高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計案例 第2節(jié) 獨立性檢驗（第4課時）學案 北師大版選修1-21

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2．4　獨立性檢驗的應用 1．通過對典型案例的探究，了解獨立性檢驗(只要求22列聯(lián)表)的基本思想、方法及初步應用． 2．通過對典型案例的探究，了解實際推斷原理和假設檢驗的基本思想、方法及初步應用，了解隨機變量χ2的含義． 1．22列聯(lián)表 設A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值， 變量A：A1，A2＝________；變量B：B1，B2＝________. 若用a表示變量A取A1，且變量B取B1時的數(shù)據(jù)；用b表示變量A取A1，且變量B取B2時的數(shù)據(jù)；用c表示變量A取A2，且變量B取B1時的數(shù)據(jù)；用d表示變量A取A2，且變量B取B2時的數(shù)據(jù)，則會得到A，B之間的22列聯(lián)表如下： 如何根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)來判斷A，B之間是否獨立，就稱22列聯(lián)表的____________． 22列聯(lián)表中，一定注意A2＝1，B2＝1. 2．A，B相互獨立的條件和結論 若A，B是相互獨立的，則有 P(A1B1)＝________，P(A1B2)＝________， P(A2B1)＝________，P(A2B2)＝________， 反之亦然． A，B是相互獨立事件，則P(AB)＝P(A)P(B)． 3．22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)的作用 設n＝a＋b＋c＋d，用估計P(A1B1)，用估計P(A1)，用估計P(B1)，若有式子______________，則可認為A1與B1獨立． 同理，若______________，則可以認為A1與B2獨立； 若______________，則可以認為A2與B1獨立； 若____________________，則可以認為A2與B2獨立． (1)式子的左、右兩邊的數(shù)表示的是頻率，不同于概率，即使變量之間相互獨立，式子兩邊也不一定恰好相等，但是當兩邊相差很大時，變量之間就不獨立． (2)根據(jù)A2＝1，B2＝1，知＋＝1及＋＝1. 4．獨立性檢驗 統(tǒng)計學選取統(tǒng)計量____________________的大小來檢驗變量之間是否獨立． 在統(tǒng)計中，用以下結果對變量的獨立性進行判斷：其中χ2＝. (1)當χ2≤2.706時，沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關聯(lián)，可以認為變量A，B是沒有關聯(lián)的； (2)當χ2＞2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關聯(lián)； (3)當χ2＞3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關聯(lián)； (4)當χ2＞6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關聯(lián)． 【做一做1】 考察棉花種子是否經(jīng)過處理跟得病之間的關系，得如下表所示的數(shù)據(jù)： 種子處理 種子未處理 總計 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 總計 93 314 407 根據(jù)以上數(shù)據(jù)得χ2的值是__________． 【做一做2】 對196個接受心臟搭橋手術的病人和196個接受血管清障手術的病人進行了3年的跟蹤研究，調查他們是否又發(fā)作過心臟病，調查結果如下表所示： 又發(fā)作 過心臟病 未發(fā)作 過心臟病 總計 心臟搭橋手術 39 157 196 血管清障手術 29 167 196 總計 68 324 392 試根據(jù)上述數(shù)據(jù)比較這兩種手術對病人又發(fā)作過心臟病的影響有沒有差別． 答案：1.1　1　獨立性檢驗 2．P(A1)P(B1)　P(A1)P(B2)　P(A2)P(B1)　P(A2)P(B2) 3.＝?。健。健。? 4．χ2＝ 【做一做1】 0.164 【做一做2】 解：根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝≈1.78. 因為1.78＜2.706，所以我們可以認為病人是否又發(fā)作過心臟病與其做過何種手術無關． 1．利用22列聯(lián)表判斷兩個變量之間是否獨立 剖析：22列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)是通過大量的實驗、調查得到的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)不一定全面反映兩個變量之間的關系，但通過這些數(shù)據(jù)可透視A，B之間的關聯(lián)程度的大小，即我們可以通過計算22列聯(lián)表中變量的頻率來估計．頻率不同于概率，只能用頻率來估計概率，所以即使兩個變量之間相互獨立，頻率也不一定恰好相等，但是當兩邊相差很大時，可以斷定兩個變量之間不相互獨立；如果相差很小，則可以說這兩個分類變量是獨立的． 2．利用22列聯(lián)表判斷兩個變量之間是否獨立的步驟 剖析：第一步：根據(jù)調查結果和數(shù)據(jù)，列出所要研究的兩個變量之間的22列聯(lián)表． 第二步：計算總和，即變量A，B的總數(shù)． 第三步：求頻率． 