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優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)
W. PRAGER 3
摘要。數(shù)學(xué)技術(shù)被應(yīng)用在典型的優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題這一領(lǐng)域。介紹一個(gè)關(guān)于一個(gè)桿的設(shè)計(jì)為了描述最大化繞度和顯示怎樣適當(dāng)?shù)碾x散化可能導(dǎo)致一個(gè)非線性的問(wèn)題，在這種情況下的復(fù)雜的程序。最優(yōu)布局已經(jīng)被討論了一段時(shí)間。一種新的建立最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)的方法已經(jīng)說(shuō)明了被設(shè)計(jì)一個(gè)靜不定梁或一個(gè)變截面的繞度在一個(gè)單一的集中壓力下。其他的應(yīng)用這個(gè)方法被簡(jiǎn)單的討論，并且用一個(gè)多功能的設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)單的例子來(lái)結(jié)束這份文件。
1 。導(dǎo)言
結(jié)構(gòu)最優(yōu)化的最普通的問(wèn)題或許可以表述如下：從所有的滿足某些限制的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，選擇其中一個(gè)最低成本的。注意這個(gè)聲明并不定義一個(gè)唯一的設(shè)計(jì);可能同時(shí)有幾個(gè)最優(yōu)化的設(shè)計(jì)有相同的成本。
典型的設(shè)計(jì)將考慮滿足變形或受力的最大約束，或者最小約束的承載能力，屈服載荷，或固有頻率。單一的和多用途的結(jié)構(gòu)都要被考慮，即是受單一因素或多重因素的約束。
設(shè)計(jì)聲明中的花費(fèi)也許會(huì)參照到制造成本或總生產(chǎn)成本和生產(chǎn)中結(jié)構(gòu)的壽命。 在航天結(jié)構(gòu)中，燃油成本需要執(zhí)行最大的重量但最小的質(zhì)量是他們?cè)O(shè)計(jì)的唯一目標(biāo)，這個(gè)觀點(diǎn)將要使用在下面文章。
在這個(gè)文獻(xiàn)的第一部分，優(yōu)化設(shè)計(jì)的典型問(wèn)題將用已經(jīng)應(yīng)用這個(gè)方面的數(shù)學(xué)技術(shù)來(lái)說(shuō)明第二部分將要關(guān)注有廣泛應(yīng)用的有很大前途的最近發(fā)展的技術(shù)
這整個(gè)文章，它強(qiáng)調(diào)具有最優(yōu)整體結(jié)構(gòu)是必須被仔細(xì)的定義沒(méi)有意義的方案是要避免的。
事實(shí)上還要強(qiáng)調(diào)指出某些直觀的最優(yōu)準(zhǔn)則對(duì)工程師來(lái)說(shuō)不一定提供真正的最優(yōu)解。為了更清晰的介紹設(shè)計(jì)原則，大多數(shù)例子是關(guān)于單一約束的結(jié)構(gòu)盡管多約束的結(jié)構(gòu)是具有更大的實(shí)際意義。
2 。離散
去探索具有數(shù)學(xué)性質(zhì)的最優(yōu)化結(jié)構(gòu)問(wèn)題，這是經(jīng)常有用的用一個(gè)分立模擬取代連續(xù)問(wèn)題?？紤]，例如，簡(jiǎn)直彈性梁在圖。 1最大偏轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的給予負(fù)荷6P不會(huì)超過(guò)給定值。對(duì)于離散性問(wèn)題，用一系列用彈性鉸鏈連接的剛性棒取代梁。
圖1.分立模擬彈性梁。
在圖1中，緊緊三個(gè)鉸鏈已經(jīng)被介紹了。但是，為了得到真實(shí)的結(jié)果，這個(gè)離散取決于鉸鏈的數(shù)目。彎矩可以轉(zhuǎn)換鉸鏈數(shù)目i和角度的關(guān)系為 = (1)
其中是彈性剛度的鉸鏈。由于是靜定梁， 在鉸鏈上的彎矩獨(dú)立的剛度；因此，
=5Ph=, =3Ph=, =Ph=. (2)
