浙江省2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第三章 函數(shù)及其圖像 第六節(jié) 二次函數(shù)的綜合應(yīng)用課件.ppt
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第六節(jié)二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,考點(diǎn)一二次函數(shù)與一元二次方程例1(2018湖北襄陽中考)已知二次函數(shù)y＝x2－x＋m－1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則m的取值范圍是()A．m≤5B．m≥2C．m＜5D．m＞2,【分析】根據(jù)已知拋物線與x軸有交點(diǎn)得出不等式，求出不等式的解集即可．【自主解答】∵二次函數(shù)y＝x2－x＋m－1的圖象與x軸有交點(diǎn)，∴Δ＝(－1)2－41(m－1)≥0，解得m≤5.故選A.,1．(2018湖南衡陽中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A(－1，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)(1，n)，與y軸的交點(diǎn)在(0，2)，(0，3)之間(包含端點(diǎn))，則下列結(jié)論：①3a＋b＜0；②－1≤a≤－；③對于任意實(shí)數(shù)m，a＋b≥am2＋bm總成立；④關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝n－1有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．其中結(jié)論正確的個數(shù)為(),A．1B．2C．3D．4,考點(diǎn)二利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活中的最值問題例2(2018浙江衢州中考)某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達(dá)到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合．如圖所示，以水平方向?yàn)閤軸，噴水池中心為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．,(1)求水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式；(2)王師傅在噴水池內(nèi)維修設(shè)備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內(nèi)？(3)經(jīng)檢修評估，游樂園決定對噴水設(shè)施做如下設(shè)計改進(jìn)：在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴(kuò)大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物(高度不變)處匯合，請?zhí)骄繑U(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度．,【分析】(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)可設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)(8，0)，求出a值，此題得解；(2)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出當(dāng)y＝1.8時x的值，由此即可得出結(jié)論；,(3)利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線的形狀不變可設(shè)改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋bx＋，代入點(diǎn)(16，0)可求出b值，再利用配方法將二次函數(shù)表達(dá)式變形為頂點(diǎn)式，即可得出結(jié)論．,【自主解答】(1)設(shè)水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為y＝a(x－3)2＋5(a≠0)．將(8，0)代入y＝a(x－3)2＋5得25a＋5＝0，解得a＝－，∴水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－(x－3)2＋5(0＜x＜8)．,(2)當(dāng)y＝1.8時，有－(x－3)2＋5＝1.8，解得x1＝－1(舍去)，x2＝7，∴為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心7米以內(nèi)．(3)當(dāng)x＝0時，y＝－(x－3)2＋5＝.設(shè)改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋bx＋.,∵該函數(shù)圖象過點(diǎn)(16，0)，∴0＝－162＋16b＋，解得b＝3，∴改造后水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達(dá)式為y＝－x2＋3x＋＝－(x－)2＋，∴擴(kuò)建改造后噴水池水柱的最大高度為米．,利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題中的最大(小)值時，在解題方法上常用到待定系數(shù)法、配方法、公式法等．在數(shù)學(xué)思想方面同樣體現(xiàn)了函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想等．求二次函數(shù)的表達(dá)式和函數(shù)的最大(小)值是考查重點(diǎn)，解題過程中要注意自變量的取值范圍．,2．(2018四川達(dá)州中考)“綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中，因此，越來越多的人喜歡騎自行車出行．