高中數(shù)學(xué) 第一章 統(tǒng)計案例 第2節(jié) 獨立性檢驗（第1課時）學(xué)案 北師大版選修1-21

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2.1　條件概率與獨立事件 1．了解條件概率的概念，會用條件概率公式求解簡單的實際問題． 2．理解相互獨立事件的意義，理解相互獨立事件同時發(fā)生的概率乘法公式． 1．條件概率 (1)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為_________________，記為____________． (2)當(dāng)P(B)＞0時，有__________． (1)其中，A∩B也可以寫成AB，即A，B同時發(fā)生，上式為P(A|B)＝； (2)當(dāng)P(A)＞0時，A發(fā)生時B發(fā)生的概率為P(B|A)＝. 【做一做1－1】 已知P(AB)＝，P(A)＝，則P(B|A)等于(　　)． A. B. C. D. 【做一做1－2】 把一枚硬幣任意擲兩次，事件A＝{第一次出現(xiàn)正面}，事件B＝{第二次出現(xiàn)正面}，則P(B|A)等于(　　)． A. B. C. D. 2．相互獨立事件 (1)對于兩個事件A，B，如果__________，則稱A，B相互獨立． 注意區(qū)別事件間的“互斥”與“相互獨立”的概念，兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，可能同時發(fā)生． (2)如果A，B相互獨立，則A與________，與____，與________也相互獨立． 如果A，B相互獨立，則有 P(A)＝P(A)P()＝P(A)[1－P(B)]， P(B)＝P()P(B)＝[1－P(A)]P(B)， P(　)＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]． (3)如果A1，A2，…，An相互獨立，則有P(A1A2…An)＝__________. 【做一做2】 已知A，B是相互獨立事件，且P(A)＝，P(B)＝，則P(A)＝________，P(　)＝__________. 答案：1．(1)B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率　P(A|B)　(2)P(A|B)＝ 【做一做1－1】 B 【做一做1－2】 B　由題意，知P(A)＝，P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝＝. 2．(1)P(AB)＝P(A)P(B)　(2)　B　 (3)P(A1)P(A2)…P(An) 【做一做2】 　　∵P(A)＝， ∴P()＝1－＝. ∵P(B)＝，∴P()＝1－＝. ∴P(A　)＝P(A)P()＝＝， P(　)＝P()P()＝＝. 對條件概率的理解 剖析：在解答概率問題時，首先要分清楚題目是條件概率，還是無條件概率，條件概率是指所求事件的發(fā)生是有前提條件的，是指在已知事件A必然發(fā)生的前提下，只需局限在A發(fā)生的范圍內(nèi)考慮問題即可，在事件A發(fā)生的前提下事件B發(fā)生，等價于事件A和事件B同時發(fā)生，即AB發(fā)生，由古典概型知其條件概率為P(B|A)＝＝＝，其中n(Ω)為一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n(A)為事件A所包含的結(jié)果數(shù)，n(AB)為A與B同時發(fā)生時的結(jié)果數(shù)．特別地，如果A為必然事件，即P(A)＝1，則事件B發(fā)生的概率可認為是無條件概率． 題型一 區(qū)分條件概率與非條件概率 【例題1】 在由12道選擇題和4道填空題組成的16道考題中，如果不放回地依次抽取2道題． 求：(1)第一次抽到填空題的概率； (2)第一次和第二次都抽到填空題的概率； (3)在第一次抽到填空題的前提下，第二次抽到填空題的概率． 分析：(1)為無條件古典概型，(2)為相互獨立事件同時發(fā)生的概率，(3)為條件概率，可由(1)(2)求出． 反思：本題中(1)(2)為無條件概率，(3)為條件概率，通過本題體會兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系． 