高中數(shù)學 第三章 推理與證明 第1節(jié) 歸納與類比（第2課時）學案 北師大版選修1-21

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1.2　類比推理 1．理解類比推理的概念，能利用類比推理進行簡單的推理，掌握類比推理解決問題的思維過程． 2．理解合情推理的含義，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)展中的作用． 1．兩類不同對象具有某些類似的特征，在此基礎上，根據(jù)一類對象的其他特征，推斷另一類對象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為__________． 類比推理是數(shù)學命題來源的另一條途徑，也是知識推廣的思維過程．學習立體幾何常常通過類比平面幾何，發(fā)現(xiàn)和得到一些立體幾何的結(jié)論． 2．類比推理是兩類事物______之間的推理，根據(jù)解決問題的需要，可對______、______、______進行類比． 兩類事物有一定的相似之處，可以是實數(shù)與向量、實數(shù)與復數(shù)、圓與球、平面幾何與立體幾何，也可以是不同的圓錐曲線． 數(shù)學的許多分支都有相通之處，也有可類比之處，這有助于我們研究一些陌生的問題，但利用類比推理得出的結(jié)論不一定正確，還需要嚴格的推理證明．這一點與歸納推理類似． 【做一做】 類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體有下列性質(zhì)： ①各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等． 其中正確的是(　　)． A．① B．①② C．①②③ D．③ 3．歸納推理和類比推理是最常見的________．________是根據(jù)實驗和實踐的結(jié)果、個人的經(jīng)驗和直覺、已有的事實和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等)，推測出某些結(jié)果的推理方式． 歸納推理與類比推理都是合情推理．歸納推理是從特殊過渡到一般的思想方法，類比推理是由此及彼和由彼及此的聯(lián)想方法，歸納和類比離不開觀察、分析、對比、聯(lián)想，許多數(shù)學知識都是通過歸納與類比發(fā)掘出來的．學習數(shù)學時要注意培養(yǎng)自己的觀察能力、分析能力、聯(lián)想能力和創(chuàng)新能力．合情推理只是一種猜測，結(jié)論不一定正確． 答案：1．類比推理 2．特征　概念　結(jié)論　方法 【做一做】 C 3．合情推理　合情推理 1．類比推理的使用范圍 剖析：類比推理是根據(jù)兩類不同對象在某些方面的相似之處，推測出這兩類對象在其他方面也可能有相似之處．兩類事物的相似性或共同性是類比推理的前提，一般來說，類比的兩類事物的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān)，得出的結(jié)論可靠性越大． 2．合情推理的過程 剖析：合情推理是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想，要合乎情理地進行推理，充分挖掘已有的事實，尋找規(guī)律或類比．其過程為→→→. 3．對合情推理是科學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的基礎這一問題的理解 剖析：數(shù)學真理知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)掘和推陳出新是在前面知識的基礎上，通過對特殊實例的觀察、分析、歸納、抽象概括和運用探索性推理得到的．合情推理通常是靠猜想與聯(lián)想等心智活動串聯(lián)起來．這種心智活動形式能導致人們作出新的判斷和預見，能幫助發(fā)現(xiàn)數(shù)學真理，包括發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學關(guān)系結(jié)論、新的數(shù)學方法及數(shù)學命題等，但它畢竟是一種非邏輯的思維形式，屬于“發(fā)散思維”范疇，當然并不能用以精確地建立數(shù)學命題和理論，要證明命題或定理，還需運用嚴格的邏輯分析加以證明． 題型一 等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的類比 【例題1】 已知一個等差數(shù)列{an}，其中a10＝0，則有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(1≤n＜19，n∈N＋)．一個等比數(shù)列{bn}，其中b15＝1，類比等差數(shù)列{an}有何結(jié)論？ 分析：在等差數(shù)列{an}中，a10＝0，則以a10為等差中項的項和為0，如a9＋a11＝a8＋a12＝…＝a2＋a18＝a1＋a19＝0，而在等比數(shù)列{bn}中，b15＝1，類似地有b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1，從而類似的總結(jié)規(guī)律應為各項之積． 反思：本題考查了等差中項、等比中項和等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及觀察判斷、猜想類比的能力．對于等差數(shù)列、等比數(shù)列有許多類似的性質(zhì)，可結(jié)合定義進行類比． 題型二 平面幾何與立體幾何之間的類比 【例題2】 六個面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體，在?ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB等于(　　)． A．2(AB2＋AD2＋AA) B．3(AB2＋AD2＋AA) C．4(AB2＋AD2＋AA) D．4(AB2＋AD2) 反思：由平面幾何發(fā)展到空間立體幾何，往往有許多相似之處，有許多結(jié)論可以進行類比得到，只不過是由二維變成三維而已． 題型三 不等式結(jié)論的類比 【例題3】 若a1，a2∈R＋，則有不等式≥2成立，此不等式能推廣嗎？如果能，請你至少寫出兩個不同類型的推廣． 分析：注意觀察不等式兩邊的結(jié)構(gòu)，兩個數(shù)的平方，若三個數(shù)、四個數(shù)、n個數(shù)怎樣變化呢？若次數(shù)為三次、四次、n次又怎樣變化呢？注意思維要發(fā)散． 