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附錄A 英文翻譯
非線性動(dòng)力學(xué)齒輪系統(tǒng)的兩個(gè)階段與嚙合剛度波動(dòng)、軸承的
靈活性和反彈
摘要：
這項(xiàng)工作調(diào)查研究線性動(dòng)力學(xué)齒輪系統(tǒng)的兩個(gè)階段涉及到反彈和與實(shí)踐相關(guān)的嚙合剛度。本文主要包括建立一個(gè)12度的自由齒輪動(dòng)態(tài)模型。該模型包括兩個(gè)階段的齒輪、三個(gè)軸和兩個(gè)代表負(fù)載、主要推動(dòng)者和三個(gè)軸承的慣量。齒輪接觸的特點(diǎn)是剛度和反彈的周期性變化，這個(gè)可以導(dǎo)致接觸的損失。
非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的研究多虧線性化技術(shù)，?這個(gè)技術(shù)將非線性系統(tǒng)分解為滿足一些條件的線性系統(tǒng)。每個(gè)系統(tǒng)得以解決是由于紐馬克迭代算法。結(jié)果獲得似乎是齒輪接觸的損失的現(xiàn)象，因?yàn)橄到y(tǒng)的電動(dòng)機(jī)和接收組件之間的動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)是不連續(xù)性的。
1、簡介：
齒輪是許多先進(jìn)機(jī)器中最常見和最??重要的機(jī)械部件之一。理解振動(dòng)信號(hào)的一種的改進(jìn)，需要對起動(dòng)齒輪故障做早期檢測以實(shí)現(xiàn)高可靠性。在機(jī)械工程中齒輪系統(tǒng)是一個(gè)重要的組成部分。他們已經(jīng)知道了一些技術(shù)的進(jìn)步變得越來越具有可靠性和持久抵抗性。由于齒輪機(jī)制的技術(shù)優(yōu)勢，齒輪機(jī)制已被發(fā)明并在現(xiàn)代能量傳輸系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用。在能量傳輸和檢測儀表領(lǐng)域中使用的齒輪，變得幾乎無處不在，因?yàn)楸仨殑?dòng)態(tài)模型足夠的好，使它們有穩(wěn)定數(shù)值。
齒輪系統(tǒng)被用來降低轉(zhuǎn)速，增加可利用的扭矩，改變能量傳輸?shù)姆较蚝秃驮谝恍C(jī)器間分散可利用的能量。
Litak和Friswell研究的一個(gè)單一齒輪階段的純扭轉(zhuǎn)模型的動(dòng)態(tài)行為。齒輪彈性模型通過時(shí)間改變，這最有代表性的是真實(shí)現(xiàn)象，其特征通過隨著時(shí)間接觸的齒輪數(shù)量決定。目前，一些研究企圖描述鋼針齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)影響了當(dāng)處的外部激勵(lì)。事實(shí)上，線性模型不足以來描述真正的機(jī)械結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)行為。隨著非線性動(dòng)態(tài)的非線性特點(diǎn)(如反彈)，已成為最有趣的研究課題。Kahraman and Singh提出扭轉(zhuǎn)影響模型。在數(shù)學(xué)模型中，彈性齒輪已被建模通過彈簧與時(shí)間變化的剛度，因?yàn)榻佑|的齒輪數(shù)量隨著時(shí)間而改變。此外，問題在于非線性，因?yàn)榻佑|失去典型的共振操作。因此，嚙合剛度由于多樣的齒輪接觸而隨時(shí)間變化，齒輪間的反彈使結(jié)構(gòu)的復(fù)雜行為變得更難。由于這一缺陷，齒輪系統(tǒng)可以有規(guī)律或不根據(jù)系統(tǒng)參數(shù)振動(dòng)。
在任何齒輪系統(tǒng)中反沖壓力是已被發(fā)現(xiàn)的最常見的故障，盡管有些反沖是任何齒輪系統(tǒng)最近本的。有很多關(guān)于齒輪系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)的論文，并已取得許多重要成果。此外，一些不同的模型已被用于具有其他非線性特征的齒輪動(dòng)態(tài)力學(xué)中，如滑動(dòng)摩擦的齒輪動(dòng)力學(xué)嚙合阻尼。
