江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)高三調(diào)研二模數(shù)學(xué)理試題含附加題.doc

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注 意 事 項(xiàng) 考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求 1．本試卷共4頁，包含填空題（第1題~第14題）、解答題（第15題~第20題）兩部分．本試卷滿分160分，考試時(shí)間為120分鐘． 2．答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的指定位置． 3．答題時(shí)，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的指定位置，在其他位置作答一律無效． 4．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚． 5．請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆． 2017-2018學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二） 數(shù) 學(xué) Ⅰ 試 題 2018.5 方差公式：，其中． 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填在答題卡相應(yīng)位置上． 1． 若復(fù)數(shù)滿足是虛數(shù)單位，則的虛部為 ▲ ． 2． 設(shè)集合，其中，若，則實(shí)數(shù) ▲ ． 7 8 8 2 4 4 9 2 （第4題圖） 3． 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的 距離為 ▲ ． 4． 一次考試后，從高三（1）班抽取5人進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì)，其莖葉 （第5題圖） S2x?x2 S1 輸出S 結(jié)束 開始 輸入x x＜1 Y N 圖如右圖所示，則這五人成績的方差為 ▲ ． 5． 右圖是一個(gè)算法流程圖，若輸入值，則輸出值的 取值范圍是 ▲ ． 6． 歐陽修在《賣油翁》中寫到：“（翁）乃取一葫蘆置于地，以 （第6題圖） 錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔入， 而錢不濕”，可見賣油翁的技藝之高超，若 銅錢直徑4厘米，中間有邊長為1厘米的 正方形小孔，隨機(jī)向銅錢上滴一滴油（油 滴大小忽略不計(jì)），則油恰好落入孔中的 概率是 ▲ ． 7． 已知函數(shù)在時(shí)取得最大值，則 ▲ ． 8． 已知公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則 ▲ ． 9． 在棱長為2的正四面體中，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為 ▲ ． 10． 設(shè)△的內(nèi)角，，的對邊分別是，且滿足，則 ▲ ． 11． 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)，若圓上存在點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是 ▲ ． Q P O B A （第12題圖） 12． 如圖，扇形的圓心角為90，半徑為1，點(diǎn)是圓弧上的動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于弦的對稱點(diǎn)，則的取值范圍為 ▲ ． 13． 已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)， 滿足，則的最大值 是 ▲ ． 14． 已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為 ▲ ． 二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟． 15．（本小題滿分14分） 如圖，在四棱錐中，， A B C D P E （第15題圖） ，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)． （1）若，求證：； （2）求證：//平面． ▲ ▲ ▲ 16．（本小題滿分14分） 在△中，三個(gè)內(nèi)角，，的對邊分別為，設(shè)△的面積為，且. （1）求的大??； （2）設(shè)向量，，求的取值范圍． ▲ ▲ ▲ 17．（本小題滿分14分） 下圖（I）是一斜拉橋的航拍圖，為了分析大橋的承重情況，研究小組將其抽象成圖（II）所示的數(shù)學(xué)模型．索塔，與橋面均垂直，通過測量知兩索塔的高度均為60m，橋面上一點(diǎn)到索塔，距離之比為，且對兩塔頂?shù)囊暯菫椋? （1）求兩索塔之間橋面的長度； （2）研究表明索塔對橋面上某處的“承重強(qiáng)度”與多種因素有關(guān)，可簡單抽象為：某索塔對橋面上某處的“承重強(qiáng)度”與索塔的高度成正比（比例系數(shù)為正數(shù)），且與該處到索塔的距離的平方成反比（比例系數(shù)為正數(shù)）．問兩索塔對橋面何處的“承重強(qiáng)度”之和最??？并求出最小值． （第17題圖（Ⅰ）） （第17題圖（Ⅱ）） P D C B A ▲ ▲ ▲ 18．（本小題滿分16分） N D M C B A y x O （第18題圖） 如圖，橢圓的離心率為，焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，點(diǎn)，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)． （1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）若，求直線的方程； （3）求證：為定值． ▲ ▲ ▲ 19．（本小題滿分16分） 已知函數(shù)R． （1）若， ① 當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值（用表示）； ② 若有三個(gè)相異零點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由； （2）函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線與的圖象相交于另一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線為，直線的斜率分別為，且，求滿足的關(guān)系式． ▲ ▲ ▲ 20．