高考數(shù)學大二輪總復習與增分策略 第四篇 回歸教材 糾錯分析3 三角函數(shù)、解三角形、平面向量練習 理
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3.三角函數(shù)、解三角形、平面向量 1．α終邊與θ終邊相同(α的終邊在θ終邊所在的射線上)?α＝θ＋2kπ(k∈Z)，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等． 任意角的三角函數(shù)的定義：設α是任意一個角，P(x，y)是α的終邊上的任意一點(異于原點)，它與原點的距離是r＝>0，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)，三角函數(shù)值只與角的大小有關，而與終邊上點P的位置無關． [問題1] 已知角α的終邊經(jīng)過點P(3，－4)，則sin α＋cos α的值為________． 答案 － 2．同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式 (1)平方關系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商數(shù)關系：tan α＝. (3)誘導公式記憶口訣：奇變偶不變、符號看象限 角 －α π－α π＋α 2π－α －α 正弦 －sin α sin α －sin α －sin α cos α 余弦 cos α －cos α －cos α cos α sin α [問題2] cos ＋tan＋sin 21π的值為__________． 答案?。? 3．正弦、余弦和正切函數(shù)的常用性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 定義域 R R {x|x≠＋kπ，k∈Z} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} R 單調(diào)性 在[－＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上遞增； 在[＋2kπ，＋2kπ]，k∈Z上遞減 在[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z上遞增； 在[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z上遞減 在(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z上遞增 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；x＝π＋2kπ(k∈Z)時，ymin＝－1 無最值 奇偶性 奇 偶 奇 對稱性 對稱中心：(kπ，0)，k∈Z 對稱中心：(kπ＋，0)，k∈Z 對稱中心：(，0)，k∈Z 對稱軸：x＝kπ＋，k∈Z 對稱軸：x＝kπ，k∈Z 無 周期性 2π 2π π [問題3] 函數(shù)y＝sin的遞減區(qū)間是________________． 答案 (k∈Z) 4．三角函數(shù)化簡與求值的常用技巧 解答三角變換類問題要靈活地正用、逆用，變形運用和、差、倍角公式和誘導公式，進行化簡、求值．常用到切割化弦、降冪、拆角拼角等技巧．如： α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)， α＝[(α＋β)＋(α－β)]． α＋＝(α＋β)－，α＝－. [問題4] 已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，則cos＝________. 答案 － 5．解三角形 (1)正弦定理：＝＝＝2R(R為三角形外接圓的半徑)．注意：①正弦定理的一些變式：(ⅰ)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(ⅱ)sin A＝，sin B＝，sin C＝；(ⅲ)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；②已知三角形兩邊及一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解，要結(jié)合具體情況進行取舍．在△ABC中，A>B?sin A>sin B. (2)余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，cos A＝等，常選用余弦定理判定三角形的形狀． [問題5] 在△ABC中，a＝，b＝，A＝60，則B＝________. 答案 45 6．求三角函數(shù)最值的常見類型、方法： (1)y＝asin x＋b(或acos x＋b)型，利用三角函數(shù)的值域，須注意對字母a的討論． (2)y＝asin x＋bsin x型，借助輔助角公式化成y＝sin(x＋φ)的形式，再利用三角函數(shù)有界性解決． (3)y＝asin2x＋bsin x＋c型，配方后轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值，應注意|sin x|≤1的約束． (4)y＝型，反解出sin x，化歸為|sin x|≤1解決． (5)y＝型，化歸為Asin x＋Bcos x＝C型或用數(shù)形結(jié)合法(常用到直線斜率的幾何意義)求解． (6)y＝a(sin x＋cos x)＋bsin xcos x＋c型，常令t＝sin x＋cos x，換元后求解(|t|≤)． [問題6] 函數(shù)y＝sin2x＋sin x－1的值域為________． 答案 [－，1] 解析 y＝(sin x＋)2－，∵sin x∈[－1,1]， ∴當sin x＝－時，ymin＝－； 當sin x＝1時，ymax＝1. ∴函數(shù)的值域為[－，1]． 7．向量的平行與平面向量的數(shù)量積 (1)向量平行(共線)的充要條件：a∥b(b≠0)?a＝λb?