本文的主要目標(biāo)是：（1）發(fā)明一個(gè)分析性模型用于兩個(gè)階段的正齒輪系統(tǒng)，包括基本機(jī)的變形如齒輪，軸和軸承。（2）齒輪間反彈的非線性，由于彈性齒輪負(fù)荷連續(xù)函數(shù)，（3）研究非線性動(dòng)力學(xué)行為系統(tǒng)。
2、兩個(gè)階段的齒輪系統(tǒng)的非線性模型
齒輪細(xì)聽被用于工業(yè)部門（汽車，機(jī)械和直升機(jī)）由兩個(gè)或多個(gè)階段確保最小的減速比率和最大兩的接收轉(zhuǎn)矩。在本文中，非線性動(dòng)力學(xué)模型兩個(gè)階段的齒輪減速考慮到齒輪的可變形性和非線性特征來自在工作中出現(xiàn)的齒輪接觸損失現(xiàn)象。動(dòng)態(tài)模型和相關(guān)的物理模型在圖一中已列出。齒輪通過集中大量數(shù)據(jù)得以建模，因?yàn)槊總€(gè)齒輪有其預(yù)算的準(zhǔn)確度（除了預(yù)先的每個(gè)等級(jí)的齒輪）。軸承齒輪通過齒輪計(jì)劃的線性彈簧得以建模。軸預(yù)算了不良的彈性。
廣義坐標(biāo)向量的非線性動(dòng)力學(xué)模型包括12個(gè)自由度，可以定義通過
這里xj和yj是軸承位移是齒輪的動(dòng)態(tài)角位移，hi (i = 1, ...,4)是電機(jī)和閘的動(dòng)態(tài)角位移。
本文中所研究的非線性動(dòng)力學(xué)模型的特點(diǎn)是由12個(gè)自由度決定，它根據(jù)每個(gè)階段定義的兩個(gè)齒輪變量個(gè)變根據(jù)線性行為預(yù)設(shè)，并可以表達(dá)為
這里ri是齒輪基地半徑，表示壓力角。
3.齒輪接觸造型
從以上表述，齒輪系統(tǒng)不僅具有分段線性剛度，而且有時(shí)間變化參量。在本文中，研究拓展到非線性系統(tǒng)，當(dāng)齒輪接觸根據(jù)線性行為通過時(shí)間變化剛度得以建模時(shí)，這考慮到一對或兩對齒輪接觸變化的選擇。
圖1。兩個(gè)階段的齒輪系統(tǒng)的物理模型和動(dòng)態(tài)模型研究
時(shí)間的不同勵(lì)磁是網(wǎng)格頻率周期輪。齒嚙合剛度勵(lì)磁變化的平均值根據(jù)齒輪的類型考慮。幾個(gè)數(shù)值方法，包括有限元的工作，已發(fā)展到計(jì)算這個(gè)值。在每一個(gè)階段，嚙合剛度的變化，可以模擬一個(gè)周期性的方波函數(shù)（圖2）。
隨時(shí)間變化的齒輪嚙合剛度的極值定義為
這里s明確指定階段性數(shù)字（s=1:2），指定在階段的接觸率，這是齒輪的幾何特征，一般需要在1和2之間提供一個(gè)可觀值。然而，帕克等人。使用的整數(shù)值最小的振動(dòng)水平，因?yàn)樵谶@種特殊情況下，接觸齒輪的對數(shù)隨時(shí)間保持不變。這兩個(gè)網(wǎng)格的頻率是彼此相關(guān)的
這里Z2和Z3代表齒輪2和3 的齒數(shù)。
本文中考慮到的第二個(gè)勵(lì)磁是反彈和齒輪之間的。反彈距離是局限性的確保潤滑，消除干擾和擦傷。反彈被定義為超過一顆齒粒的厚度空間而變位。同樣可以被描述為在每個(gè)齒輪階段中心位置的變化。反彈指不能被夸大其工作需求，但它應(yīng)該對潤滑有足夠的創(chuàng)造空間。
簡介反彈進(jìn)入模型的缺陷，我們直接研究彈性嚙合力接觸損失根據(jù)被定義嚙合力連續(xù)性建模。圖3根據(jù)齒輪偏差了顯示了這種非連續(xù)性。
是由于反彈非線性均勻的功能沒有零值，被定義如下
這里2*bs呈現(xiàn)了在嚙合前齒輪間的反彈，如圖3所示
非線性功能定義在三個(gè)域。實(shí)際上，每個(gè)齒輪的接觸以三個(gè)方案齒輪組合為特征。三個(gè)方案總結(jié)在表1中。
圖2。齒輪嚙合剛度KS（T）的方波形式。
圖3。聯(lián)絡(luò)損失造型
