【機械類畢業(yè)論文中英文對照文獻翻譯】相空間重構中嵌入維和時間延遲的選擇
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黃河科技學院畢業(yè)論文(文獻翻譯) 第 9 頁
相空間重構中嵌入維和時間延遲的選擇
MA Hong-guang, HAN Chong-chao
摘要：學者們提出了一種用于相空間重構的嵌入維和時間延遲自動算法,它利用混沌時間序列的去偏復自相關函數(shù)的零點來確定時間延遲,有效地降低了平均位移法跟蹤平均位移量斜率變化的隨意性所造成的計算誤差,并借助于復自相關法和Γtest 的迭代計算求得準最佳的嵌入維和時間延遲參數(shù)。該算法具有較充分的理論依據(jù),其計算復雜度不大,對數(shù)據(jù)長度的依賴性不強。仿真實驗結果表明,用該算法計算標準混沌時間序列關聯(lián)維的相對誤差由傳統(tǒng)算法的4.4%降低1.06%,有效地提高了計算相空間重構中不變量的精度。
關鍵詞：空間重構,嵌入維,時間延遲,復自相關
1.前言
利用非線性系統(tǒng)輸出的部分混沌時間序列考察系統(tǒng)中奇異吸引子的方法是分析混沌時間序列的常用方法,目前廣泛采用的是 Packad [1]等人提出的延遲坐標狀態(tài)空間重構法. 由Takens 定理[2]證明, 只要找到一個合適的嵌入維, 即如果延遲坐標的維數(shù)m≥2 d + 1（d 為原系統(tǒng)的階數(shù)）,在這個嵌入維空間里可以把有規(guī)律的軌線（吸引子或奇異吸引子） 恢復出來,亦即在重構的Rm 空間中的軌線上與原動力系統(tǒng)保持微分同胚. 在重構相空間中, 時間延遲τ和嵌入維m 的選取十分重要, 其精度直接關系著相空間重構后描述奇異吸引子特征的不變量的準確度。對τ和m 的選取現(xiàn)在主要有兩種觀點,第1 種認為兩者是互不相關的,即τ和m 的選取可以獨立進行（Takens 證明了對于無限長的、無噪聲干擾的時間序列,其τ和m 是相互獨立的）?，F(xiàn)有的時間延遲和嵌入維的選擇一般基于3 種準則：
①序列相關法,如自相關法[3] 、互信息量法[4]和高階相關法[5]等;
②相空間擴展法,如充填因子法[6] 、擺動量法[7]、平均位移法[8] 、SVF 法[9]等;
③復自相關法和去偏復自相關法[10] . 第2 種觀點則認為τ和m 是相互關聯(lián)的,因為現(xiàn)實中的時間序列都是有限長且不可避免地受到各種噪聲的影響. 大量實驗表明,τ和m 的關系與重構相空間的時間窗tw密切相關（ tw =( m - 1)τ） ,對于特定的時間序列,其tw 相對固定,τ和m 的不恰當配對將直接影響重構后的相空間結構與原空間的等價關系,因此相應地產(chǎn)生了τ和m 的聯(lián)合算法, 如時間窗口法[11] 、C2C 法[12]和嵌入維、時間延遲自動算法[13]等. 多數(shù)研究人員認為,第2 種觀點在工程實踐中更為實用、合理. 有關嵌入維和時間延遲聯(lián)合算法的研究是混沌時間序列分析的熱點之一。
2.嵌入維、時間延遲自動算法
嵌入維、時間延遲自動算法是由Masayuki Otani等人于2000 年10 月提出的, 該算法利用平均位移(Average Displacement Method ,AD) 和Γtest[14 ]聯(lián)合算法計算準最佳的嵌入維、時間延遲. 下面, 對該算法給予簡要介紹：
(1) 設混沌時間序列為X = { xi ( t ) } , i = 1 , 2 ,?, N , 給出一個嵌入維m 的初始值,即令m = m0 ,令時間延遲τ由小到大變化,依次將時間序列X 構造成總數(shù)為M = N - ( m - 1)τ的矢量{σi} , i = 1 ,2 ,?M ,σi = [ xi , xi + 1 , ?, xi + ( m - 1)τ] ，σi ∈Rm ，在每個確定的τ處計算整個矢量空間的平均位移量，
（1）
直到S (τ) 的值達到飽和為止(即其對τ的導數(shù)接近0 時 . 此時的時間延遲τ為對應的嵌入維下的準最佳值.