某自行車店在銷售某型號自行車時，以高出進(jìn)價的50%標(biāo)價．已知按標(biāo)價九折銷售該型號自行車8輛與將標(biāo)價直降100元銷售7輛獲利相同．,(1)求該型號自行車的進(jìn)價和標(biāo)價分別是多少元？(2)若該型號自行車的進(jìn)價不變，按(1)中的標(biāo)價出售，該店平均每月可售出51輛；若每輛自行車每降價20元，每月可多售出3輛，求該型號自行車降價多少元時，每月獲利最大？最大利潤是多少？,解：(1)設(shè)進(jìn)價為x元，則標(biāo)價是1.5x元．由題意得1．5x0.98－8x＝(1.5x－100)7－7x，解得x＝1000，1．51000＝1500(元)．答：進(jìn)價為1000元，標(biāo)價為1500元．,(2)設(shè)該型號自行車降價a元，利潤為w元．由題意得w＝(51＋3)(1500－1000－a)＝－(a－80)2＋26460.∵－＜0，∴當(dāng)a＝80時，w最大＝26460.答：該型號自行車降價80元出售時，每月獲利最大，最大利潤是26460元.,考點(diǎn)三利用二次函數(shù)解決幾何圖形中的最值問題例3(2018甘肅天水中考)如圖所示，在正方形ABCD和△EFG中，AB＝EF＝EG＝5cm，F(xiàn)G＝8cm，點(diǎn)B，C，F(xiàn)，G在同一條直線l上．當(dāng)點(diǎn)C，F(xiàn)重合時，△EFG以1cm/s的速度沿直線l向左開始運(yùn)動，ts后，正方形ABCD與△EFG重合部分的面積為S.請解答下列問題：,(1)當(dāng)t＝3時，求S的值；(2)當(dāng)t＝5時，求S的值；(3)當(dāng)5＜t<8時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值.,【分析】(1)首先確定重疊部分是三角形，再根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求出高，進(jìn)而得出面積；(2)確定重疊部分的面積是四邊形，再根據(jù)△EFG的面積－△CHG的面積計算即可；(3)先確定重疊部分是五邊形，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)表示出對應(yīng)邊，再根據(jù)S＝S△EFG－S△BFH－S△CGP，列出S關(guān)于t的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)討論最值即可．,【自主解答】如圖，過點(diǎn)E作EM⊥l于點(diǎn)M.∵EF＝EG＝5cm，F(xiàn)G＝8cm，∴FM＝MG＝4cm.在Rt△EFM中，根據(jù)勾股定理得EM＝3cm.由△EFG以1cm/s的速度運(yùn)動，可知CF＝tcm.(1)當(dāng)t＝3時，CF＝3cm＜CM，知重疊部分為△CFH，如圖所示，,∵∠FCH＝∠FME，∠HFC＝∠EFM，∴△FCH∽△FME，∴＝.∵CF＝3cm，F(xiàn)M＝4cm，EM＝3cm，∴CH＝cm.則S＝CFCH＝(cm2)．,(2)如圖所示，當(dāng)t＝5時，點(diǎn)F與點(diǎn)B重合，S△CHG＝cm2，S＝S△EFG－S△CHG＝FGEM－S△CHG＝12－＝(cm2)．,(3)如圖，當(dāng)5＜t<8時，重疊部分是五邊形，BF＝(t－5)cm，CG＝(8－t)cm.∵∠FBH＝∠FME，∠HFB＝∠EFM，∴△FBH∽△FME，∴＝.,∵BF＝(t－5)cm，F(xiàn)M＝4cm，EM＝3cm，則BH＝(t－5)cm.∴S△BFH＝BFBH＝(t－5)2＝t2－t＋.同理可得CP＝(8－t)cm，∴S△CGP＝CGCP＝(8－t)2＝t2－6t＋24，∴S＝S△EFG－S△BFH－S△CGP＝－(t－)2＋.當(dāng)t＝時，S的最大值為cm2.,構(gòu)造二次函數(shù)來確定幾何圖形中的有關(guān)面積最大值的問題是近年來?？嫉念}型，求解這類問題，實(shí)際上，只要我們能充分運(yùn)用條件，根據(jù)圖形的特點(diǎn)，綜合運(yùn)用所學(xué)知識，如勾股定理、全等三角形、相似三角形、解直角三角形、圖形的面積公式等來尋求等量關(guān)系，從而構(gòu)造出二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．,3．(2018四川自貢中考)如圖，拋物線y＝ax2＋bx－3過A(1，0)，B(－3，0)，直線AD交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－2，點(diǎn)P(m，n)是線段AD上的動點(diǎn)．,(1)求直線AD及拋物線的表達(dá)式；(2)過點(diǎn)P的直線垂直于x軸，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的長度l與m的關(guān)系式，m為何值時，PQ最長？(3)在平面內(nèi)是否存在整點(diǎn)(橫、縱坐標(biāo)都為整數(shù))R，使得P，Q，D，R為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．,解：(1)把(1，0)，(－3，0)代入函數(shù)表達(dá)式得拋物線的表達(dá)式為y＝x2＋2x－3.當(dāng)x＝－2時，y＝(－2)2＋2(－2)－3＝－3，即D(－2，－3)．,設(shè)AD的表達(dá)式為y＝kx＋q，將A(1，0)，D(－2，－3)代入得故直線AD的表達(dá)式為y＝x－1.,(2)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m－1)，Q(m，m2＋2m－3)，l＝(m－1)－(m2＋2m－3)，化簡得l＝－m2－m＋2，配方得l＝－(m＋)2＋.當(dāng)m＝－時，l最大＝.,(3)由(2)可知，0＜PQ≤.當(dāng)PQ為邊時，DR∥PQ且DR＝PQ.∵R是整點(diǎn)，D(－2，－3)，∴PQ是正整數(shù)，∴PQ＝1或PQ＝2.