高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破 集合與函數(shù) 1 集合及其運(yùn)算

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2017年高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)突破——集合與函數(shù) 1．集合及其運(yùn)算 【知識(shí)梳理】 1．集合與元素 (1)集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無(wú)序性． (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于兩種，用符號(hào)∈或?表示． (3)集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法． (4)常見數(shù)集的記法 集 合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集 符 號(hào) N N*(或N＋) Z Q R 2.集合間的基本關(guān)系 關(guān)系 自然語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 Venn圖 子集 集合A中所有元素都在集合B中 (即若x∈A，則x∈B) A?B (或B?A) 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中 AB(或BA) 集合相等 集合A，B中元素相同或集合A，B互為子集 A＝B 3.集合的運(yùn)算 集合的并集 集合的交集 集合的補(bǔ)集 圖形 符號(hào) A∪B＝{x|x∈A或x∈B} A∩B＝{x|x∈A且x∈B} ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 4.集合關(guān)系與運(yùn)算的常用結(jié)論 (1)若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集個(gè)數(shù)為2n個(gè)，非空子集個(gè)數(shù)為2n－1個(gè)，真子集有2n－1個(gè)． (2)A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 【基礎(chǔ)考點(diǎn)突破】 考點(diǎn)1．集合的含義與表示 【例1】（1）下列各組對(duì)象：①高一1班中年齡較大的男同學(xué)；②聯(lián)合國(guó)安理會(huì)常任理事國(guó)；③2017年廣州城市運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目； ④的所有近似值；⑤1,2,3,1．能夠組成集合的是________． （2）已知集合A含有兩個(gè)元素a－3和2a－1，若－3∈A，則實(shí)數(shù)a的值為__________． 【歸納總結(jié)】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合；(2)集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題． 【變式訓(xùn)練】(1)設(shè)集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，則M中的元素個(gè)數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 (2)設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，則b－a＝________. 考點(diǎn)2．集合間的基本關(guān)系 【例2】(1)設(shè)集合，則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是（ ） A.1 B.3 C.4 D.8 (2)已知集合A＝{x|x2－3x＋2 <0}，B＝{x|x－3}，B＝{x|x≥2}，結(jié)合數(shù)軸可得：B?A. （2）由log2x≤2，得04. （3）或，解得，故實(shí)數(shù)的取值集合為. 考點(diǎn)3．集合的運(yùn)算 命題點(diǎn)1．并集、交集、補(bǔ)集的簡(jiǎn)單運(yùn)算 集合的運(yùn)算中要根據(jù)集合的定義把參與運(yùn)算的各個(gè)集合求出，再根據(jù)交、并、補(bǔ)的定義進(jìn)行運(yùn)算．此類題目首先應(yīng)看清集合中的元素的范圍，簡(jiǎn)化集合，若是用列舉法表示的數(shù)集，可以根據(jù)交集、并集、補(bǔ)集的定義直接觀察或用圖表示集合運(yùn)算的結(jié)果；若是用描述法表示的數(shù)集，可以借助數(shù)軸分析寫出結(jié)果，此時(shí)要注意當(dāng)端點(diǎn)不再集合中時(shí)，應(yīng)該用“空心圈”表示． 【例3】【2016高考新課標(biāo)3】設(shè)集合 ，則（ ） (A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+） (C) [3,+） (D)（0，2] [3,+） 【答案】D 【解析】由解得或，所以，所以，故選D． 【點(diǎn)評(píng)】集合的運(yùn)算中要根據(jù)集合的定義把參與運(yùn)算的各個(gè)集合求出，再利用數(shù)軸，根據(jù)交、并、補(bǔ)的定義進(jìn)行運(yùn)算． 【變式訓(xùn)練】（1）若集合，，則______． （2）集合，，則_______，_______，________． 變式：【答案】（1）；（2），，. 【解析】（1）A、B的共同元素為4、7，所以． （2）因?yàn)?，，在?shù)軸上畫出A、B， 所以，，， . 