實(shí)驗(yàn)一MATLAB系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式的轉(zhuǎn)換

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. 實(shí)驗(yàn)一 MATLAB系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式的轉(zhuǎn)換 一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 1、學(xué)習(xí)多變量系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立方法； 2、通過編程、上機(jī)調(diào)試，掌握多變量系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式與傳遞函數(shù)之間相互轉(zhuǎn)換的方法； 3、掌握相應(yīng)的MATLAB函數(shù)。 二、 實(shí)驗(yàn)原理 設(shè)系統(tǒng)的模型如式（1.1）所示： x uR’’’ yRP (1.1) 其中A為nXn維系統(tǒng)矩陣、B為nXm維輸入矩陣、C為pXn維輸出矩陣，D為直接傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間表達(dá)式之間的關(guān)系如式（1.2）所示 G(s)=num(s)/den(s)=C (SI-A)-1 B+D (1.2) 式（1.2）中，num(s)表示傳遞函數(shù)的分子陣，其維數(shù)是pXm，den(s)表示傳遞函數(shù)的按s降冪排列的分母。 表示狀態(tài)空間模型和傳遞函數(shù)的MATLAB函數(shù)如下： 函數(shù)ss（state space的首字母）給出了狀態(tài)空間模型，其一般形式是: sys=ss(A,B,C,D) 函數(shù)tf（transfer function的首字母）給出了傳遞函數(shù)，其一般形式是: G=tf(num，den) 其中num表示傳遞函數(shù)中分子多項(xiàng)式的系數(shù)向量（單輸入單輸出系統(tǒng)），den表示傳遞函數(shù)中分母多項(xiàng)式的系數(shù)向量。 函數(shù)tf2ss給出了傳遞函數(shù)的一個狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，其一般形式是: [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) 函數(shù)ss2tf給出了狀態(tài)空間模型所描述系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，其一般形式是: [num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu) 其中對于多輸入系統(tǒng)，必須確定iu的值。例如，若系統(tǒng)有三個輸入u1，u2，u3，則iu必須是1、2、或3，其中1表示u1,2表示u2，3表示u3。該函數(shù)的結(jié)果是第iu個輸入到所有輸出的傳遞函數(shù)。 三.實(shí)驗(yàn)步驟及結(jié)果 1、應(yīng)用MATLAB對下列系統(tǒng)編程，求系統(tǒng)的A、B、C、D陣，然后驗(yàn)證傳遞函數(shù)是相同的。 G(s)= s3+4s2+5s+1 程序和運(yùn)行結(jié)果： num=[0 0 2 1;0 1 5 3]; den=[1 4 5 1]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A = -4 -5 -1 1 0 0 0 1 0 B = 1 0 0 C =0 2 1 1 5 3 D =0 0 A=[-4 -5 -1;1 0 0;0 1 0]; A=[-4 -5 -1;1 0 0;0 1 0]; B=[1;0;0]; C=[0 2 1;1 5 3]; D=[0;0]; [num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,1) num1 = 0 0.0000 2.0000 1.0000 0 1.0000 5.0000 3.0000 den1 =1.0000 4.0000 5.0000 1.0000 2、給定系統(tǒng)G(s)=，求系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型和狀態(tài)空間模型 程序和運(yùn)行結(jié)果： num=[0 1 4 5]; den=[1 6 11 6]; sys=tf(num,den) Transfer function: s^2 + 4 s + 5 ---------------------- s^3 + 6 s^2 + 11 s + 6 >> sys1=tf2zp(num,den) sys1 = -2.0000 + 1.0000i -2.0000 - 1.0000i >> [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A =6 -11 -6 1 0 0 0 1 0 B =1 0 0 C =1 4 5 D =0 實(shí)驗(yàn)2 狀態(tài)空間模型系統(tǒng)仿真及狀態(tài)方程求解 一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 1、 熟悉線性定常離散與連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間控制模型的輸入方法； 2、 熟悉系統(tǒng)模型之間的轉(zhuǎn)換功能； 3、 利用MATLAB對線性定常系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)分析。 二、 實(shí)驗(yàn)原理 函數(shù)step(sys)給出了系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，其中的sys表示貯存在計算機(jī)內(nèi)的狀態(tài)空間模型，它可以由函數(shù)sys=ss(A,B,C,D)得到。 函數(shù)impulse(sys)給出了系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)曲線。 函數(shù)[y,T,x]=Isim(sys,u,t,x0)給出了一個狀態(tài)空間模型對任意輸入的響應(yīng)，x0是初始狀態(tài)。 函數(shù)c2d將連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)化為離散系統(tǒng)狀態(tài)空間形式，其一般形式為：[G,H]=c2d(A,B,T)，其中的T是離散化模型的采樣周期。 函數(shù)d2c將離散系統(tǒng)狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)化為連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間描述，其一般形式為：sysc=d2c(sysd,Method)，其中的Method默認(rèn)值為‘zoh’方法，即帶零階保持器的z變換。 函數(shù)dstep(G,H,C,D)給出了離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。 三、 實(shí)驗(yàn)步驟及結(jié)果 程序和運(yùn)行結(jié)果： T=0.5s時 T=1s時 T=2s時 A=[0 1 0;-2 -3 0;-1 1 -3]; B=[0;0;1]; C=[1 1 1]; D=1; [G1 H1]=c2d(A,B,0.5) G1 =0.8452 0.2387 0 -0.4773 0.1292 0 -0.3326 0.0508 0.2231 H1 = 0 0 0.2590 >> dstep(G1,H1,C,D,1) >> dstep(G1,H1,C,D,1) >> [G2 H2]=c2d(A,B,1) G2 =0.6004 0.2325 0 -0.4651 -0.0972 0 -0.3795 -0.0614 0.0498 H2 =0 0 0.3167 >> dstep(G2,H2,C,D,1) >> [G3 H3]=c2d(A,B,2) [G3 H3]=c2d(A,B,2) G3 =0.2524 0.1170 0 -0.2340 -0.0987 0 -0.2182 -0.0853 0.0025 H3 =0 0 0.3325 >> dstep(G3,H3,C,D,1) 程序和運(yùn)行結(jié)果： Z域仿真圖形： 連續(xù)域仿真圖形： 程序： G=[0 1;-0.16 1]; H=[1;1]; C=[1 1]; D=0; u=1; dstep(G,H,C,D,u) sysd=ss(G,H,C,D,0.05) a = x1 x2 x1 0 1 x2 -0.16 1 b = u1 x1 1 x2 1 c = x1 x2 y1 1 1 d = u1 y1 0 Sampling time: 0.05 Discrete-time model. >> sysc=d2c(sysd,zoh) a = x1 x2 x1 -41.43 46.21 x2 -7.394 4.779 b = u1 x1 16.34 x2 21.12 c = x1 x2 y1 1 1 d = u1 y1 0 Continuous-time model. >> step(sysc); 實(shí)驗(yàn)3 能控能觀判據(jù)及穩(wěn)定性判據(jù) 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 1、利用MATLAB分析線性定常及離散系統(tǒng)的可控性與可觀性； 2、利用MATLAB判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 二、實(shí)驗(yàn)原理 給定系統(tǒng)狀態(tài)空間描述[A,B,C,D]，函數(shù)ctrb(A,B)計算能控性判別矩陣； 函數(shù)obsv(A,C)計算能觀測性判別矩陣； 函數(shù)P=lyap(A,Q)求解李雅普諾夫方程ATP+PA=-Q，Q為正定對稱矩陣； 函數(shù)[D p]=chol(P)可用于判斷P矩陣是否正定,p=0,矩陣正定，p為其它值，矩陣非正定。 