接下來(lái)，彎曲角度將被視為最小。在一個(gè)直角坐標(biāo)系的實(shí)際空間中,i=1,2,3,這個(gè)非負(fù)性質(zhì)的彎曲角度和在鉸鏈上的繞度定義凸可行域。
，，0,
5+3+-6/h0,
3+9-3-6/h0, （3）
+3+5-6/h0，
作為接下來(lái)將要講的例子， 一組質(zhì)量的剛度假定達(dá)到剛度的一定比例。這個(gè)設(shè)計(jì)即是 ++=Min 或，通過(guò)公式（2）
5/+3/+1/=Min (4)
值得注意的是 通過(guò)公式（3）-（4），一個(gè)局部?jī)?yōu)化對(duì)于整體優(yōu)化必須的。
這句話很重要因?yàn)閯倓傞_始的設(shè)計(jì)對(duì)于滿足所有約束的相鄰設(shè)計(jì)是沒(méi)有什么實(shí)際價(jià)值的。也要注意到 優(yōu)化總體上 不會(huì)對(duì)應(yīng)到位于一個(gè)邊的或恰好位于一個(gè)頂點(diǎn)區(qū)域的一個(gè)點(diǎn)的空間設(shè)計(jì)。這句話直觀的表明沖突的約束不一定是有用的。假如，舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)，設(shè)計(jì),,條件<<=.假如是剛度的最小變量，設(shè)計(jì)+,-,,擁有相同的質(zhì)量的理想繞度為，， 滿足<,<<=而且三個(gè)剛度降低一定的比例直到第一個(gè)鉸鏈的繞度是。假如這個(gè)探討是正確的降低結(jié)構(gòu)只來(lái)那個(gè)的過(guò)程能夠被重復(fù)直到鉸鏈1和2有相同的質(zhì)量&。接下來(lái)設(shè)計(jì)的更改和都有想同的少量的增加而則降低兩倍目的是保持質(zhì)量常數(shù)。用這種方式，可能有爭(zhēng)論關(guān)于；優(yōu)化設(shè)計(jì)必須對(duì)應(yīng)一個(gè)邊上的一個(gè)點(diǎn)或者可行性區(qū)域上的頂點(diǎn)，由于優(yōu)化設(shè)計(jì)，兩三個(gè)不平等的約束就必須列方程。這沖突的約束通常會(huì)出現(xiàn)在工程界，顯然用手是不能完成的。具有不平等約束繞度的最小重量梁的設(shè)計(jì)近期已經(jīng)已經(jīng)討論了被Haug and Kirmser（見(jiàn)1）較早前調(diào)查（見(jiàn)，例如，參2-4 ）在某一特定點(diǎn)所涉及的不等式約束對(duì)撓度，舉例來(lái)說(shuō)，在載荷集中在一個(gè)點(diǎn)上。在特殊情況下該點(diǎn)的最大繞度位置是已知的，舉例來(lái)說(shuō)，從對(duì)稱的考慮，一個(gè)約束擁有最大繞度能夠被指定通過(guò)這種方法。同樣的Barnett（見(jiàn)3 ）已經(jīng)指出，然而，約束一個(gè)具體而不是最大偏轉(zhuǎn)的或許會(huì)出現(xiàn)自相矛盾的結(jié)果。舉例來(lái)說(shuō)，當(dāng)一些載荷對(duì)橫向是下降的然而其他的是上升的，也許會(huì)發(fā)現(xiàn)某些點(diǎn)的繞度是零。因?yàn)樗匀皇橇惝?dāng)所有的剛度都都以一定比例下降，這個(gè)設(shè)計(jì)的約束是相容性的任意小質(zhì)量的約束。
3 。布局優(yōu)化
在前面的示例，類型和布局結(jié)構(gòu)（簡(jiǎn)單支持，直梁）被給予并且一些某些地方的參數(shù)（剛度值）是設(shè)計(jì)師選擇的。一個(gè)更有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題就是類型和/或布局也必須選擇最佳的。
數(shù)字顯示，由桁架支持的給出點(diǎn)的應(yīng)力載荷P和Q ，即連接桿組成的結(jié)構(gòu)，布局就是要去盡量減少重量。為了簡(jiǎn)化分析，Dorn, Gomory,and Greenberg（見(jiàn)5 ）通過(guò)劃分網(wǎng)格其橫向間距L和垂直間距的h描述這個(gè)問(wèn)題（圖2 a ）優(yōu)化是接下來(lái)發(fā)現(xiàn)需要解決的線性規(guī)劃。優(yōu)化布局取決于質(zhì)量的比例h/L和P/Q=0,0.5,和2.0.