【點(diǎn)評(píng)】集合的運(yùn)算中要根據(jù)集合的定義把參與運(yùn)算的各個(gè)集合求出，再利用數(shù)軸，根據(jù)交、并、補(bǔ)的定義進(jìn)行運(yùn)算． 變式：【答案】（1）；（2），，. 【解析】（1）A、B的共同元素為4、7，所以． （2）因?yàn)?，，在?shù)軸上畫出A、B， 所以，，， . 【點(diǎn)評(píng)】集合的運(yùn)算中要根據(jù)集合的定義把參與運(yùn)算的各個(gè)集合求出，再利用數(shù)軸，根據(jù)交、并、補(bǔ)的定義進(jìn)行運(yùn)算． 命題點(diǎn)2．已知集合的交并集求參數(shù)的取值范圍 依據(jù)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)軸分析法是解決有關(guān)集合交集、并集問題，特別是一些字母范圍問題的常用方法． 【例4】 已知，，若，求a的取值范圍． 【解析】由， （1）若，有，所以． （2）若，如下圖： ，解得． 綜上所述，的取值范圍是． 【點(diǎn)評(píng)】由，則要考慮和兩種情形，這樣才不會(huì)漏解． 命題點(diǎn)3．交并集性質(zhì)的應(yīng)用 在利用集合的交集、并集性質(zhì)解題時(shí)，常常會(huì)遇到，等這類問題，解答時(shí)常借助于交、并集的定義以及集合間的關(guān)系去分析，如，． 【例5】設(shè)，． （1）若，求的值；（2）若，求的值． 【解析】． （1），． ①若，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，； ②若，則，當(dāng)時(shí)，，． ③若，則 由①②③得，． （2），，，又因?yàn)锽中最多只有兩個(gè)元素，． 由（1）知． 【點(diǎn)評(píng)】要注意條件等價(jià)轉(zhuǎn)化的運(yùn)用，常見轉(zhuǎn)化有，． 命題點(diǎn)4．補(bǔ)集的思想的應(yīng)用 對(duì)于一些比較復(fù)雜、抽象，條件和結(jié)論之間關(guān)系不明確，難于從正面入手的問題，在解答時(shí)，應(yīng)及時(shí)調(diào)整思路，從問題的反面入手，探索已知與未知之間的關(guān)系，這時(shí)能化難為易，化隱為顯，從而將問題解決． 【例6】若集合中最多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 【解析】假設(shè)集合A中含有兩個(gè)元素，即有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則，解得且，則的取值范圍是． 在全集中，集合的補(bǔ)集是， 所以滿足題意的的取值范圍是． 【點(diǎn)評(píng)】集合A中的元素包含0個(gè)或1個(gè)，若采取分類討論的策略，所分情況比較多，求解比較麻煩，構(gòu)造其“補(bǔ)集”：集合A中含有兩個(gè)元素，然后再求其補(bǔ)集，問題就得到了簡(jiǎn)化． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．【2015吉林三模】設(shè)全集，，，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以圖中陰影部分所表示的集合是，故選B． 2．【2016四川高考】設(shè)集合，Z為整數(shù)集，則中元素的個(gè)數(shù)是（ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】C 【解析】由題意，，故其中的元素個(gè)數(shù)為5，選C. 3．【2016高考浙江理數(shù)】已知集合 則（ ） A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D． 【答案】B 【解析】根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算得，所以.故選B． 4．已知集合，，且，那么的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，要包含所有的小于等于1的實(shí)數(shù)，因此，故選D. 5．若集合，且，則實(shí)數(shù)的值為 ． 【答案】或或 【解析】，由題意. 當(dāng)時(shí)，，則. 當(dāng)時(shí)，，要使，則，解得. 綜上所述，實(shí)數(shù)的值是或或. 【能力提升】 1．【2015呼倫貝爾二模】已知，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， 所以，所以=，故選C． 2．【2015濟(jì)南市高三上學(xué)期期末】已知集合，，若，則等于（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】，， 若，則，則，故選C. 3．設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因?yàn)椋?，解得：，所以?shí)數(shù)的取值范圍是，故選A． 4．已知集合，，，則實(shí)數(shù)的不同取值個(gè)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，所以或，解得：或或，所以實(shí)數(shù)的不同取值個(gè)數(shù)為，故選B． 5．已知M=且，則（　　?。? A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合M表示去掉一點(diǎn)的直線，集合表示恒過定點(diǎn)的直線，因?yàn)镸，所以兩直線要么平行，要么直線過點(diǎn)．因此或，即或-2，故選A. 【終極突破】 1．設(shè)常數(shù),集合，，若，則的取值范圍為( ) 　A. B. C.　 D. 【答案】B 【解析】集合A討論后利用數(shù)軸可知，或， 解得，所以的取值范圍是，故選B. 2．集合，． 