高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 第3節(jié) 綜合法與分析法學(xué)案 北師大版選修1-21

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3　綜合法與分析法 1．了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法． 2．了解綜合法和分析法的思考過程與特點(diǎn)，能熟練運(yùn)用綜合法和分析法證明命題． 1．綜合法 從命題的______出發(fā)，利用______________________，通過______推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明．我們把這樣一種思維方法稱為________． 【做一做1】 已知p＝a＋(a＞2)，q＝2－a2＋4a－2(a＞2)，則(　　)． A．p＞q B．p＜q C．p≥q D．p≤q 2．分析法 從求證的______出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的______條件，直到歸結(jié)為這個命題的______，或者歸結(jié)為__________________等．我們把這樣一種思維方法稱為________． 綜合法：(1)綜合法是“由因到果”，即由已知條件出發(fā)，推導(dǎo)出所要證明的等式或不等式成立． (2)綜合法格式——從已知條件出發(fā)，順著推證，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求證的結(jié)論，這就是順推法的格式，它的常見書面表達(dá)式是“∵，∴”或“?”． 分析法：(1)分析法是“執(zhí)果索因”，一步步尋求上一步成立的充分條件，因此分析法又叫作逆證法或執(zhí)果索因法． (2)分析法格式——與綜合法正好相反，它是從要求證的結(jié)論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知(已知條件，已經(jīng)學(xué)過的定義、定理、公理、公式、法則等)．這種證明方法的關(guān)鍵在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的，它的常見書寫表達(dá)式是“要證明……需要證明……”或“?”． 【做一做2】 已知函數(shù)f(x)＝lg，若f(a)＝b，則f(－a)等于(　　)． A．b B．－b C. D．－ 答案：1．條件　定義、公理、定理及運(yùn)算法則　演繹　綜合法 【做一做1】 A　∵a＞2，∴p＝a＋ ＝a－2＋＋2≥2＋2＝4. 而－a2＋4a－2＝－(a－2)2＋2＜2， ∴q＝2－a2＋4a－2＜4.∴p＞q. 2．結(jié)論　充分　條件　定義、公理、定理　分析法 【做一做2】 B　f(－a)＝lg＝lg－1 ＝－lg＝－f(a)＝－b. 1．如何選擇綜合法或分析法證明不等式？ 剖析：(1)綜合法是證明不等式的最基本、最常用的方法，由條件或一些重要不等式入手，難度不大的不等式證明多直接采用綜合法，但對于比較復(fù)雜的不等式的證明還需要結(jié)合分析法等其他方法及技巧才能完成． (2)對于一些條件復(fù)雜、結(jié)論簡單的等式或不等式的證明經(jīng)常用綜合法；對于一些條件簡單、結(jié)論復(fù)雜的不等式的證明常用分析法． 2．用分析法證題時過程的寫法 剖析：(1)證明不等式時往往誤用分析法，把“逆求”作“逆推”，分析法過程沒有必要“步步可逆”，僅需尋求充分條件即可，而不是充要條件． (2)用分析法證明時，要正確使用一些聯(lián)結(jié)關(guān)聯(lián)詞，如“要證明”“只需證明”“即證”等． 題型一 用綜合法證明不等式 【例題1】 已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，求證： ≥9. 分析：觀察要證明的不等式，可以由條件入手，將x＋y＝1代入要證明的不等式，用綜合法可證；也可從基本不等式入手，用綜合法證明不等式． 反思：用綜合法證明不等式時，可以從條件出發(fā)，也可以從基本不等式出發(fā)，通過換元、拼湊等方法構(gòu)造定值，但若連續(xù)兩次或兩次以上利用基本不等式，需要注意幾次利用基本不等式時等號成立的條件是否相同． 題型二 用分析法證明不等式 【例題2】 已知a＞b＞0，求證：＜－＜. 分析：本題條件較為簡單，結(jié)論比較復(fù)雜，我們可以從要證的結(jié)論入手，一步步探求結(jié)論成立的充分條件，即用分析法． 