1a2a3…ak=2 017時(shí),“企盼數(shù)”k為_(kāi)_________. 答案 22 017-2 解析 a1a2a3…ak==2 017 ?lg(k+2)=lg 22 017?k=22 017-2. 9.已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費(fèi)為1.8元,某食品加工廠對(duì)餅干采用兩種包裝,其包裝費(fèi)用、銷(xiāo)售價(jià)格如表所示: 型號(hào) 小包裝 大包裝 重量 100克 300克 包裝費(fèi) 0.5元 0.7元 銷(xiāo)售價(jià)格 3.00元 8.4元 則下列說(shuō)法正確的是________. ①買(mǎi)小包裝實(shí)惠;②買(mǎi)大包裝實(shí)惠;③賣(mài)3小包比賣(mài)1大包盈利多;④賣(mài)1大包比賣(mài)3小包盈利多. 答案?、冖? 解析 大包裝300克8.4元,則等價(jià)為100克2.8元,小包裝100克3元,則買(mǎi)大包裝實(shí)惠,故②正確;賣(mài)1大包盈利8.4-0.7-1.83=2.3(元),賣(mài)1小包盈利3-0.5-1.8=0.7(元),則賣(mài)3小包盈利0.73=2.1(元),則賣(mài)1大包比賣(mài)3小包盈利多.故④正確. 10.如果甲的身高數(shù)或體重?cái)?shù)至少有一項(xiàng)比乙大,則稱(chēng)甲不亞于乙.在100個(gè)小伙子中,如果某人不亞于其他99人,就稱(chēng)他為棒小伙子,那么100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有______個(gè). 答案 100 解析 先推出兩個(gè)小伙子的情形,如果甲的身高數(shù)>乙的身高數(shù),且乙的體重?cái)?shù)>甲的體重?cái)?shù),可知棒小伙子最多有2人.再考慮三個(gè)小伙子的情形,如果甲的身高數(shù)>乙的身高數(shù)>丙的身高數(shù),且丙的體重?cái)?shù)>乙的體重?cái)?shù)>甲的體重?cái)?shù),可知棒小伙子最多有3人.由此可以設(shè)想,當(dāng)有100個(gè)小伙子時(shí),設(shè)每個(gè)小伙子為Ai(i=1,2,…,100),其身高數(shù)為xi,體重?cái)?shù)為yi, 當(dāng)y100>y99>…>yi>yi-1>…>y1,x1>x2>…>xi>xi+1>…>x100時(shí),由身高看,Ai不亞于Ai+1,Ai+2,…,A100;由體重看,Ai不亞于Ai-1,Ai-2,…,A1,所以,Ai不亞于其他99人(i=1,2,…,100),所以,Ai為棒小伙子(i=1,2,…,100).因此,100個(gè)小伙子中的棒小伙子最多可能有100個(gè). 11.如圖甲所示,在直角△ABC中,AC⊥AB、AD⊥BC,D是垂足,則有AB2=BDBC,該結(jié)論稱(chēng)為射影定理.如圖乙所示,在三棱錐A—BCD中,AD⊥平面ABC,AO⊥平面BCD,O為垂足,且O在△BCD內(nèi),類(lèi)比直角三角形中的射影定理,則有________. 答案 S=S△BCOS△BCD 解析 從題中條件不難發(fā)現(xiàn):圖甲中的AC⊥AB對(duì)應(yīng)圖乙中的AD⊥平面ABC,圖甲中的AD⊥BC對(duì)應(yīng)圖乙中的AO⊥平面BCD,因此在類(lèi)比的結(jié)論中,圖甲中的邊AB對(duì)應(yīng)圖乙中的面ABC,圖甲中的邊BC對(duì)應(yīng)圖乙中的面BCD,圖甲中的邊BD對(duì)應(yīng)圖乙中的面BOC. 12.設(shè)S= + + +…+,則不大于S的最大整數(shù)[S]=________. 答案 2 014 解析 ∵ = ==1+(-), ∴S=1+(-)+1+(-)+…+1+(-)=2 015-,故[S]=2 014. 13.在平面上,我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角,那么截下的一個(gè)直角三角形,按下圖所標(biāo)邊長(zhǎng),由勾股定理有:c2=a2+b2.設(shè)想正方形換成正方體,把截線換成如圖的截面,這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三個(gè)側(cè)面面積,S4表示截面面積,那么類(lèi)比得到的結(jié)論是________. 答案 S+S+S=S 解析 將側(cè)面面積類(lèi)比為直角三角形的直角邊,截面面積類(lèi)比為直角三角形的斜邊,可得S+S+S=S. 14.對(duì)于E={a1,a2,…,a100}的子集X={ai1,ai2,…,aik},定義X的“特征數(shù)列”為x1,x2,…,x100,其中xi1=xi2=…=xik=1.其余項(xiàng)均為0,例如:子集{a2,a3}的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0,…,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”的前3項(xiàng)和等于________; (2)若E的子集P的“特征數(shù)列”p1,p2,…,p100滿(mǎn)足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99;E的子集Q的“特征數(shù)列”q1,q2,…,q100滿(mǎn)足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98,則P∩Q的元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 答案 (1)2 (2)17 解析 (1)子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0,…,0,故前3項(xiàng)和為2. (2)依題意,E的子集P的“特征數(shù)列”為1,0,1,0,1,0,…,1,0,所以P={a1,a3,a5,…,a99};E的子集Q的“特征數(shù)列”為1,0,0,1,0,0,1,0,0,…,1,0,0,1,所以Q={a1,a4,a7,…,a97,a100}.將目標(biāo)轉(zhuǎn)化為求數(shù)列Mn=2n-1與數(shù)列Ln=3n-2在1≤n≤100,n∈N時(shí)有幾個(gè)公共元素,所以P∩Q={a1,a7,a13,…,a97},因?yàn)?7=1+(17-1)6,所以共有17個(gè)元素.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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