題型二 計算條件概率的方法 【例題2】 設(shè)有大小相同的6個白色球和4個紅色球放在一個袋子里．現(xiàn)從中不放回地依次取出兩球，在已知第一次取出的是白球的情況下，求第二次取出的是紅球的概率． 分析：本題為條件概率，根據(jù)計算公式，需要分清楚兩個事件中哪個事件是前提條件，再由公式計算． 反思：在求條件概率時，要明確條件事件A和在事件A發(fā)生的條件下，事件B是什么，再由公式求出． 題型三 相互獨立事件至少有一個發(fā)生的概率 【例題3】 甲射擊擊中目標的概率是，乙射擊擊中目標的概率是，丙射擊擊中目標的概率是，現(xiàn)在三人同時射擊目標，求目標被擊中的概率． 分析：甲、乙、丙分別射中目標是相互獨立的，利用獨立事件來求概率，目標被擊中是指甲、乙、丙三人至少有一人射中目標．常從反面解答，即求出目標未被擊中的概率． 反思：已知事件A、事件B、事件C為相互獨立事件，則，，也為相互獨立事件，即P(　　)＝P()P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]． 對于相互獨立事件至少有一個發(fā)生，常轉(zhuǎn)化為對立面都不發(fā)生來求解． 答案：【例題1】 解：設(shè)第一次抽到填空題為事件A，第二次抽到填空題為事件B，則第一次和第二次都抽到填空題為事件AB. (1)P(A)＝＝. (2)P(AB)＝＝. (3)P(B|A)＝＝＝. 【例題2】 解：設(shè)第一次取出白球為事件A，第二次取出紅球為事件B， 則P(A)＝＝， 而P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝＝， 即在第一次取出白球的情況下，第二次取出紅球的概率為. 【例題3】 解：設(shè)甲擊中目標為事件A，乙擊中目標為事件B，丙擊中目標為事件C，目標未被擊中為事件，事件A，B，C相互獨立， 則目標被擊中的概率P＝1－P()＝1－P()P()P()＝1－[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝1－＝，即目標被擊中的概率為. 1(2010江西高考)有n位同學(xué)參加某項選拔測試，每位同學(xué)能通過測試的概率都是p(0＜p＜1)，假設(shè)每位同學(xué)能否通過測試是相互獨立的，則至少有一位同學(xué)能通過測試的概率為(　　)． A．(1－p)n B．1－pn C．pn D．1－(1－p)n 答案：D　(間接法)每位同學(xué)不能通過測試的概率為1－p， 所以n位同學(xué)全通不過測試的概率為(1－p)n， 故至少有一位同學(xué)能通過測試的概率為1－(1－p)n. 2設(shè)有兩名射手射擊同一目標，命中的概率分別為0.8和0.7，若各射擊一次，目標被擊中的概率是(　　)． A．0.56 B．0.92 C．0.94 D．0.96 答案：C 3甲、乙、丙3人投籃，投進的概率分別是，，，現(xiàn)3人各投籃1次，則3人中恰有2人投進的概率為____________． 答案：　甲、乙、丙投籃投進分別記作事件A，B，C，它們相互獨立，則3人中恰有2人投進的概率為 P＝P(AB＋AC＋BC) ＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()P(B)P(C) . 4某市派出甲、乙兩支球隊分別參加全省青年組、少年組足球賽，甲、乙兩隊奪冠的概率分別為和，則該市奪取冠軍的概率是____________． 答案：　設(shè)甲支球隊奪冠為事件A，乙支球隊奪冠為事件B，則A，B兩個事件相互獨立，該市奪冠為事件A＋B＋AB，概率為P(A＋B＋AB)＝P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B)，或1－P()＝1－P()P()＝. 5甲、乙同時向一敵機炮擊，已知甲擊中敵機的概率為0.6，乙擊中敵機的概率為0.5. (1)求甲、乙都未擊中敵機的概率； (2)求敵機被擊中的概率． 分析：本題中甲、乙擊中敵機的事件是相互獨立事件，未被擊中的事件也是相互獨立事件． 解：設(shè)“甲擊中敵機”為事件A，“乙擊中敵機”為事件B，“甲、乙都未擊中敵機”為事件C，“敵機被擊中”為事件D.由題意可知A，B相互獨立，則與也相互獨立． (1)P(C)＝P()＝P()P()＝(1－0.6)(1－0.5)＝0.2. (2)P(D)＝1－P()＝1－0.2＝0.8.