（本小題滿分16分） 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對任意的，恒成立． （1）如果數(shù)列是等差數(shù)列，證明數(shù)列也是等差數(shù)列； （2）如果數(shù)列為等比數(shù)列，求的值； （3）如果，數(shù)列的首項(xiàng)為1，，證明數(shù)列中存在無窮多項(xiàng)可表示為數(shù)列中的兩項(xiàng)之和． ▲ ▲ ▲ 高三數(shù)學(xué)（第I卷） 第5頁（共4頁） 2017-2018學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二） 注 意 事 項(xiàng) 考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求 1. 本試卷只有解答題，供理工方向考生使用．本試卷第21題有A，B，C，D 4個(gè)小題供選做，每位考生在4個(gè)選做題中選答2題．若考生選做了3題或4題，則按選做題中的前2題計(jì)分．第22，23題為必答題．每小題10分，共40分．考試時(shí)間30分鐘．考試結(jié)束后，請將答題卡交回. 2. 答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置． 3．答題時(shí)，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的指定位置，在其他位置作答一律無效． 4．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚． 5．請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損．一律不準(zhǔn)使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆． 數(shù)學(xué)Ⅱ（附加題） 2018．5 21．【選做題】在A，B，C，D 四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． A．選修4—1：幾何證明選講 如圖所示，為⊙的直徑，平分交⊙于 點(diǎn)，過作⊙的切線交于點(diǎn)，求證． ▲ ▲ ▲ B．選修4—2：矩陣與變換 已知矩陣的一個(gè)特征值為3，求． ▲ ▲ ▲ C．選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為為參數(shù)． 以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為 ，已知圓心到直線的距離等于，求的值． ▲ ▲ ▲ D．選修4—5：不等式選講 已知實(shí)數(shù)滿足，，求證：． ▲ ▲ ▲ 【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計(jì)20分．請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答， 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 22．（本小題滿分10分） 甲、乙、丙三位學(xué)生各自獨(dú)立地解同一道題，已知甲做對該題的概率為，乙、丙 做對該題的概率分別為，且三位學(xué)生能否做對相互獨(dú)立，設(shè)為這三 位學(xué)生中做對該題的人數(shù)，其分布列為： （1）求的值； （2）求的數(shù)學(xué)期望． ▲ ▲ ▲ 23．（本小題滿分10分） 已知函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，若，求實(shí)數(shù)的值； （2）若，求證：． ▲ ▲ ▲ 高三數(shù)學(xué)II（附加題） 第2頁（共2頁） 2017-2018 學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二） 參考答案 一、填空題： 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答題 15． 證明：（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)， 因?yàn)?，所以△為等腰三角形，所以．…………………? 分 因?yàn)?，所以△為等腰三角形，所以．…………………? 分 又，所以平面． ……………………6 分 因?yàn)槠矫?，所以? ……………………7 分 （2）由為中點(diǎn)，連，則， 又平面，所以平面． ……………………9 分 由，以及，所以， 又平面，所以平面． ……………………11 分 又，所以平面平面， ……………………13分 而平面，所以平面． ……………………14 分 16．解（1）由題意，有， …………………………2 分 則，所以． ………………………………4 分 因?yàn)?，所以? 所以． 又，所以． …………………………………………………6 分 （2）由向量，，得 ．………8 分 由（1）知，所以，所以． 所以． ……………………………………………………10 分 所以． ……………………………………………12 分 所以．即取值范圍是． ……………………14 分 17．解（1）設(shè)，，記，則 ， ………………………………………2 分 由， …………………4 分 化簡得 ，解得或（舍去）， 所以，． …………………………………6分 答：兩索塔之間的距離AC=500米． （2）設(shè)AP=x，點(diǎn)P處的承重強(qiáng)度之和為. 則，且， 即 ……………………………9 分 （注：不寫定義域扣1分） 記，則， …………11 分 令，解得， 當(dāng)，，單調(diào)遞減； 當(dāng)，，單調(diào)遞增； 所以時(shí)，取到最小值，也取到最小值. ……………13 分 答：兩索塔對橋面AC中點(diǎn)處的“承重強(qiáng)度”之和最小，且最小值為. …14 分 18. 解（1）由橢圓的離心率為，焦點(diǎn)到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1. 得 解得 ………………………………………………2 分 所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. …………………………………4分 （2）由（1）知，設(shè)， 因?yàn)?