三、實(shí)驗(yàn)步驟及結(jié)果 1）（2） A=[1 0 0 0;2 -3 0 0;1 0 -2 0;4 -1 -2 -4]; B=[0;0;1;2]; C=[3 0 1 0]; Qc=ctrb(A,B) Qc =0 0 0 0 0 0 0 0 1 -2 4 -8 2 -10 44 -184 >> rank(Qc) ans =2 >> rank(obsv(A,C)) ans =2 能控性判別矩陣Qc和能觀性判別矩陣都不滿秩，故系統(tǒng)既不能控，也不能觀。 （3） A=[1 0 0 0;2 -3 0 0;1 0 -2 0;4 -1 -2 -4]; B=[0;0;1;2]; C=[3 0 1 0]; D=[0]; [z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D,1); Flagz=0; n=length(A); for i=1:n if real(p(i))>0 Flagz=1; end end >> disp(系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型為);z,p,k 系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型為 z = 1.0000 -4.0000 -3.0000 p =-4 -3 -2 1 k =1.0000 >> if Flagz==1 disp(系統(tǒng)不穩(wěn)定); else disp(系統(tǒng)是穩(wěn)定的); end 系統(tǒng)不穩(wěn)定 >> step(A,B,C,D); 時間響應(yīng)曲線為： 實(shí)驗(yàn)4 狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器的設(shè)計 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 1、熟悉狀態(tài)反饋矩陣的求法； 2、熟悉狀態(tài)觀測器設(shè)計方法。 二、實(shí)驗(yàn)原理 MATLAB軟件提供了兩個函數(shù)acker和place來確定極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的增益矩陣K，函數(shù)acker是基于求解極點(diǎn)配置問題的艾克曼公式，它只能應(yīng)用到單輸入系統(tǒng)，要配置的閉環(huán)極點(diǎn)中可以包括多重極點(diǎn)。函數(shù)place用于多輸入系統(tǒng)，但配置極點(diǎn)不可以包括多重極點(diǎn)。 函數(shù)acker和place的一般形式是： K=acker(A,B,P) K=place(A,B,P) 其中的P是一個向量，P=[],是n個期望的閉環(huán)極點(diǎn)。得到了所要求得反饋增益矩陣后，可以用命令eig(A-B*K)來檢驗(yàn)閉環(huán)極點(diǎn)。 由狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置和觀測器設(shè)計問題直接的對偶關(guān)系，觀測器設(shè)計是狀態(tài)反饋設(shè)計的轉(zhuǎn)置，可以用H=(acker(A’,C’,V’))’來確定一般系統(tǒng)的觀測器矩陣，用命令eig(estim(sysold,H))來檢驗(yàn)極點(diǎn)配置。 三、實(shí)驗(yàn)步驟及結(jié)果 step(A,B,C,D); num=[0 0 1]; den=[1 3 2]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A =-3 -2 1 0 B =1 0 C = 0 1 D = 0 2、配置后系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線為： A=[-3 -2;1 0]; B=[1;0]; C=[0 1]; D=0; P=[-1+sqrt(-1);-1-sqrt(-1)]; K=acker(A,B,P) K = -1 0 >> disp(極點(diǎn)配置后的閉環(huán)系統(tǒng)為) 極點(diǎn)配置后的閉環(huán)系統(tǒng)為 >> sysnew=ss(A-B*K,B,C,D) a = x1 x2 x1 -2 -2 x2 1 0 b = u1 x1 1 x2 0 c = x1 x2 y1 0 1 d = u1 y1 0 Continuous-time model. >> step(sysnew) 所以：K=[-1 0] A=[-3 -2;1 0]; B=[1;0]; C=[0 1]; D=0; V=[-3;-3]; sysold=ss(A,B,C,D); p=eig(A) p =-2 -1 Q=obsv(A,C); m=rank(Q); n=length(A); if m==n H=acker(A,C,V) else disp(系統(tǒng)不是狀態(tài)完全可觀測) end H =-2 3 所以：H=[-2 3] .