(ab)2＝(|a||b|)2?x1y2－y1x2＝0. (2)ab＝|a||b|cos θ， 變形：|a|2＝a2＝aa， cos θ＝， a在b上的投影(正射影的數(shù)量)＝. 注意：〈a，b〉為銳角?ab>0且a、b不同向； 〈a，b〉為鈍角?ab<0且a、b不反向． [問題7] 已知圓O為△ABC的外接圓，半徑為2，若＋＝2，且||＝||，則向量在向量方向上的投影為________． 答案 3 解析 因為＋＝2，所以O是BC的中點，故△ABC為直角三角形．在△AOC中，有||＝||， 所以∠B＝30.由定義，向量在向量方向上的投影為||cos B＝2＝3. 8．向量中常用的結(jié)論： (1)＝λ＋μ (λ，μ為實數(shù))，若λ＋μ＝1，則三點A、B、C共線； (2)在△ABC中，若D是BC邊的中點，則＝(＋)； (3)已知O，N，P在△ABC所在平面內(nèi)．若||＝||＝||，則O為△ABC的外心；若＋＋＝0，則N為△ABC的重心；若＝＝，則P為△ABC的垂心． [問題8] 在△ABC中，D是AB的中點，E是AC的中點，CD與BE交于點F，設＝a，＝b，＝xa＋yb，則(x，y)為( ) A．(，) B．(，) C．(，) D．(，) 答案 C 解析 由題意知點F為△ABC的重心，設H為BC的中點，則＝＝(＋)＝a＋b， 所以x＝，y＝. 易錯點1 忽視角的范圍 例1 已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a為大于1的常數(shù))的兩根為tan α，tan β，且α，β∈(－，)，則tan 的值是________． 易錯分析 本題易忽略隱含條件tan α，tan β是方程x2＋4ax＋3a＋1＝0的兩個負根，α，β∈(－，)，從而導致錯誤． 解析 ∵a>1，∴tan α＋tan β＝－4a<0， tan αtan β＝3a＋1>0， ∴tan α，tan β是方程x2＋4ax＋3a＋1＝0的兩個負根． 又α，β∈(－，)， ∴α，β∈(－，0)，即∈(－，0)． 由tan(α＋β)＝ ＝＝，可得tan ＝－2. 答案?。? 易錯點2 圖象變換方向或變換量把握不準 例2 已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋)，為了得到函數(shù)g(x)＝cos 2x的圖象，只要將y＝f(x)的圖象( ) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 易錯分析 ①沒有將f(x)，g(x)化為同名函數(shù)；②平移時看2x變成了什么，而沒有認識到平移過程只是對“x”而言． 解析 g(x)＝sin(2x＋)＝sin[2(x＋)＋]， ∴y＝f(x)的圖象向左平移個單位長度即可得到y(tǒng)＝g(x)的圖象． 答案 A 易錯點3 三角函數(shù)單調(diào)性理解不透 例3 求函數(shù)y＝3sin(－2x)的單調(diào)區(qū)間． 易錯分析 對形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函數(shù)，如果ω<0，要求其單調(diào)區(qū)間，必須先提出負號，然后去求解，否則單調(diào)區(qū)間正好相反了． 解 y＝3sin(－2x)＝－3sin(2x－)． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z. ∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ－，kπ＋π]，k∈Z. 同理，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ＋π，kπ＋π]，k∈Z. 易錯點4 解三角形時漏解或增解 例4 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＝1，c＝. (1)若角C＝，則角A＝________； (2)若角A＝，則b＝________. 易錯分析 在用正弦定理解三角形時，易出現(xiàn)漏解或多解的錯誤，如第(1)問中沒有考慮c邊比a邊大，在求得sin A＝＝后，得出角A＝或；在第(2)問中沒有考慮角C有兩解，由sin C＝＝，只得出角C＝，所以角B＝，解得b＝2，這樣就出現(xiàn)漏解的錯誤． 解析 (1)由正弦定理＝， 得sin A＝＝， 又a＜c，所以A＜C.所以A＝. (2)由＝， 得sin C＝＝，得C＝或， 當C＝時，B＝，可得b＝2； 當C＝時，B＝，此時得b＝1. 答案 (1) (2)2或1 易錯點5 忽視題目中的制約條件 例5 已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－sin(2x－)，若△ABC中，滿足f(A)＝，b＋c＝2，求邊長a的取值范圍． 易錯分析 本題中有兩點易錯：確定角A時忽視范圍；求邊長a的取值范圍中忽視三角形中兩邊之和大于第三邊． 解 由題意，f(A)＝sin(2A＋)＋1＝， 化簡得sin(2A＋)＝. 因為A∈(0，π)，所以2A＋∈(，)， 所以2A＋＝，所以A＝. 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos ＝(b＋c)2－3bc. 由b＋c＝2，知bc≤()2＝1，即a2≥1， 當且僅當b＝c＝1時取等號． 又由b＋c>a得a<2， 所以a的取值范圍是[1,2)． 易錯點6 忽視向量共線 例6 已知a＝(2,1)，b＝(λ，1)，λ∈R，a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是_________________． 易錯分析 誤認為θ為銳角?cos θ>0，沒有排除θ＝0即兩向量同向的情況． 解析 由θ為銳角，有0
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