太原理工大學(xué)碩士數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末復(fù)習(xí)重點(diǎn).doc

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13 太原理工大學(xué)碩士數(shù)理統(tǒng)計(jì)重點(diǎn) 1統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布 1.1基本概念： 總體X的樣本X1，X2，…，Xn，則T(X1，X2，…，Xn)即為統(tǒng)計(jì)量 樣本均值 樣本方差 修正樣本方差 樣本k階原點(diǎn)矩 樣本k階中心矩 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù) 其中Vn(x)表示隨機(jī)事件出現(xiàn)的次數(shù),顯然,則有 n n l 二項(xiàng)分布B(n,p): EX=np DX=np(1-p) l 泊松分布: l 均勻分布U(a,b): l 指數(shù)分布: l 正態(tài)分布: 當(dāng)時(shí)， 1.2統(tǒng)計(jì)量： T是θ的充分統(tǒng)計(jì)量與θ無關(guān) T是θ的完備統(tǒng)計(jì)量要使E[g(T)]=0,必有g(shù)(T)=0 且h非負(fù)T是θ的充分統(tǒng)計(jì)量 T是θ的充分完備統(tǒng)計(jì)量 是的充分完備統(tǒng)計(jì)量 1.3抽樣分布： 分布： T分布： 當(dāng)n>2時(shí)，ET=0 F分布： 補(bǔ)充： n Z=X+Y的概率密度 f(x,y)是X和Y的聯(lián)合概率密度 n 的概率密度 n 的概率密度 l 函數(shù)： l B函數(shù)： 1.4次序統(tǒng)計(jì)量及其分布： X(k)的分布密度： X(1)的分布密度： X(n)的分布密度： 2參數(shù)估計(jì) 2.1點(diǎn)估計(jì)與優(yōu)良性： 的均方誤差： 若是無偏估計(jì)，則 對(duì)于的任意一個(gè)無偏估計(jì)量，有，則是的最小方差無偏估計(jì)， 記MVUE 相合估計(jì)(一致估計(jì)): 2.2點(diǎn)估計(jì)量的求法： 矩估計(jì)法： 1　 求出總體的k階原點(diǎn)矩: 2　 解方程組 (k=1,2,...,m)，得即為所求 最大似然估計(jì)法： 1　 寫出似然函數(shù)，求出lnL及似然方程 i=1,2,...,m 2　 解似然方程得到，即最大似然估計(jì) i=1,2,...,m 補(bǔ)充： n 似然方程無解時(shí)，求出的定義域中使得似然函數(shù)最大的值，即為最大似然估計(jì) 2.3MVUE和有效估計(jì)： T是的充分完備統(tǒng)計(jì)量，是的一個(gè)無偏估計(jì)為的惟一的MVUE 最小方差無偏估計(jì)的求解步驟： 1　 求出參數(shù)的充分完備統(tǒng)計(jì)量T 2　 求出，則是的一個(gè)無偏估計(jì) 或求出一個(gè)無偏估計(jì)，然后改寫成用T表示的函數(shù) 3　 綜合，是的MVUE 或者：求出的矩估計(jì)或ML估計(jì)，再求效率，為1則必為MVUE T是的一個(gè)無偏估計(jì)，則滿足信息不等式，其中或，為樣本的聯(lián)合分布。 最小方差無偏估計(jì)達(dá)到羅-克拉姆下界有效估計(jì)量效率為1 無偏估計(jì)的效率： 是的最大似然估計(jì)，且是的充分統(tǒng)計(jì)量是的有效估計(jì) 2.4區(qū)間估計(jì)： 一個(gè)總體的情況： 已知，求的置信區(qū)間： 未知，求的置信區(qū)間： 已知，求的置信區(qū)間： 未知，求的置信區(qū)間： 兩個(gè)總體的情況：， 均已知時(shí)，求的區(qū)間估計(jì)： 未知時(shí)，求的區(qū)間估計(jì)： 未知時(shí)，求： 非正態(tài)總體的區(qū)間估計(jì)： 當(dāng)時(shí)， ，故用Sn代替Sn-1 3統(tǒng)計(jì)決策與貝葉斯估計(jì) 3.1統(tǒng)計(jì)決策的基本概念：三要素、統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)及風(fēng)險(xiǎn)函數(shù) 三要素：樣本空間和分布族、行動(dòng)空間（判決空間）、損失函數(shù) 