反思：像這樣的類比推廣問題，可采用縱、橫推廣法，如本例中，第一種類型是從個數(shù)上進行推廣——橫向推廣；第二種類型是從指數(shù)上進行推廣——縱向推廣；第三種類型則是縱、橫綜合推廣． 題型四 圓錐曲線中的類比 【例題4】 有對稱中心的曲線叫作有心曲線，顯然，橢圓、雙曲線都是有心曲線．過有心圓錐曲線中心的弦叫作有心圓錐曲線的直徑． 定理：過圓x2＋y2＝r2(r＞0)上異于直徑兩端點的任意一點與這條直徑的兩個端點連線，則兩條連線所在直線的斜率之積為定值－1. (1)寫出定理在橢圓＋＝1(a＞b＞0)中的推廣； (2)寫出定理在雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)中的推廣，你能從上述結(jié)論中得到有心圓錐曲線(包括圓、橢圓、雙曲線)的一般性結(jié)論嗎？請寫出你的結(jié)論． 分析：本題引進了新概念．在理解新概念的基礎上，利用類比推理和歸納推理得出一般性的結(jié)論． 反思：在類比時，要注意相同之處，并抓住差異進行合理的類比．圓中的斜率之積為－1，但橢圓、雙曲線中，x2，y2項的系數(shù)不同，所以斜率之積不再是－1，而是－，.從而歸納出Ax2＋By2＝1的一般性結(jié)論只與x2，y2項的系數(shù)有關(guān)． 答案：【例題1】 解：∵在等差數(shù)列{an}中，a10＝0， ∴a1＋a19＝a2＋a18＝…＝a8＋a12＝a9＋a11＝0， 即1≤n＜19時，a19－n＋an＋1＝0， a18－n＋an＋2＝0， a17－n＋an＋3＝0， …… ∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋a19－n. 在等比數(shù)列{bn}中，∵b15＝1， ∴b1b29＝b2b28＝…＝b14b16＝1， 即b29－nbn＋1＝b28－nbn＋2＝…＝b14b16＝1. ∴b1b2…bn＝b1b2…b29－n(1≤n＜29，n∈N＋)． 【例題2】 C　如圖所示，四邊形AA1C1C和BB1D1D也都是平行四邊形，從而有AC＋CA＝2(AC2＋AA)，BD＋DB＝2(BD2＋BB)， 所以AC＋CA＋BD＋DB＝2(AC2＋BD2)＋4AA＝4(AB2＋AD2＋AA)． 【例題3】 解：第一種類型：≥2， ≥2， …… ≥2. 第二種類型：≥3， ≥4， …… ≥n. 第三種類型：≥3， ≥4 …… ≥n. 【例題4】 解：(1)在橢圓中的推廣：過橢圓＋＝1(a＞b＞0)上異于直徑兩端點的任意一點與這條直徑的兩個端點連線，則兩條連線所在直線的斜率之積為定值－. (2)在雙曲線中的推廣：過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上異于直徑兩端點的任意一點與這條直徑的兩個端點連線，則兩條連線所在直線的斜率之積為定值. 在有心圓錐曲線中的推廣：過有心圓錐曲線Ax2＋By2＝1(AB≠0)上異于直徑兩端點的任意一點與這條直徑的兩個端點連線，則兩條連線所在直線的斜率之積為定值－. 1平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行，由類比思想，我們可以得到(　　)． A．空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 B．空間中平行于同一個平面的兩條直線平行 C．空間中平行于同一條直線的兩個平面平行 D．空間中平行于同一個平面的兩個平面平行 答案：D　一般來說平面幾何中的線要類比到空間中的平面，所以雖然選項A中結(jié)果正確，卻不能算作類比結(jié)果． 2等比數(shù)列{an}滿足：m，n，p，q∈N＋，若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq.由類比推理可得{an}為等差數(shù)列，若m＋n＝p＋q，則(　　)． A．a(chǎn)man＝apaq B．a(chǎn)m＋an＝ap＋aq C. D．a(chǎn)m－an＝ap－aq 答案：B 3下面類比推理所得結(jié)論正確的是______． ①由(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2類比得(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； ②由|a|＝|b|?a＝b(a，b∈R)類比得|a|＝|b|?a＝b； ③由ax＋y＝axay(a∈R)類比得sin(α＋β)＝sinαsinβ； ④由(ab)c＝a(bc)(a，b，c∈R)類比得(ab)c＝a(bc)． 答案：①　逐一進行判斷．①正確，向量的數(shù)量積運算就按多項式乘法法則運算．②不正確，向量既有大小，又有方向，大小相等不能說明方向相同或相反．③由兩角和的三角函數(shù)公式可知不正確．④向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律．這是因為ab∈R，bc∈R，但a與c不一定共線，(ab)c∥c，a(bc)∥a，所以不一定成立． 4若數(shù)列{an}(n∈N＋)是等差數(shù)列，則通項公式為(n∈N＋)的數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列． 類比上述性質(zhì)，相應地： 若數(shù)列{cn}(n∈N＋)是等比數(shù)列，且cn＞0，則通項公式為dn＝______(n∈N＋)的數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列． 答案：　等差數(shù)列中由a1＋an＝a2＋an－1＝…，得 ，仍為等差數(shù)列． 而等比數(shù)列中，由c1cn＝c2cn－1＝…，得＝＝，仍為等比數(shù)列． 5類比實數(shù)的加法和向量的加法，列出它們相似的運算性質(zhì)． 答案：解：(1)兩個實數(shù)相加后，結(jié)果是一個實數(shù)，兩個向量相加后，結(jié)果仍是一個向量． (2)從運算律的角度考慮，它們都滿足交換律和結(jié)合律，即： a＋b＝b＋a，a＋b＝b＋a； (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)， (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． (3)從逆運算的角度考慮，二者都有逆運算，即減法運算． (4)在實數(shù)加法中，任意實數(shù)與0相加都不改變大小，即a＋0＝a.在向量加法中，任意向量與零向量相加，既不改變該向量的大小，也不改變該向量的方向，即a＋0＝a.