(2) 將計算得到的τ代入Γtest ,計算對應的準最佳嵌入維m. 具體的步驟是:設時間序列是由一個連續(xù)映射(函數(shù)) f : Rm → R 產(chǎn)生的, y = f ( x1 , ?,xm) +γ,其中γ代表了該模型的不確定部分,它包括噪聲的作用和對輸入、輸出之間的不確定成分. 給定一個嵌入維m 的值,將時間序:
(3) X = { xi ( t) } ,i =1 ,2 , ?, N 重構成M = N - ( m - 1)τ的矢量空間
ξi= { x ( i) , x ( ( i + 1)τ) , ?, x ( ( i + m - 1)τ) } (2)
令yi = x ( ( i + m)τ) , i = 1 ,2 , ?, M , 創(chuàng)建M組輸入、輸出矢量對{ξi , yi } , 在矢量空間中找出p最佳嵌入維m. 具體的步驟是:設時間序列是由一個連續(xù)映射(函數(shù)) f : Rm → R 產(chǎn)生的, y = f ( x1 , ?,xm) +γ,其中γ代表了該模型的不確定部分,它包括噪聲的作用和對輸入、輸出之間的不確定成分. 給定一個嵌入維m 的值,將時間序列X = { xi ( t) } , i = 1 ,2 , ?, N 重成M = N - ( m - 1)τ的矢量空間，
ξi= { x ( i) , x ( ( i + 1)τ) , ?, x ( ( i+ m - 1)τ) } (3)
令yi = x ( ( i + m)τ) , i = 1 ,2 , ?, M , 創(chuàng)建M組輸入、輸出矢量對{ξi , yi } , 在矢量空間中找出p續(xù)非線性混沌時間序列的嵌入維和時間延遲1 圖1為Lorenz 和Rossler 系統(tǒng)在m = 2 , 4 , 6 , 8 時的平均位移S (τ) 隨τ變化的波形：
圖1 洛倫茨平均位移
圖2 羅斯勒流的平均位移
然而,嵌入維、時間延遲自動算法不能直接處理像Henon 映射這樣的離散混沌序列, 主要原因是離散混沌序列的采樣間隔大, 使得數(shù)據(jù)間的相關性變化過快,因此處理離散時間序列時,應首先對數(shù)據(jù)序列進行內插處理. 圖2 所示為Henon 和Quadratic 序列經(jīng)樣條數(shù)據(jù)內插后在m = 2 , 4 , 6 , 8 時的平均位移S(τ) 隨τ變化的波形：
圖3 Henon 映射的平均位移
圖4 Quadratic 映射的平均位移
平均位移法是為了克服用自相關函數(shù)法求取時間延遲所存在的不足而提出來的, 根據(jù)自相關函數(shù)法得到的時間延遲τ可分別讓xi 和xi +τ以及xi +τ與
xi +2τ之間不相關, 而xi 與xi +2τ之間可能仍有很強的相關性,這一點意味著由自相關法得到的時間延遲不可能推廣到高維中, 而平均位移法屬相空間重構的幾何方法,可聯(lián)系相關性準則,具有較強的物理意義. 用上述算法計算得到的嵌入維和時間延遲精度在很大程度上依賴于平均位移法的精度. 如圖1、圖2 所示,隨著嵌入維m 的增加,平均位移S(τ) 的飽和點的位置不斷前移,用平均位移法跟蹤S (τ) 波形的斜率,當m 為某一確定值時, 第1 次降到初始斜率的40 %以下所對應的時間延遲即為所求的時間延遲τ. 這種方法的缺點是具有一定的隨意性,同時,在S (τ) 的總體變化中夾雜有較強的抖動, 因此用波形的斜率作為判斷時間延遲τ常常存在較大的誤差,由此計算出的嵌入維必然也不十分精確. 因此,必須對求解時間延遲τ的算法加以改進。
3.改進算法
時間延遲τ的復自相關算法[10 ]是由自相關法和平均位移法相結合推導出的,序列{xi}在m維相空間的平均位移可由式(1) 改寫為：
（4）
將式(4) 展開并忽略邊緣點帶來的誤差,設
在1 ≤j ≤m - 1 內為常數(shù),可得，
（5）
式中: Rxx (jτ) 是序列{xi} 的自相關函數(shù).定義，
則序列{ xi} 在m 維相空間的復自相關法可描述為:當嵌入維m 為某一確定值時,選取Rmxx (τ) 下降到其初始值的1 - e - 1時對應的時間為時間延遲τ.顯然, 復自相關法由AD 法蛻化而來, 可繼承AD 法在相空間重構中的幾何意義. 同時, 它又可看成是自相關法的高維擴展,可克服自相關法的缺點.復自相關法除讓xi 和xi +τ以及xi +τ與xi + 2τ之間不相關外,還可以保證xi 與xi + 2τ之間不相關. 因此,復自相關法具有較明確的理論依據(jù).對平均位移法的改進算法最終采用的是去偏復自相關法：
（6）
式中: x 為序列的均值.由于去偏復自相關去除了時間序列的均值,因此序列{ xi } 在m 維相空間的復自相關法是選取Cmxx(τ) 第1 個0 點所對應的時間作為時間延遲τ. 該方法的優(yōu)點是繼承了平均位移法在相空間中明顯的幾何意義,數(shù)學表達簡潔,易于計算. 該方法是自相關法在高維的擴展,有效地克服了平均位移法的缺陷.為了驗證改進后算法的精度, 選取Henon 映射Lorenz 系統(tǒng)的仿真數(shù)據(jù),分別用平均位移法、復自相關法和Γtest 相結合計算嵌入維和時間延遲, 重構Henon 映射和Lorenz 系統(tǒng), 其中Henon 映射的仿真數(shù)據(jù)經(jīng)10 倍的樣條插值后取前500個數(shù)據(jù)參加實驗,對Lorenz 系統(tǒng)則先生成10000個數(shù)據(jù), 選取5000至6 000之間的1000個數(shù)據(jù)參加實驗, 再分別計算出關聯(lián)維, 并與相應的理論關聯(lián)維[15 ]比較,得到計算誤差。實驗結果如表1 所示,由此可見,改進算法的計算誤差明顯小于原算法的誤差。
4.結束語
相空間重構法是分析混沌時間序列的基本方法之一, 要準確、全面地描述混沌時間序列中奇異吸引子的幾何特性, 必須準確地選擇用于重構計算的嵌入維和時間延遲, 而傳統(tǒng)的算法均將這兩個重要的參數(shù)看作是不相關的量。實踐證明,混沌時間序列的嵌入維和時間延遲是密切相關的, 因此本文所研究、改進的算法無疑為混沌理論的工程應用提供了一個有力的工具。
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