圖.2 .優(yōu)化布置的桁架根據(jù)多恩，戈莫里，格林伯格（見(jiàn)5 ） 。
因?yàn)閔/L=1和P/Q是一個(gè)給定數(shù)，優(yōu)化值是唯一的除開某些臨界值P/Q，其中優(yōu)化布局的變化，舉例來(lái)說(shuō)，從圖2c到踢2d。接下來(lái)例子，然而，承認(rèn)一個(gè)無(wú)限大的優(yōu)化布局是所有相關(guān)的擁有同樣重量的結(jié)構(gòu)重量。
三個(gè)同樣大小的作用力P，彼此之間成120 °角，已經(jīng)給出的點(diǎn)成等邊三角形（圖3a）。這些連接點(diǎn)連接的構(gòu)架用最小質(zhì)量設(shè)計(jì)。當(dāng)上界約束提供軸向應(yīng)力在任何桿。數(shù)據(jù)3b和3c是可行的布局。這些力作用在靜定機(jī)構(gòu)的桿上之后從平衡的角度考慮,每個(gè)桿件的橫截面都會(huì)有一個(gè)大小的橫向應(yīng)力。
接下來(lái)討論Maxwell的觀點(diǎn)（見(jiàn)6，PP第175-177 ）表明兩個(gè)設(shè)計(jì)有相同的質(zhì)量。設(shè)想飛機(jī)都是用相同的材料組成的，單位平面產(chǎn)生的張力達(dá)到e對(duì)所有的線性元素。通過(guò)虛擬的規(guī)律，這個(gè)桿件P上所有的點(diǎn)的位移所產(chǎn)生的虛擬功等價(jià)于內(nèi)部虛擬功=F 每個(gè)桿件受力為F 力在桿方向的虛擬位移為,如果桿件的橫截面積是A長(zhǎng)度是L，則有F=A 和=L則有
=AL=V （5）
V是使用的所有材料的體積?，F(xiàn)在得到功取決于載荷和所有點(diǎn)的虛擬位移除開獨(dú)立布置
圖。 3 。選擇最優(yōu)設(shè)計(jì)。
的桿件；他等價(jià)于兩個(gè)機(jī)構(gòu)如果下面=和（5）這兩個(gè)構(gòu)架使用相同數(shù)量的材料。
如果兩個(gè)構(gòu)架的橫截面積都減半， 每個(gè)新的構(gòu)架能夠驅(qū)動(dòng)滿載荷強(qiáng)度P/2并且不違反設(shè)計(jì)約束.按圖3d的方式疊加桿件另外用相同質(zhì)量的構(gòu)建按圖3d和3c疊加所有構(gòu)架加載滿載荷P。
圖。 4 。替代解決問(wèn)題，在圖。第3 a
圖4顯示的另一個(gè)解決問(wèn)題的方法。所有重桿件的中心線是圓弧的。每個(gè)桿件的軸向力和他們的軸向應(yīng)力有關(guān)
其他輕些的桿件。他們也根據(jù)軸向拉伸應(yīng)力，除開桿件AO,BO和CO，組成圓錐。正常情況下桿件的邊緣區(qū)域是受力的密集區(qū)域。如果緊緊是有限的數(shù)目被使用就像圖4并且這些邊緣是多變形而不是圓弧 ，這就是重量稍稍重一點(diǎn)點(diǎn)的結(jié)果。 首先申明，然而，如果桿件連接件（節(jié)點(diǎn)板和鉚釘或焊接）的質(zhì)量被考慮其中這個(gè)就不是有效的。
在圖4中的桿件也許可以被有厚度統(tǒng)一材質(zhì)均勻的桿件替代。然而質(zhì)量是取勝之本，設(shè)計(jì)也是這樣的，然而，設(shè)計(jì)構(gòu)架的時(shí)候遇到的狹隘的問(wèn)題要被排除。在這種情況下，被排除的設(shè)計(jì)將不會(huì)比其他的設(shè)計(jì)的質(zhì)量更輕。然而，除開這一類對(duì)一個(gè)最優(yōu)的進(jìn)行有足夠廣度定義的，或許緊緊對(duì)一系列降低質(zhì)量的設(shè)計(jì)進(jìn)行融合一個(gè)最優(yōu)的這不是考慮的范圍之內(nèi)