齒輪之間引入反彈引起的接觸損失，特別是用于沒有或略有加載系統(tǒng)。這種影響的結(jié)果來自激烈的振動(dòng)，噪聲和巨大的動(dòng)態(tài)負(fù)載。它決定的齒輪系統(tǒng)的保真度和壽命。
4、非線性動(dòng)力學(xué)問題的公式
這類系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程中存在反彈，成為極端地非線性。另一個(gè)重要的困難來自一次接觸齒輪對數(shù)的數(shù)量，造成等效變化齒輪嚙合剛度。在分析和解釋數(shù)值結(jié)果中，引入并合并這兩個(gè)因素。
拉格朗日形式主義用于列出非線性微分方程，支配動(dòng)機(jī)系統(tǒng)的兩個(gè)階段齒輪的運(yùn)動(dòng)減少每一個(gè)系統(tǒng)的自由程度。這12個(gè)非線性系統(tǒng)的自由度一般矩陣形式被定義為：
這里是質(zhì)量矩陣，指定的軸承和軸的固定剛度矩陣。
是非線性隨時(shí)間變化的嚙合剛度矩陣，它依賴于三個(gè)齒輪構(gòu)造。在第一個(gè)案例里這是空的，那里齒輪偏值包括和接觸損失的領(lǐng)域。
非線性時(shí)變嚙合剛度矩陣定義
在最重要的工作中, 一直認(rèn)為一種粘性阻尼可以減少振動(dòng)的水平。的表達(dá)等效粘性阻尼的表達(dá)已給出（Rayleigh阻尼）：
這里和是阻尼系數(shù)，和是系統(tǒng)的平均剛度矩陣。系統(tǒng)的內(nèi)部勵(lì)磁矢量是
非線性運(yùn)動(dòng)方程的解決方案已獲得并通過線性化技術(shù)，這其中包括打破了非線性系統(tǒng)的方程式，在一些線性系統(tǒng)下檢查方程式的一些條件（見表1）。本文所研究的非線性差異系統(tǒng)打破了在模型中一個(gè)反彈案例靜茹三個(gè)線系統(tǒng)和兩個(gè)反彈進(jìn)入九個(gè)線性系統(tǒng)。每個(gè)線性系統(tǒng)的分辨率的得出感謝一步步迭代Newmark的放法[12]。初始條件定義為
這些條件暗示著齒輪接觸損失，當(dāng)條件無效時(shí)，我們根據(jù)案例里每個(gè)階段齒輪撓度改變系統(tǒng)的公程式（表一）。方案京城是通過Newmark[12]的方法提出。每從一個(gè)案件到另一個(gè)與減少計(jì)算步驟有關(guān)，這將是最初的一步的100倍小于，因此，誤差最小化。
5、數(shù)值模擬及研究
實(shí)際上，這樣結(jié)構(gòu)的振動(dòng)測量軸承水平上用加速度。在本文中，我們對代表網(wǎng)格負(fù)載的動(dòng)態(tài)組件很感興趣，通過計(jì)算算法對軸承加速度和角速度推導(dǎo)速度。
5.1一次反彈的案例
圖4代表第一個(gè)齒輪隨著時(shí)間在第一階段的反彈存在偏轉(zhuǎn)波動(dòng)。“接觸損失代表當(dāng)齒輪偏轉(zhuǎn)反彈的一半的損失。 0.02秒后，在接觸中齒輪經(jīng)常留有接觸損失現(xiàn)象會(huì)使其加速。第二顆齒輪偏轉(zhuǎn)圍繞零上下波動(dòng)，但第一個(gè)非線性波動(dòng)和頂部反彈的一半有關(guān)。
圖5所示，分別對每個(gè)齒輪接觸的網(wǎng)格負(fù)載的頻譜。網(wǎng)格負(fù)載被定義為非線性對稱函數(shù)。通過得以定義。我們清楚地看到在??每一個(gè)信號(hào)存在的幾個(gè)波峰。這些波峰對應(yīng)的兩個(gè)網(wǎng)頻率FE1=1500 Hz和FE2=1000赫茲和他們的第一個(gè)諧波。
非線性頻譜的特點(diǎn)是增加了一個(gè)亮點(diǎn)，相應(yīng)的固有頻率F1，F(xiàn)3和F5的系統(tǒng)。
圖6分別代表輸入和輸出軸承加速度頻譜。我們看到了存在的幾個(gè)峰對應(yīng)的兩個(gè)網(wǎng)頻率分別為FE1=1500 Hz和FE2=1000Hz和他們的第一個(gè)諧波。非線性頻譜的特點(diǎn)是增加了對應(yīng)系統(tǒng)的固有頻率。
