高中數(shù)學 第二章 空間向量與立體幾何 1 從平面向量到空間向量課時作業(yè) 北師大版選修2-1

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第二章　空間向量與立體幾何 1　從平面向量到空間向量 課時目標　1.了解空間向量的概念.2.經歷向量的有關概念由平面向空間推廣的過程.3.了解空間中直線的方向向量，平面的法向量，共面向量與不共面向量的概念． 1．空間向量 (1)在空間中，既有________又有________的量，叫作空間向量． (2)向量用小寫字母表示，如：，或a，b. 也可用大寫字母表示，如：，其中______叫做向量的起點，______叫做向量的終點． (3)數(shù)學中所討論的向量與向量的________無關，稱之為自由向量． (4)與平面向量一樣，空間向量的大小也叫作向量的長度或模，用________或______表示． (5)向量夾角的定義：如圖所示，兩非零向量a，b，在空間中任取點O，作＝a，＝b，則________叫作向量a，b的夾角，記作________． (6)向量夾角的范圍： 規(guī)定__________． (7)特殊角：當〈a，b〉＝時，向量a與b________，記作__________； 當〈a，b〉＝0或π時，向量a與b______，記作______． 2．向量、直線、平面 (1)所謂直線的方向向量是指和這條直線________或______的非零向量，一條直線的方向向量有_______________________________個． (2) 如果直線l垂直于平面α，那么把直線l的____________，叫作平面α的法向量． 平面α有________個法向量，平面α的所有法向量都________． (3)空間中，若一個向量所在直線__________一個平面，則稱這個向量平行該平面．把________________的一組向量稱為共面向量． 一、選擇題 1．下列命題中，假命題是(　　) A．向量與的長度相等 B．兩個相等的向量，若起點相同，則終點也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共線的單位向量都相等 2．給出下列命題 ①空間中兩直線的夾角就是它們的方向向量的夾角； ②相互平行的向量一定共面，共面的向量也一定相互平行； ③空間兩平面所成的二面角的大小等于它們的法向量的夾角． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．在棱長為的正方體ABCD—A1B1C1D1中，所有棱及面對角線中能表示單位向量的有向線段共有(如，只記一次)(　　) A．12條 B．16條 C．18條 D．24條 4. 如圖所示，三棱錐A—BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90，則在所有的棱表示的向量中，夾角為90的共有(　　) A．3對 B．4對 C．5對 D．6對 5．已知向量，，滿足||＝||＋||，則(　　) A.＝＋ B.＝－－ C.與同向 D.與同向 6．下列命題是真命題的是(　　) A．分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量 B．若|a|＝|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反 C．若向量，滿足||>||，且與同向，則> D．若兩個非零向量與滿足＋＝0，則∥ 題　號 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空題 7. 如圖所示，兩全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交成直二面角，其中心分別是M，N，則直線MN的一個方向向量是________(要填不在直線MN上的向量)． 8．在正方體ABCD—A1B1C1D1的所有棱、面對角線、體對角線所對應的向量中，是平面A1B1CD的法向量的是__________________． 9．給出下面命題： ①空間任意兩個向量a，b一定是共面的．②a，b為空間兩個向量，則|a|＝|b|a＝b.③若a∥b，則a與b所在直線平行．④如果a∥b，b∥c，那么a∥c. 其中假命題的序號是________． 三、解答題 10．判斷以下命題的真假： (1)|a|＝0的充要條件是a＝0； (2)不相等的兩個空間向量模必不相等； (3)空間中任何兩個向量一定共面； (4)空間向量a，b夾角為銳角cosa，b〉>0. 11．在正方體ABCD—A1B1C1D1中求下列向量的夾角： (1)〈，〉；(2)〈，〉； (3)〈，〉；(4)〈，〉． 能力提升 12. 如圖所示，四棱錐D1—ABCD中，AD＝DD1＝CD，底面ABCD是正方形，DD1⊥面ABCD，E是AD1的中點，求〈，〉． 13．四棱錐P—ABCD中，PD⊥面ABCD，底面ABCD為正方形且PD＝AD＝CD，E、F分別是PC、PB的中點． (1)試以F為起點作直線DE的方向向量； (2)試以F為起點作平面PBC的法向量． 1．直線的方向向量和平面的法向量是兩個重要的概念，在證明線面平行，線面垂直以及求線面的夾角時，有著廣泛的應用． 2．兩向量的夾角 對于兩向量a、b的夾角〈a，b〉的理解，除〈a，b〉＝〈b，a〉外還應注意由于兩向量的夾角的范圍為[0，π]，要注意〈，〉與〈－，〉，〈，－〉的區(qū)別和聯(lián)系，即〈－，〉＝〈，－〉＝π－〈，〉． 第二章　空間向量與立體幾何 1　從平面向量到空間向量 知識梳理 1．(1)大小　方向　(2)A　B　(3)起點　(4)||　|a|　(5)∠AOB　〈a，b〉　(6)0≤〈a，b〉≤π (7)垂直　a⊥b　平行　a∥b 2．(1)平行　重合　無數(shù)個　(2)方向向量　無數(shù)　平行　(3)平行于　平行于同一平面 作業(yè)設計 1．D　[共線的單位向量是相等向量或相反向量．] 2．A　3.A　4.C 5．D　[由||＝||＋||＝||＋||，知C點在線段AB上，否則與三角形兩邊之和大于第三邊矛盾，所以與同向．] 6．D　[A錯．因為空間任兩向量平移之后可共面，所以空間任兩向量均共面． B錯．因為|a|＝|b|僅表示a與b的模相等，與方向無關． C錯．空間任兩向量不研究大小關系，因此也就沒有>這種寫法． D對．∵＋＝0，∴＝－， ∴與共線，故∥正確．] 7.或 8.或 9．②③④ 10．解　(1)真命題　(2)假命題　(3)真命題 (4)假命題 命題(4)，當〈a，b〉＝0時，cos〈a，b〉＝1>0， 但〈a，b〉不是銳角． 故命題(4)是假命題． 11．解　 (1)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱DD1⊥底面ABCD，AC面ABCD， ∴AC⊥DD1， ∴〈，〉＝. (2)連結AD1，則AC＝CD1＝AD1， 故△ACD1為正三角形，∠ACD1＝， ∴〈，〉＝. (3)連結A1C1，C1D，則＝， 且△A1C1D為正三角形． ∴∠C1A1D＝＝〈，〉＝〈，〉． ∴〈，〉＝. (4)連結BD，則AC⊥BD， 又AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，∴AC⊥面BD1D， ∵BD1面BDD1，∴AC⊥BD1，∴〈，〉＝. 12．解　取CD1的中點F，連接EF，DF， 則＝， ∴〈，〉＝〈，〉， 由AD＝DD1＝CD， 且D1D⊥AD，D1D⊥CD， ∴DE＝DF＝EF＝DD1， ∴△EFD為正三角形， ∠FED＝， ∴〈，〉＝〈，〉＝. 13. 解　(1)∵E、F分別是PC、PB的中點， ∴EFBC，又BCAD，∴EFAD， 取AD的中點M，連MF，則由EFDM知四邊形DEFM是平行四邊形， ∴MF∥DE，∴就是直線DE的一個方向向量． (2)∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC， 又BC⊥CD，∴BC⊥面PCD， ∵DE面PCD，∴DE⊥BC， 又PD＝CD，E為PC中點，∴DE⊥PC， 從而DE⊥面PBC， ∴是面PBC的一個法向量， 由(1)可知＝， ∴就是面PBC的一個法向量． - 7 -