圖。 5 。優(yōu)化結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)遞周邊荷載至中環(huán)環(huán)的桁架而非磁盤狀
圖5對(duì)這句話進(jìn)行了說(shuō)明。 在周邊的離散的徑向載荷等價(jià)于中央形成一個(gè)環(huán)狀的小質(zhì)量的構(gòu)件。
如果這個(gè)聲明的結(jié)構(gòu)將要被表達(dá)磁場(chǎng)形狀的連續(xù)變厚度所取代，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)如圖5要為排除。注意清楚看看圖5他所顯示的緊緊是質(zhì)量大的成員。
這些之間，質(zhì)量輕些的成員之間關(guān)系是稠密的，他們之間是以螺線形狀相交的。
這個(gè)問(wèn)題在圖3中已經(jīng)有一個(gè)解決方案，每個(gè)構(gòu)件都緊緊是包含受力的桿件。圖6說(shuō)明了一個(gè)問(wèn)題既要使用沒(méi)有受力的也要使用受力的并且只有唯一解。上方的數(shù)據(jù)是橫向載荷P會(huì)產(chǎn)生彎曲，底部的剛性結(jié)構(gòu)可以看為是無(wú)限小的質(zhì)量，在桿件上的應(yīng)力應(yīng)該在-和之內(nèi)。
這個(gè)最優(yōu)的構(gòu)架邊緣桿件的質(zhì)量較大；質(zhì)量大的構(gòu)件中間的構(gòu)件的質(zhì)量較輕，由圖6表達(dá)。注意在位移密集的桿件連接處定義一個(gè)位移區(qū)域他的的基點(diǎn)固定。
一個(gè)移動(dòng)的受力區(qū)域都擁有這一規(guī)律即 =/ E和=-/E 其中E是彈性模量。事實(shí)上，如果u和v是位移分量類似于直角坐標(biāo)系中的x和y，那么+就是個(gè)常量有以下的關(guān)系即
+=0， （6）
其中x和y顯示著不同的坐標(biāo)關(guān)系。類似的，事實(shí)上最大的主應(yīng)變e1擁有連續(xù)的線性關(guān)系
4*-(+)( +)=-4 （7）
從公式（6）中可以看出，其中存在函數(shù)如下
=,=- （8）
把 公式（8）代入公式（7）中則有
4 +=4 (9)
沿著根部弧有，==0,則可以推到出
=0， =0 （10）
其中是沿著根部弧的微變量。
微分方程（9）是一個(gè)雙曲線，其特點(diǎn)主應(yīng)變是線性變化的?？挛鳁l件在公式（10）中元素在根部是是獨(dú)特的，并且和公式（8）位移也有關(guān)系
圖。 6 。在傳輸載荷P下彎曲和剛性壁的獨(dú)特的優(yōu)化結(jié)構(gòu)
這些位移現(xiàn)在將使用作為真正位移在虛功原理在一個(gè)任意的結(jié)構(gòu)上其載荷P傳達(dá)到基座?。▓D6）并且每個(gè)連桿都在一個(gè)軸向應(yīng)力為@o之下使用Maxwell公式則有，可以得到== 其中｜｜=A并且｜｜因?yàn)槊總€(gè)單位的拉伸或者壓縮量超過(guò)/E就不是線性變化了，
=∑｜F｜｜｜ (/E)V, (11)
其中V是所有材料的總體積。
接下來(lái)，設(shè)想第二中結(jié)構(gòu)它是由有規(guī)律線性應(yīng)變的的連桿組成并且他要考慮到虛擬的移動(dòng)區(qū)域和底部相應(yīng)的應(yīng)變 涉及到結(jié)構(gòu)的質(zhì)量將要用星號(hào)標(biāo)記。就像前面所講的那樣運(yùn)用虛擬原理，最有=,但是*=并且=
則有 == (12)