當(dāng)PQ＝1時，DR＝1，此時點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為－2，縱坐標(biāo)為－3＋1＝－2或－3－1＝－4，,∴R(－2，－2)或R(－2，－4)．當(dāng)PQ＝2時，DR＝2，此時點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為－2，縱坐標(biāo)為－3＋2＝－1或－3－2＝－5，即R(－2，－1)或R(－2，－5)．當(dāng)PQ為對角線時，,設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(n，n＋m2＋m－3)，Q(m，m2＋2m－3)，則QR2＝2(m－n)2.又∵P(m，m－1)，D(－2，－3)，∴PD2＝2(m＋2)2，∴(m＋2)2＝(m－n)2，解得n＝－2(不合題意，舍去)或n＝2m＋2.,∴點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2m＋2，m2＋3m－1)．∵R是整點(diǎn)，－2＜m＜1，∴當(dāng)m＝－1時，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0，－3)．當(dāng)m＝0時，點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2，－1)．綜上所述，存在滿足條件的點(diǎn)R，它的坐標(biāo)為(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．,考點(diǎn)四二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合性問題例4(2018湖北鄂州中考)如圖，已知直線y＝x＋與拋物線y＝ax2＋bx＋c相交于A(－1，0)，B(4，m)兩點(diǎn)，拋物線y＝ax2＋bx＋c交y軸于點(diǎn)C(0，－)，交x軸正半軸于D點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為M.,(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)P為直線AB下方的拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大時，求此時△PAB的面積及點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)Q為x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)△QMN∽△MAD(點(diǎn)Q與點(diǎn)M對應(yīng))，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．,【分析】(1)將B(4，m)代入一次函數(shù)的關(guān)系式即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)關(guān)系式即可求出其關(guān)系式，再將其化為頂點(diǎn)式就能得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．,(2)過點(diǎn)P作PE⊥x軸，交AB于點(diǎn)E，交x軸與點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，則S△CDE＝PEAF，求出直線AB的關(guān)系式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，m2－m－)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m，m＋)，即可得到S△CDE的函數(shù)關(guān)系式，將其化為頂點(diǎn)式即可求出最大值；(3)由勾股定理的逆定理可證得△MAD是等腰直角三角形，則QMN也是等腰直角三角形，從而得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)．,【自主解答】(1)將B(4，m)代入y＝x＋得m＝4＋＝，∴B(4，)．將A(－1，0)，B(4，)，C(0，－)代入y＝ax2＋bx＋c，解得拋物線的表達(dá)式為y＝x2－x－＝(x－1)2－2，故頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，－2)．,(2)如圖，過點(diǎn)P作PE⊥x軸，交AB于點(diǎn)E，交x軸與點(diǎn)G，過點(diǎn)B作BF⊥x軸于點(diǎn)F.,(3)∵拋物線的表達(dá)式為y＝x2－x－＝(x－1)2－2，∴拋物線的對稱軸為直線x＝1.又∵A(－1，0)，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3，0)．又∵M(jìn)的坐標(biāo)為(1，－2)，∴AD＝3－(－1)＝4，AD2＝42＝16，AM2＝(－1－1)2＋(0－2)2＝8，DM2＝(3－1)2＋(0＋2)2＝8，∴AD2＝AM2＋DM2，且AM＝DM，,∴△MAD是等腰直角三角形，∠AMD＝90.又∵△QMN∽△MAD，∴△QMN也是等腰直角三角形，且QM＝QN，∠MQN＝90，∠QMN＝45.又∵∠AMD＝90，∴∠AMQ＝∠QMD＝45，,此時點(diǎn)D(或點(diǎn)A)與點(diǎn)N重合，如圖，此時MQ⊥x軸，故點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，0)．,二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)的綜合性問題，往往涉及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的表達(dá)式，一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，二次函數(shù)最值的求法，綜合性較強(qiáng)，利用數(shù)形結(jié)合、分類討論是解題的關(guān)鍵．,4．(2018山東日照中考)在平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．