第四步：判斷． ①兩個變量之間的22列聯(lián)表如下： ②兩個變量的頻率列表如下： 若＝pq，則A1與B1獨立；若＝q(1－p)，則A1與B2獨立；若＝p(1－q)，則A2與B1獨立；若＝(1－p)(1－q)，則A2與B2獨立． 3．獨立性檢驗的理論依據(jù) 剖析：獨立性檢驗的基本思想類似于數(shù)學中的反證法，要確認兩個分類變量A，B是否有關聯(lián)，首先假設該結論不成立，即假設結論“兩個分類變量沒有關系”成立．在該假設下我們構造的隨機變量χ2應該很小，如果由觀測數(shù)據(jù)計算得到的χ2很大，說明變量之間不獨立，則在一定程度上說明假設不合理．根據(jù)隨機變量χ2的含義，由實際計算出χ2＞6.635，說明假設不合理的程度約為99%，也就是兩個分類變量A，B有99%的把握有關聯(lián)． 題型一 列出兩個變量之間的22列聯(lián)表 【例題1】 某企業(yè)為了更好地了解設備改造前后與生產(chǎn)合格品的關系，隨機抽取了180件產(chǎn)品進行分析．其中設備改造前生產(chǎn)的合格品有36件，不合格品有49件；設備改造后生產(chǎn)的合格品有65件，不合格品有30件．請根據(jù)數(shù)據(jù)，列出22列聯(lián)表，可以用本列表研究什么問題？ 分析：對產(chǎn)品進行分類，設備按改造前后分類，產(chǎn)品按合格，不合格分類，列出22列聯(lián)表，研究設備改造前后對產(chǎn)品合格是否有影響． 反思：將文字敘述轉為圖表語言更為清晰，可為進一步研究問題作好充分的準備． 題型二 用頻率來估計概率，判斷變量之間是否有關聯(lián) 【例題2】 甲、乙兩個班級進行數(shù)學學科的考試，按照學生考試成績優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下列聯(lián)表： 請問成績與班級有關系嗎？ 分析：可通過計算各變量的頻率，用頻率來估計概率，并進行判斷． 反思：用頻率來估計概率不是很準確，但也能說明一定的問題．從本題可知學習成績主要取決于個人是否努力，與所在班級關系不大，不要強調外界環(huán)境． 題型三 用統(tǒng)計量χ2來判斷兩個變量之間有無關聯(lián) 【例題3】 2009年春天山東出現(xiàn)了手足口傳染病，在菏澤地區(qū)調查了350人，其中女孩170人，男孩180人，女孩中有14人被感染，其余未被感染；男孩中有21人被感染，其余未被感染． (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個22列聯(lián)表； (2)判斷性別與被感染是否有關系． 分析：先根據(jù)題目的敘述，將文字信息轉為圖表信息，再計算χ2來判斷關聯(lián)程度． 反思：獨立性檢驗在科學研究和日常生活中有著廣泛的應用，有時可以幫助我們作出正確的選擇，獨立性檢驗是利用隨機變量χ2來確定在多大程度上可以認為“兩個變量之間有關系”的方法． 答案：【例題1】 解：根據(jù)題意列出22列聯(lián)表如下： 通過研究此22列聯(lián)表可以研究設備改造前后對產(chǎn)品合格是否有影響． 【例題2】 解：根據(jù)22列聯(lián)表得頻率表如下： 由于＝，而＝； ＝，而＝； ＝，而＝； ＝，而＝. 這些頻率之間相差不大，可以認為成績是否優(yōu)秀與班級沒有關系． 【例題3】 解：(1)22列聯(lián)表如下： (2)由于χ2＝≈1.143 8＜2.706， ∴沒有充分證據(jù)說明性別與被感染有關． 1對分類變量X與Y的隨機變量χ2的值說法正確的是(　　)． A．χ2越大，“X與Y有關系”的把握性越小 B．χ2越小，“X與Y有關系”的把握性越小 C．χ2越接近于0，“X與Y無關系”的把握性越小 D．χ2越大，“X與Y無關系”的把握性越大 答案：B　χ2越大，X與Y越不獨立，所以關聯(lián)越大；相反，χ2越小，關聯(lián)越?。? 2下面是一個22列聯(lián)表： y1 y2 總計 X1 a 21 73 X2 2 25 27 總計 b 46 表中a，b處的值分別為(　　)． A．94,96 B．52,50 C．52,54 D．54,52 答案：C　由表可知73＝a＋21，∴a＝52， ∴b＝a＋2＝52＋2＝54. 3 (2012江蘇揚州)有人發(fā)現(xiàn)，多看電視容易使人變冷漠，下表是一個調查機構對此現(xiàn)象的調查結果： 冷漠 不冷漠 總計 多看電視 68 42 110 少看電視 20 38 58 總計 88 80 168 則大約有__________的把握認為多看電視與人變冷漠有關系． 答案：99%　χ2＝≈11.376 5＞6.635， 所以有99%的把握認為多看電視與人變冷漠有關． 4為了研究休閑方式是否與性別有關，共調查了120人，其中女性68人，男性52人，女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外的25人主要的休閑方式是運動；男性中有19人主要的休閑方式是看電視，另外的33人主要的休閑方式是運動，根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立兩個分類變量的列聯(lián)表． 解：根據(jù)數(shù)據(jù)可得兩個分類變量的列聯(lián)表如下： 看電視 運動 總計 女 43 25 68 男 19 33 52 總計 62 58 120 5在研究某種新措施對豬白痢的防治效果問題時，得到以下數(shù)據(jù)： 存活數(shù) 死亡數(shù) 總計 新措施前 114 36 150 新措施后 132 18 150 總計 246 54 300 試問新措施對防治豬白痢是否有效？ 答案：分析：利用χ2計算有多大把握認為新措施對防治豬白痢是有效果的． 解：由χ2公式，得 χ2＝ ≈7.317. 因為χ2≈7.317＞6.635，因此我們有99%的把握認為新措施對防治豬白痢是有效的．