則可以看出=,比較表達(dá)式（11）和（12）則可以看出第二種方案的結(jié)構(gòu)使用的材料要比第一種方案少。剛剛介紹的觀點(diǎn)來(lái)自于Michell（見(jiàn)7），然而，是一個(gè)純粹的靜態(tài)的邊界條件，因此不能達(dá)到一個(gè)獨(dú)特的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。對(duì)一個(gè)獨(dú)特的優(yōu)化涉及來(lái)說(shuō)最重要的是運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)邊界條件已經(jīng)被作者指出（見(jiàn)8）
圖。 7 。幾何布局優(yōu)化。
圖7 說(shuō)明了一個(gè)重要的具有幾何性質(zhì)的在有規(guī)律的應(yīng)變和無(wú)規(guī)律的應(yīng)變組成的區(qū)域種的正交曲線應(yīng)變 讓由ABC和DEF組成的兩個(gè)固定曲線。角度是由一個(gè)曲線上的切線和另外一個(gè)曲線上點(diǎn)的切線相交的夾角。在平移的理論下，正交的曲線他的幾何性質(zhì)可以表明他最大的剪應(yīng)力（滑移線）的方向在這個(gè)背景下，它們通常后來(lái)被Hencky (見(jiàn). 9) and Prandtl (見(jiàn). 10)命名；它們的結(jié)果已經(jīng)被廣泛的應(yīng)用（見(jiàn)，例如，見(jiàn)。11-13）
圖。 8 。優(yōu)化布置時(shí)，可用空間范圍內(nèi)垂直通過(guò)A和B 。
圖8顯示了最優(yōu)空間的布局即可用的結(jié)構(gòu)空間是垂直連線A和B之間的范圍 。因?yàn)檫@個(gè)固定支座弧是一個(gè)直線部分，在三角形ABC中間沒(méi)有連桿。再次顯示，他的邊緣的桿件的質(zhì)量重，其他的連桿緊緊一些并且質(zhì)量輕。這些桿件不布局有些類似于人類的骨架的結(jié)構(gòu)(see, for instance,ReL 14, p. 12, Fig. 6)。Michell結(jié)構(gòu)給出了更深一步的理解，參照。15-16.
4 。新方法，建立優(yōu)化準(zhǔn)則
圖。 9 。梁展不斷截面。
在圖9中的梁是建立在A上面的并且B和C只是給予了簡(jiǎn)單的支撐。
承受載荷P的這一點(diǎn)的繞度的值是。這個(gè)梁有一個(gè)核心部分他的寬度是B并且它的高度是H。這個(gè)梁他的寬度是B并且它們連續(xù)的厚度滿足《H和《H在和上這樣的目的是盡量減少這個(gè)結(jié)構(gòu)梁的質(zhì)量由于他的核心面的尺寸已經(jīng)被定義了，盡量減少這個(gè)梁的質(zhì)量也就意味著要盡量減少制約質(zhì)量的尺寸。
此外，由于厚度為橫截面積的抗彎曲彈性剛度，其中i=1,2,有,其中E是楊氏模量，
(13)
這個(gè)可能被視為盡量減少質(zhì)量的方程。
使得是從桿件上典型橫截面到桿件最左邊的距離，并且在這個(gè)橫截面上的曲率和彎矩分別是和則的表達(dá)式可以寫為如下
== (14)
就是在Li進(jìn)行微積分。
在此框架內(nèi)的問(wèn)題，設(shè)計(jì)一個(gè)梁就是確定的值，i=1，2.假如和都滿足設(shè)計(jì)的約束（給出只），并且和假設(shè)載荷下給出的曲率，根據(jù)（14）公式
= （15）
此外，曲率是約束變動(dòng)的（即滿足繞度的）根據(jù)，根據(jù)最小勢(shì)能原理根據(jù)即
(16)
約去兩邊的在式子（16）中在根據(jù)式子（15）可得
（17）
這里 （18）
則就是每個(gè)單位平方米的曲率在上。假如
(19)