圖7角的線性和非線性輸入齒輪、中間齒輪和輸出齒輪的角度波動(dòng)速度。系統(tǒng)的線性速度和傳輸速度有關(guān)。在開始的時(shí)候，第一個(gè)齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)和齒輪（2，3，4）和輸出輪保持靜止。經(jīng)過一個(gè)小的時(shí)間段后，由于反彈，齒輪（2，3，4）與輸出齒輪將加速并影響動(dòng)周圍的線性角速度的波動(dòng)。
表2 研究分兩個(gè)階段齒輪系統(tǒng)的參數(shù)
研究Walha等。 /機(jī)理及機(jī)械原理44（2009）1058至1069年
圖4。牙齒的時(shí)空偏轉(zhuǎn)波動(dòng)（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為。）：（一）第一顆牙的撓度和（乙）第二顆偏轉(zhuǎn)。
0.02秒后，線性和非線性響應(yīng)變得非常密切，速度的波動(dòng)將得到減弱。反彈的影響，最顯眼的是，當(dāng)系統(tǒng)的方向速率受到非連續(xù)運(yùn)動(dòng)的頻繁逆轉(zhuǎn)時(shí)的情況。屬于這種類型的機(jī)制，包括增加機(jī)器人操作器和檢測故障嚴(yán)重降低他們的效果并變得越來越重要。
圖8代表時(shí)間速度相對齒輪的波動(dòng)，在案例中一個(gè)反彈位于第一層面的第一階段的齒輪和第二齒輪的網(wǎng)格接觸。我們得出這樣的結(jié)論：與非線性速度相比，線性速度幅度增加。但是，只有在第一顆齒輪的接觸，我們清楚地看到接觸損失的現(xiàn)象時(shí)，相對的齒輪位移高于反彈的一半的值。
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圖5。每個(gè)牙齒接觸網(wǎng)負(fù)荷譜（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為）：（一）第一網(wǎng)格負(fù)載譜和（二）第二網(wǎng)格負(fù)載頻譜
圖6。攀枝花鋼鐵集團(tuán)和輸出軸承加速度頻譜（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為。）：（一）第一軸承的頻譜第三軸承加速度的加速度和（b）頻譜。
圖7。線性和非線性的角速度波動(dòng)（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為。）。
圖8。相對牙齒的波動(dòng)速度以下，在位于第一階段齒輪間隙的情況下，牙齒位移：（一）第一個(gè)齒輪嚙合接觸及（B）第二齒輪嚙合接觸。
5.2反彈的兩種情況
圖9顯示了每個(gè)相對的齒輪位移的時(shí)間波動(dòng)。通過比較圖4B和9A，我們觀察到，第一個(gè)接觸的齒輪保持第一個(gè)案例所研究的形式相同。但第二顆偏轉(zhuǎn)改變了形式，我們得出結(jié)論，當(dāng)齒輪偏轉(zhuǎn)是反彈b2。0.02秒后，齒輪始終保持接觸和接觸損失的現(xiàn)象將被突破。在每一個(gè)階段，偏轉(zhuǎn)線性出輪圍繞零波動(dòng)，但非線性波動(dòng)的是頂部反彈的一半。
第二次反彈也影響到網(wǎng)格負(fù)載的非線性對稱函數(shù)。圖10顯示每增加兩網(wǎng)負(fù)荷不反彈的頻譜信號(hào)。頻譜上出現(xiàn)的波峰對應(yīng)兩個(gè)頻率，他們的第一個(gè)諧波和固有頻率和。
當(dāng)有沒有反彈，在齒輪之間沒有沖擊，因此信號(hào)幅度較低。小波紋是由于齒輪的彈性。但是，一旦引入非常低的反彈，網(wǎng)格負(fù)荷的振幅更高。關(guān)于這些波形的頻譜，我們總結(jié)兩個(gè)顯著特點(diǎn)：波峰突起較低時(shí)有反彈，幅度表明在存在反彈會(huì)傳播更快。這些都是直接沖擊現(xiàn)象的結(jié)果。
以同樣的方式，在系統(tǒng)中引入第二個(gè)反彈將延遲第二個(gè)齒輪網(wǎng)格接觸的轉(zhuǎn)體動(dòng)作的傳遞。第二次反彈影響齒輪的角速度，特別是在延遲現(xiàn)象出現(xiàn)在齒輪（4）角速度上，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)小的工作時(shí)間段后的第二個(gè)階段，動(dòng)能不轉(zhuǎn)移（圖11）。打開系統(tǒng)后，一段時(shí)間后的永久速度關(guān)系到第一個(gè)和第二個(gè)反彈的值。
