高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 學(xué)業(yè)分層測評(píng)11 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 新人教A版選修1-1

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 學(xué)業(yè)分層測評(píng)11 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 新人教A版選修1-1 (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．拋物線的焦點(diǎn)是，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．x2＝－y　　　　　　　 B．x2＝y(tǒng) C．y2＝x D．y2＝－x 【解析】　易知－＝－，∴p＝，焦點(diǎn)在x軸上，開口向左，其方程應(yīng)為y2＝－x. 【答案】　D 2．(2014安徽高考)拋物線y＝x2的準(zhǔn)線方程是(　　) A．y＝－1 B．y＝－2 C．x＝－1 D．x＝－2 【解析】　∵y＝x2，∴x2＝4y.∴準(zhǔn)線方程為y＝－1. 【答案】　A 3．經(jīng)過點(diǎn)(2,4)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．y2＝8x B．x2＝y(tǒng) C．y2＝8x或x2＝y(tǒng) D．無法確定 【解析】　由題設(shè)知拋物線開口向右或開口向上，設(shè)其方程為y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＞0)，將點(diǎn)(2,4)代入可得p＝4或p＝，所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x或x2＝y(tǒng)，故選C. 【答案】　C 4．若拋物線y2＝ax的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，則此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　　) A．(－2,0) B．(2,0) C．(2,0)或(－2,0) D．(4,0) 【解析】　由拋物線的定義得，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為＝4，解得a＝8.當(dāng)a＝8時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0)；當(dāng)a＝－8時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)．故選C. 【答案】　C 5．若拋物線y2＝2px的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 【解析】　易知橢圓的右焦點(diǎn)為(2,0)，∴＝2，即p＝4. 【答案】　D 二、填空題 6．已知圓x2＋y2－6x－7＝0與拋物線y2＝2px(p＞0)的準(zhǔn)線相切，則p＝________. 【解析】　由題意知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝16，圓心為(3,0)，半徑為4，拋物線的準(zhǔn)線為x＝－，由題意知3＋＝4，∴p＝2. 【答案】　2 7．動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離與它到直線x＋2＝0的距離相等，則P的軌跡方程是________． 【解析】　由題意知，P的軌跡是以點(diǎn)F(2,0)為焦點(diǎn)，直線x＋2＝0為準(zhǔn)線的拋物線，所以p＝4，故拋物線的方程為y2＝8x. 【答案】　y2＝8x 8．對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線，給出下列條件： ①焦點(diǎn)在y軸上；②焦點(diǎn)在x軸上；③拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)． 其中滿足拋物線方程為y2＝10x的是________．(要求填寫適合條件的序號(hào) ) 【解析】　拋物線y2＝10x的焦點(diǎn)在x軸上，②滿足，①不滿足；設(shè)M(1，y0)是y2＝10x上一點(diǎn)，則|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不滿足；由于拋物線y2＝10x的焦點(diǎn)為，過該焦點(diǎn)的直線方程為y＝k.若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為(2,1)時(shí)，則k＝－2，此時(shí)存在，所以④滿足． 【答案】?、冖? 三、解答題 9．若拋物線y2＝－2px(p>0)上有一點(diǎn)M，其橫坐標(biāo)為－9，它到焦點(diǎn)的距離為10，求拋物線方程和點(diǎn)M的坐標(biāo)． 【解】　由拋物線定義，焦點(diǎn)為F，則準(zhǔn)線為x＝.由題意，設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為|MN|，則|MN|＝|MF|＝10， 即－(－9)＝10.∴p＝2. 故拋物線方程為y2＝－4x，將M(－9，y)代入y2＝－4x，解得y＝6， ∴M(－9,6)或M(－9，－6)． 10．若動(dòng)圓M與圓C：(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，求動(dòng)圓圓心的軌跡方程. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：26160056】 【解】　設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為R，由已知可得定圓圓心為C(2,0)，半徑r＝1. ∵兩圓外切，∴|MC|＝R＋1. 又動(dòng)圓M與已知直線x＋1＝0相切． ∴圓心M到直線x＋1＝0的距離d＝R. ∴|MC|＝d＋1，即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)C(2,0)的距離等于它到定直線x＋2＝0的距離． 由拋物線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是以C為焦點(diǎn)，x＋2＝0為準(zhǔn)線的拋物線，且＝2，p＝4， 故其方程為y2＝8x. [能力提升] 1．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)到雙曲線x2－＝1的漸近線的距離是(　　) A. B. C．1 D. 【解析】　由題意可得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)， 雙曲線的漸近線方程為x－y＝0或x＋y＝0， 則焦點(diǎn)到漸近線的距離d1＝＝或d2＝＝. 【答案】　B 2．已知P是拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l：2x－y＋3＝0和到y(tǒng)軸的距離之和的最小值是(　　) A. B. C．2 D.－1 【解析】　由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，由拋物線的定義可知，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為|PF|－1，所以點(diǎn)P到直線l的距離與到y(tǒng)軸的距離之和為d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d＋|PF|的最小值為＝，所以d＋|PF|－1的最小值為－1. 【答案】　D 3．如圖2－3－2所示是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．水位下降1 m后，水面寬________m. 圖2－3－2 【解析】　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，則A(2，－2)，將其坐標(biāo)代入x2＝－2py得p＝1. ∴x2＝－2y. 當(dāng)水面下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)，將其坐標(biāo)代入x2＝－2y得x＝6， ∴x0＝. ∴水面寬|CD|＝2 m. 【答案】　2 4．若長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2＝2x上移動(dòng)，M為AB的中點(diǎn)，求M點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離． 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：26160057】 【解】　設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F，連結(jié)AF，BF，如圖，拋物線y2＝2x的準(zhǔn)線為l：x＝－，過A，B，M分別作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分別為A′，B′，M′. 由拋物線定義，知|AA′|＝|FA|，|BB′|＝|FB|. 又M為AB中點(diǎn)，由梯形中位線定理，得 |MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝(|FA|＋|FB|)≥|AB|＝3＝， 則x≥－＝1(x為M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)且僅當(dāng)AB過拋物線的焦點(diǎn)時(shí)取得等號(hào))，所以xmin＝1，即M點(diǎn)到y(tǒng)軸的最短距離為1.