從公式（17）和（13）得到其滿足這設(shè)計(jì)另外設(shè)計(jì)的約束不能比剛剛滿足約束的設(shè)計(jì)更重。因此條件（19）是最優(yōu)的，這個(gè)條件也是下面所要講到的。
應(yīng)用這個(gè)定義則有 （20）
設(shè)計(jì)的條件不應(yīng)該比設(shè)計(jì)條件是的質(zhì)量更重由下面公式得到
（21）
換個(gè)方面說(shuō)，不等式（17）從最小勢(shì)能原則得到
（22）
, 和，將作為和的載體像坐標(biāo)系。
這個(gè)不等式（21）中不能位于第二和第四象限，并且這個(gè)不等式要求和是個(gè)非負(fù)的。
現(xiàn)在，優(yōu)化設(shè)計(jì)和他的平均曲率都是未知的但是是唯一的。換個(gè)方面來(lái)講，是受的值所限，因此當(dāng)?shù)姆较虮贿x擇時(shí)其等級(jí)也所確定。此外，在這個(gè)最優(yōu)化設(shè)計(jì)中的，他的結(jié)構(gòu)質(zhì)量將最接近最小質(zhì)量。接近于邊緣空間的相應(yīng)的一半將被不等式（21）確定。假如和的坐標(biāo)是非負(fù)的，那么和的坐標(biāo)必須位于正常的一半空間內(nèi)，因此，（19）是最優(yōu)化的必要條件，這是根據(jù)Sheu and Prager (見(jiàn). 17).
5。多用途的設(shè)計(jì)
圖。 11 。多用途的設(shè)計(jì)。
圖11說(shuō)明了一個(gè)多用途的設(shè)計(jì)的問(wèn)題。在第一個(gè)原因下，張度為L(zhǎng)下的伸長(zhǎng)率不會(huì)超過(guò)值。在第二個(gè)條件下，在中央給定的載荷T下的繞度不會(huì)超過(guò)給定的值；并且，
在第三個(gè)條件下，他的屈曲載荷至少是B。注意設(shè)計(jì)的約束是個(gè)不等式的形式，以為最優(yōu)設(shè)計(jì)或許是一個(gè)或是兩個(gè)。
下面的掃個(gè)因素是相互制約的。正如第四部分，取得下面的不等式
，， （23）
其中是縱向位移在這個(gè)模型中，且 和是梁和柱上的繞度。由公式（23）可以得到
， ， （24）
其中是常數(shù)。很容易看到這些最優(yōu)條件是不兼容的。因?yàn)樨?fù)荷L上的縱向應(yīng)變U……被認(rèn)為是第一最優(yōu)條件，但是負(fù)載T下的曲率將不滿足第二最優(yōu)條件。 因此不等式（23）不能左右相加，他們乘積得
（25）
這個(gè)不等式表明
=Const （26）
是一個(gè)充分條件。這個(gè)條件也是必要的。 他可以變成另外一個(gè)形式
（27）
其中 ,和是面應(yīng)力是分別在配合，梁和柱上。其他的例子和理論，參見(jiàn)。32-33
6。結(jié)束語(yǔ)
總的概括而言，應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出設(shè)最典型的計(jì)約束主要討論在第四部分，不是只是緊緊只說(shuō)建立最優(yōu)準(zhǔn)則的方法。事實(shí)上，最優(yōu)化準(zhǔn)則在繼續(xù)發(fā)展。舉例來(lái)說(shuō)，標(biāo)準(zhǔn)（ 31 ） 優(yōu)化設(shè)計(jì)給出了動(dòng)態(tài)偏轉(zhuǎn)已第一次出現(xiàn)在文件上，這里沒(méi)有已經(jīng)被解決的例子4。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中給出了剛度參見(jiàn)35.同樣，這里已經(jīng)簡(jiǎn)單的討論了限制性的優(yōu)化梁的設(shè)計(jì)，但是但不是必需的。