已知反比例函數(shù)y＝(m<0)與y＝x2－4在第四象限內(nèi)圍成的封閉圖形(包括邊界)內(nèi)的整點(diǎn)的個數(shù)為2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為___________．,－2≤m<－1,考點(diǎn)五二次函數(shù)綜合題百變例題(2018山東濟(jì)寧中考)如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)．,(1)求該拋物線的表達(dá)式；(2)若以點(diǎn)A為圓心的圓與直線BC相切于點(diǎn)M，求切點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上，是否存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．,【分析】(1)已知A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得y＝a(x－3)(x＋1)，再將點(diǎn)C坐標(biāo)代入即可解得；(2)過點(diǎn)A作AM⊥BC，利用全等三角形求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線AM的表達(dá)式，同理可求出直線BC的表達(dá)式，聯(lián)立求出M坐標(biāo)即可；(3)存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，分兩種情況，利用平移規(guī)律確定出P的坐標(biāo)即可．,【自主解答】(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，B(－1，0)，∴y＝a(x－3)(x＋1)．又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0，－3)，∴－3＝a(0－3)(0＋1)，解得a＝1，∴拋物線的表達(dá)式為y＝(x－3)(x＋1)，即y＝x2－2x－3.,(2)如圖，過點(diǎn)A作AM⊥BC，垂足為點(diǎn)M，AM交y軸于點(diǎn)N，,∴∠BAM＋∠ABM＝90.在Rt△BCO中，∠BCO＋∠ABM＝90，∴∠BAM＝∠BCO.∵A(3，0)，B(－1，0)，C(0，－3)，∴AO＝CO＝3，OB＝1.又∵∠BAM＝∠BCO，∠BOC＝∠AON＝90，,∴△AON≌△COB，∴ON＝OB＝1，∴N(0，－1)．設(shè)直線AM的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx＋b，把A(3，0)，N(0，－1)代入得解得∴直線AM的函數(shù)表達(dá)式為y＝x－1.,(3)存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．設(shè)Q(t，0)，P(m，m2－2m－3)．分兩種情況考慮：當(dāng)四邊形BCQP為平行四邊形時，由B(－1，0)，C(0，－3)，根據(jù)平移規(guī)律得－1－m＝0－t，0－(m2－2m－3)＝－3－0，解得m＝1.,當(dāng)m＝1＋時，m2－2m－3＝8＋2－2－2－3＝3，即P(1＋，3)；當(dāng)m＝1－時，m2－2m－3＝8－2－2＋2－3＝3，即P(1－，3)．當(dāng)四邊形BCPQ為平行四邊形時，,由B(－1，0)，C(0，－3)，根據(jù)平移規(guī)律得－1－t＝0－m，0－0＝－3－(m2－2m－3)，解得m＝0或2.當(dāng)m＝0時，P(0，－3)(舍去)；當(dāng)m＝2時，P(2，－3)．綜上所述，存在以點(diǎn)B，C，Q，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1＋，3)或(1－，3)或(2，－3)．,變式1：若點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，求△ACD面積與△ABC面積的比．解：如圖，連結(jié)AC，AD，CD，作DL⊥x軸于點(diǎn)L.,變式2：若E是x軸上一個動點(diǎn)，過E作射線EF∥BC交拋物線于點(diǎn)F，隨著E點(diǎn)的運(yùn)動，在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以B，E，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．,解：存在．理由如下：①如圖，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時，作FR⊥x軸于點(diǎn)R.,∵四邊形BCFE為平行四邊形，∴EFBC，∴△ERF≌△BOC，∴RF＝OC＝3，∴－3＝x2－2x－3，解得x＝2或x＝0(與C點(diǎn)重合，舍去)，∴F(2，－3)．,②如圖，當(dāng)F在x軸上方時，作FS⊥x軸于點(diǎn)S.,∵四邊形BCEF為平行四邊形，∴EFBC，∴△EFS≌△BCO，∴FS＝OC＝3，∴3＝x2－2x－3，解得x1＝1＋，x2＝1－.綜上所述，F(xiàn)點(diǎn)為(2，－3)或(1＋，3)或(1－，3)．,變式3：如圖，若點(diǎn)G是線段AC上的點(diǎn)(不與A，C重合)，過G作GH∥y軸交拋物線于H，若點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，請用m的代數(shù)式表示GH的長．,解：設(shè)直線AC的表達(dá)式為y＝kx－3，則有0＝3k－3，解得k＝1，故直線AC的表達(dá)式為y＝x－3.已知點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為m，則G(m，m－3)，H(m，m2－2m－3)，∴GH＝m－3－(m2－2m－3)＝－m2＋3m(0下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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