，得，所以? ……………………………6 分 代入橢圓方程得或，所以或， 所以的方程為：或. …………………………9 分 （3）設(shè)D坐標(biāo)為(x3，y3）,由，M(x1，0)可得直線的方程， 聯(lián)立橢圓方程得：解得,. …………12 分 由，得直線BD的方程：， ① 直線AC方程為， ② 聯(lián)立①②得， …………………………………………………………15 分 從而=2為定值. …………………………………………………………16 分 解法2：設(shè)D坐標(biāo)為(x3，y3）， 由C,M,D三點(diǎn)共線得，所以， ① ………………10 分 由B,D,N三點(diǎn)共線得，將 代入可得 ， ② …………………………………………………12 分 ①和②相乘得， . ……………………………………………16 分 19. 解：（1）①由及， 得， ……………………………………………………1 分 令，解得或. 由知，，單調(diào)遞增， ，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增， ……………………………………………………3 分 因此，的極大值為，的極小值為. ……………………………………………………4 分 ② 當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在三個(gè)相異零點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，與①同理可得的極小值為，的極大值為. 要使有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必須有， 即. …………………………………………………………6 分 不妨設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)為，且， 則， ， ① ， ② ， ③ ②-①得， 因?yàn)?，所以? ④ …………………………………………………………8 分 同理， ⑤ ⑤-④得， 因?yàn)?，所以? ……………………………………9 分 又，所以. ………………………………………10 分 所以，即，即， 因此，存在這樣實(shí)數(shù)滿足條件. ………………………………12 分 （2）設(shè)A（m，f(m)）,B(n，f(n))，則，， 又， …………………………………………13 分 由此可得，化簡得， 因此，， ……………15分 所以，， 所以. …………………………………………………………………16分 20. 解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由， ① ， ② ①-②得， ③ …………………………2 分 即，所以為常數(shù)， 所以為等差數(shù)列． …………………………………………………………3 分 （2）由③得，即， …………………………4 分 所以是與n無關(guān)的常數(shù)， 所以或?yàn)槌?shù)． ………………………………6 分 ①當(dāng)時(shí)，，符合題意； …………………………………………7 分 ②當(dāng)為常數(shù)時(shí)， 在中令，則，又，解得，…8分 所以， 此時(shí)，解得． 綜上，或． ………………………………………………………10分 （3）當(dāng)時(shí)，， ………………………………………………11分 由（2）得數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以，即． …………………………………………………12 分 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，也滿足上式， 所以． …………………………………………………13分 設(shè)，則，即， 如果，因?yàn)闉?的倍數(shù)，為3的倍數(shù)， 所以2也為3的倍數(shù)，矛盾． …………………………………………………15 分 所以，則，即． 所以數(shù)列中存在無窮多項(xiàng)可表示為數(shù)列中的兩項(xiàng)之和． ……………16 分 2017-2018學(xué)年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研（二） 附加題參考答案 21.A 解　連接OE，因?yàn)镋D是⊙O切線，所以O(shè)E⊥ED. ………………3 分 因?yàn)镺A＝OE，所以∠1＝∠OEA. …………6 分 又因?yàn)椤?＝∠2，所以2＝∠OEA， …………8 分 所以O(shè)E∥AC，∴AC⊥DE． …………………10 分 21.B 解 由， 得的一個(gè)解為3，……………3分 代入得， ………………………5分 因?yàn)?，所? ………………………………10 分 21.C解 消去參數(shù)t，得到圓的普通方程為, ………………3 分 由，得, 所以直線的直角坐標(biāo)方程為. …………………………………6分 依題意，圓心C到直線的距離等于，即解得. ……………………………………………………………10 分 21.D 證明：因?yàn)閍＋2b＋c＝1，a2＋b2＋c2＝1， 所以a＋2b＝1－c，a2＋b2＝1－c2. ……………………………………3 分 由柯西不等式：(12＋22)(a2＋b2)≥(a＋2b)2， ………………………………6 分 5(1－c2)≥(1－c)2， 整理得，3c2－c－2≤0，解得－≤c≤1. ……………………………………9 分 所以－≤c≤1. ……………………………………10 分 22. 解（1）由題意，得 …………………………………3 分 又，解得， ………………………………………………………5 分 （2）由題意， ………………………7 分 ……………………9 分 …………………………………………10 分 23. 解（1）當(dāng)時(shí)， ， ……………………………………………………………………1 分 所以 ， 所以. ……………………………………………………………………3 分 （2）因?yàn)? ， 所以， 由題意， 首先證明對于固定的，滿足條件的是唯一的. 假設(shè) ， 則，而，，矛盾. 所以滿足條件的是唯一的. ………………………………………………5分 下面我們求及的值： 因?yàn)?， 顯然. ………………………………………………………7 分 又因?yàn)?，故? 即. …………………………………8分 所以令， ， 則，又， …………………………9 分 所以. ……10分 高三數(shù)學(xué)參考答案 第8頁（共8頁）