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圖9。牙齒的時(shí)空偏轉(zhuǎn)波動(dòng)（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為。）：（一）第一顆牙的撓度和（乙）第二顆偏轉(zhuǎn)
在齒輪反彈檢測的情況下，預(yù)計(jì)一個(gè)恒定的方波勵(lì)磁的齒輪的動(dòng)態(tài)影響與反彈量會(huì)有所不同（即與配合面之間的間隙牙齒反彈）。這是因?yàn)榍鍧嵲S可證“風(fēng)”的傳動(dòng)齒輪和增加其動(dòng)能能源。
圖12顯示時(shí)間相關(guān)牙齒的速度波動(dòng)，隨著兩種反彈的情況而產(chǎn)生位移，就是第一和第二階段齒輪的反彈。我們得出這樣的結(jié)論：線性振幅速度相比非線性振幅線性速度是有增加速的。以同樣的方式，我們清楚地看到，當(dāng)每個(gè)相關(guān)的齒輪位移高于反彈值得一半時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)接觸損失的現(xiàn)象。從這些結(jié)果，我們得出這樣的結(jié)論：傳動(dòng)齒輪反彈的增加，將沖擊加載齒輪更大的初始速度，并會(huì)有更多的能量消散。
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圖10。每個(gè)牙齒接觸網(wǎng)負(fù)荷譜（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為）：（一）第一網(wǎng)格負(fù)載譜和（二）第二網(wǎng)格負(fù)載頻譜。
圖11。線性和非線性的角速度波動(dòng)（（ - ）：線性的行為，（...）：非線性行為。
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圖12。牙齒速度相對波動(dòng)后牙位移的兩個(gè)位于兩個(gè)階段的齒輪抵制的情況下：（一）第一齒輪嚙合聯(lián)系和（b）第二齒輪嚙合接觸。
6、總結(jié)
本文發(fā)明兩個(gè)階段的齒輪系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)模型，介紹了齒輪、軸承和軸的可變形性。非線性的起源是在工作齒輪之間的接觸損失。這種結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)行為的特點(diǎn)是其復(fù)雜性，復(fù)雜性主要來源于耦合時(shí)周期之間齒輪間反彈情況下網(wǎng)格反剛度的變動(dòng)。該系統(tǒng)的非線性行為能得以分析研究，由于線性化的新技術(shù)，非線性系統(tǒng)的組成可分解成滿足一定條件的若干線性系統(tǒng)。線性分辨率要感謝紐馬克迭代算法。
對于低轉(zhuǎn)速，系統(tǒng)的特點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性，這是由于非連續(xù)地輸入齒輪和輸出接收輪的動(dòng)能轉(zhuǎn)移。最后，我們的研究豐富了當(dāng)前文學(xué)上的非線性分析模型，因?yàn)橹饕姆蔷€性不同微分方程與自由系統(tǒng)的單一度是不同的。本文推導(dǎo)出的結(jié)果可以由加速度計(jì)注冊的結(jié)果，可以與通過在軸承的加速裝置所記載的結(jié)果相比，這將在齒輪系統(tǒng)的維護(hù)階段使用。
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英文原文
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