反思：由于題目中條件比較簡單，結(jié)論比較復(fù)雜，用綜合法比較困難，可以從結(jié)論出發(fā)，逐步反推，尋求使當(dāng)前命題成立的充分條件． 題型三 用分析法探索命題成立的條件 【例題3】 給出一個不等式≥(x∈R)，經(jīng)驗證：當(dāng)c＝1,2,3時，對于x取一切實(shí)數(shù)，不等式都成立．試問：當(dāng)c取任何正數(shù)時，不等式對任何實(shí)數(shù)x是否都成立？若能成立，請給出證明；若不成立，請求出c的取值范圍，使不等式對任何實(shí)數(shù)x都能成立． 反思：探索性問題，可以探索條件，探索結(jié)論，探索方法，而分析法是用來探索條件的重要手段． 答案：【例題1】 證法1：∵x＋y＝1， ∴＝ ＝＝5＋2. 又∵x＞0，y＞0， ∴＞0，＞0.∴＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝y(tǒng)＝時取等號． 則有≥5＋22＝9成立． 證法2：∵x＞0，y＞0,1＝x＋y≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時取等號，∴xy≤. 則有＝1＋＋＋＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9成立． 【例題2】 證明：因為a＞b＞0， 所以要證＜－＜成立， 即證＜(－)2＜成立． 只需證＜－＜成立． 只需證＜1＜成立， 即證＋＜2且＋＞2， 即＜. ∵a＞b＞0，∴＜成立． ∴＜－＜成立． 【例題3】 解：不成立．設(shè)f(x)＝， 令μ＝x2＋c，則μ≥c，則f(x)＝(μ≥c)， ∴f(x)－＝－ ＝＝. ∴要使不等式≥對任何實(shí)數(shù)x都成立， 即f(x)－≥0成立．∵≥， ∴只需－1≥0，即cμ≥1.∴μ≥(c＞0)， 也就是x2＋c≥，即x2≥－c對任意的x都成立． ∴只需－c≤0，又c＞0，∴c≥1時原不等式對一切實(shí)數(shù)x都能成立． 1設(shè)函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖像關(guān)于直線x＝0及直線x＝1對稱，且x∈[0,1]時，f(x)＝x2，則等于(　　)． A. B. C. D. 答案：B　由于函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x＝0及直線x＝1對稱，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f(1＋a)＝f(1－a)，所以要求，只需求出，即求，而＝，即求，而.此題用了綜合法與分析法相結(jié)合的方法． 2已知a，b是不相等的正數(shù)，，，則x，y的關(guān)系是(　　)． A．x＞y B．x＜y C．x＞y D．不確定 答案：B　∵x＞0，y＞0， ∴要比較x，y的大小，只需比較x2，y2的大小， 即比較與a＋b的大?。? ∵a，b為不相等的正數(shù)， ∴＜a＋b. ∴＜a＋b，即x2＜y2.∴x＜y. 3已知不等邊三角形的三邊按從小到大的順序排列成等比數(shù)列，則公比q的取值范圍是(　　)． A.＜q＜1 B．1＜q＜ C. ＜q＜ D．0＜q＜ 答案：B　設(shè)三角形的三邊長為a，b，c，且a＜b＜c， 則b＝aq，c＝aq2.∴ ∵a＞0，∴1＜q＜. 4若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，則cos(α－β)＝________. 答案：　觀察已知條件中有三個角α，β，γ，而所求結(jié)論中只有兩個角α，β，所以我們只需將已知條件中的角γ消去即可，依據(jù)sin2γ＋cos2γ＝1消去γ. 由已知，得sin γ＝－(sin α＋sin β)， cos γ＝－(cos α＋cos β)， ∴(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝sin2γ＋cos2γ＝1， 化簡并整理得cos(α－β)＝. 5已知a＞b＞c，求證：≥. 答案：分析：本題中出現(xiàn)的有a－b，b－c和a－c，注意它們之間的關(guān)系為a－c＝(a－b)＋(b－c)，從而解答問題． 證明：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0， 且a－c＝(a－b)＋(b－c)． ∴ ≥＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c時，等號成立． ∴≥成立．