統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)d(X):本質(zhì)上是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，可用來估計(jì)未知參數(shù) 風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)：是關(guān)于的函數(shù) 3.2貝葉斯估計(jì)： 1　 求樣本X=(X1,X2,...,Xn)的分布： 2　 樣本X與的聯(lián)合概率分布： 3　 求關(guān)于x的邊緣密度 4　 的后驗(yàn)密度為： 取時(shí) 的貝葉斯估計(jì)為： 貝葉斯風(fēng)險(xiǎn)為： 取時(shí)，貝葉斯估計(jì)為： 補(bǔ)充： n 的貝葉斯估計(jì)：取損失函數(shù)，則貝葉斯估計(jì)為 n 3.3minimax估計(jì) 對(duì)決策空間中的決策函數(shù)d1(X),d2(X),...，分別求出在上的最大風(fēng)險(xiǎn)值 在所有的最大風(fēng)險(xiǎn)值中選取相對(duì)最小值，此值對(duì)應(yīng)的決策函數(shù)就是最小最大決策函數(shù)。 4假設(shè)檢驗(yàn) 4.1基本概念： 零假設(shè)通常受到保護(hù)，而備選假設(shè)是當(dāng)零假設(shè)被拒絕后才能被接受。 檢驗(yàn)規(guī)則：構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量T(X1,X2,...,X3)，當(dāng)H0服從某一分布，當(dāng)H0不成立時(shí)，T的偏大偏小特征。據(jù)此，構(gòu)造拒絕域W 第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）： 第二類錯(cuò)誤（存?zhèn)五e(cuò)誤）： 勢(shì)函數(shù)： 當(dāng)時(shí)，為犯第一類錯(cuò)誤的概率 當(dāng)時(shí)，為犯第二類錯(cuò)誤的概率 4.2正態(tài)總體均值與方差的假設(shè)檢驗(yàn)： 一個(gè)總體的情況： 已知，檢驗(yàn)： 未知，檢驗(yàn)： 已知，檢驗(yàn)： 未知，檢驗(yàn)： 兩個(gè)總體的情況：， 未知時(shí)，檢驗(yàn)： 未知時(shí)，檢驗(yàn)： 單邊檢驗(yàn)：舉例說明，已知，檢驗(yàn)： 構(gòu)造，給定顯著性水平，有。當(dāng)H0成立時(shí)，因此。故拒絕域?yàn)? 4.3非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)方法： 擬合優(yōu)度檢驗(yàn): 其中Ni表示樣本中取值為i的個(gè)數(shù)，r表示分布中未知參數(shù)的個(gè)數(shù) 科爾莫戈羅夫檢驗(yàn)： 實(shí)際檢驗(yàn)的是 斯米爾諾夫檢驗(yàn)： 實(shí)際檢驗(yàn)的是 4.4似然比檢驗(yàn) 明確零假設(shè)和備選假設(shè)： 構(gòu)造似然比： 拒絕域： 5方差分析 5.1單因素方差分析： 數(shù)學(xué)模型,(i=1,2,...,m;j=1,2,...,ni) 總離差平方和 組內(nèi)離差平方和 組間離差平方和 當(dāng)H0成立時(shí)， 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0不成立時(shí)，有偏大特征 且 應(yīng)用： n 若原始數(shù)據(jù)比較大而且集中，可減去同一數(shù)值再解題 n 輔助量： 5.2兩因素方差分析： 數(shù)學(xué)模型,(i=1,2,...,r;j=1,2,...,s) 總離差平方和 組內(nèi)離差平方和 因素B引起的離差平方和 當(dāng)H0成立時(shí)， 因素A引起的離差平方和 當(dāng)H0成立時(shí)， 輔助量： 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量： 6回歸分析 6.1一元線性回歸： 回歸模型：i=1,2,...,n. 的估計(jì)： 分布： 的估計(jì)： 6.2多元線性回歸： 回歸模型： i=1,2,...,n. 參數(shù)估計(jì)： 7多元分析初步 7.1定義及性質(zhì)： 其中為X的均值向量，為X的協(xié)方差矩陣 Y=CX+b，則 若，剛 7.2參數(shù)的估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)： 樣本均值向量 樣本離差陣 最大似然估計(jì) 最小方差無偏估計(jì)