若中恰含有一個(gè)整數(shù)u，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得或．由解得．由韋達(dá)定理可得．根據(jù)題意中恰含有一個(gè)整數(shù)u，所以或(舍去由于與很接近)．即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B． 3．集合，， 集合，若動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合表示平面內(nèi)由點(diǎn)，，，構(gòu)成的正方形與點(diǎn)，，，圍成的正方形，看作點(diǎn)距離的平方，結(jié)合坐標(biāo)系可知的取值范圍是，故選A． 4．已知集合，，，現(xiàn)給出下列函數(shù)：①；② ；③；④．若時(shí)，恒有，則所有滿足條件的函數(shù)的編號(hào)是____． 【答案】①②④. 【解析】依題表示整個(gè)平面直角坐標(biāo)系區(qū)域，表示如圖所示的平面區(qū)域，表示平面直角坐標(biāo)系上函數(shù)的曲線， 若時(shí)，恒有，則與無(wú)公共點(diǎn)，依題可知①②④函數(shù)的曲線與均無(wú)公共點(diǎn)，對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以曲線上的點(diǎn)必定在表示的平面區(qū)域內(nèi)，即，故應(yīng)填入①②④. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1．【2015吉林三?！吭O(shè)全集，，，則圖中陰影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，所以圖中陰影部分所表示的集合是，故選B． 2．【2016四川高考】設(shè)集合，Z為整數(shù)集，則中元素的個(gè)數(shù)是（ ） （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 【答案】C 【解析】由題意，，故其中的元素個(gè)數(shù)為5，選C. 3．【2016高考浙江理數(shù)】已知集合 則（ ） A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D． 【答案】B 【解析】根據(jù)補(bǔ)集的運(yùn)算得，所以.故選B． 4．已知集合，，且，那么的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，要包含所有的小于等于1的實(shí)數(shù)，因此，故選D. 5．若集合，且，則實(shí)數(shù)的值為 ． 【答案】或或 【解析】，由題意. 當(dāng)時(shí)，，則. 當(dāng)時(shí)，，要使，則，解得. 綜上所述，實(shí)數(shù)的值是或或. 【能力提升】 1．【2015呼倫貝爾二?！恳阎?，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵，， 所以，所以=，故選C． 2．【2015濟(jì)南市高三上學(xué)期期末】已知集合，，若，則等于（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解析】，， 若，則，則，故選C. 3．設(shè)集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因?yàn)椋?，解得：，所以?shí)數(shù)的取值范圍是，故選A． 4．已知集合，，，則實(shí)數(shù)的不同取值個(gè)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由題意，所以或，解得：或或，所以實(shí)數(shù)的不同取值個(gè)數(shù)為，故選B． 5．已知M=且，則（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合M表示去掉一點(diǎn)的直線，集合表示恒過定點(diǎn)的直線，因?yàn)镸，所以兩直線要么平行，要么直線過點(diǎn)．因此或，即或-2，故選A. 【終極突破】 1．設(shè)常數(shù),集合，，若，則的取值范圍為( ) 　A. B. C.　 D. 【答案】B 【解析】集合A討論后利用數(shù)軸可知，或， 解得，所以的取值范圍是，故選B. 2．集合，． 若中恰含有一個(gè)整數(shù)u，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得或．由解得．由韋達(dá)定理可得．根據(jù)題意中恰含有一個(gè)整數(shù)u，所以或(舍去由于與很接近)．即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選B． 3．集合，， 集合，若動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合表示平面內(nèi)由點(diǎn)，，，構(gòu)成的正方形與點(diǎn)，，，圍成的正方形，看作點(diǎn)距離的平方，結(jié)合坐標(biāo)系可知的取值范圍是，故選A． 4．已知集合，，，現(xiàn)給出下列函數(shù)：①；② ；③；④．若時(shí)，恒有，則所有滿足條件的函數(shù)的編號(hào)是____． 【答案】①②④. 【解析】依題表示整個(gè)平面直角坐標(biāo)系區(qū)域，表示如圖所示的平面區(qū)域，表示平面直角坐標(biāo)系上函數(shù)的曲線， 若時(shí)，恒有，則與無(wú)公共點(diǎn)，依題可知①②④函數(shù)的曲線與均無(wú)公共點(diǎn)，對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)椋郧€上的點(diǎn)必定在表示的平面區(qū)域內(nèi)，即，故應(yīng)填入①②④.