《分式及其運(yùn)算》PPT課件.ppt

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第4課分式及其運(yùn)算,1．分式的基本概念：(1)形如的式子叫分式；(2)當(dāng)時(shí)，分式有意義；當(dāng)時(shí)，分式無意義；當(dāng)時(shí)，分式的值為零．,要點(diǎn)梳理,(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0),B≠0,B＝0,A＝0且B≠0,2．分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母都乘以(或除以)，分式的值不變，用式子表示為：，．,同一個(gè)不等于零的整式,(M是不等于零的整式),3．分式的運(yùn)算法則：(1)符號法則：分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個(gè)，分式的值不變．用式子表示為：＝－＝＝－，－＝＝.(2)分式的加減法：同分母加減法：；異分母加減法：.,(3)分式的乘除法：＝，＝.(4)分式的乘方：n＝．,,,(n為正整數(shù)),,4．分式的約分、通分：把分式中分子與分母的公因式約去，這種變形叫做約分，其根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．把幾個(gè)異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，這種變形叫做分式的通分，通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)．通分的關(guān)鍵是確定幾個(gè)分式的最簡公分母．,5．分式的混合運(yùn)算：在分式的混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘方，再將除法化為乘法，進(jìn)行約分化簡，最后進(jìn)行加減運(yùn)算．遇有括號，先算括號里面的．靈活運(yùn)用運(yùn)算律，運(yùn)算結(jié)果必須是最簡分式或整式．6．解分式方程，其思路是去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，要特別注意驗(yàn)根，使分母為0的未知數(shù)的值，是增根，需舍去．,1．正確理解分式的概念及分式有意義判斷某一個(gè)代數(shù)式屬于不屬于分式，不能看化簡后的結(jié)果，而應(yīng)看到它的本來面目，分式的概念是以形式上規(guī)定的．解有關(guān)分式是否有意義的問題時(shí)，常用到“或”與“且”來表達(dá)，正確使用“或”與“且”也是解題的關(guān)鍵．“或”表示一種選擇關(guān)系，含有“你行，他也行”的意思；“且”表示遞進(jìn)關(guān)系，也有“同時(shí)”的意思．,[難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源],2．注意分式運(yùn)算的法則和順序分式的乘除運(yùn)算，一般先利用法則轉(zhuǎn)化為分式的乘法后，能約分的要先約分，再計(jì)算，否則運(yùn)算非常復(fù)雜；對于乘除、乘方混合運(yùn)算，就遵循“先乘方，后乘除”的運(yùn)算順序；異分母分式相加減，或分式與整式的加減運(yùn)算，可把整式看作一個(gè)整體與分式通分后，按同分母的分式相加減來進(jìn)行運(yùn)算．分式運(yùn)算中，每步運(yùn)算都要符合法則或運(yùn)算律，不能隨意套用運(yùn)算律．,3．理解分式方程的增根并檢驗(yàn)是否產(chǎn)生增根在分式方程化為整式方程時(shí)，一般是將方程兩邊同乘以含未知數(shù)的整式(最簡公分母)，當(dāng)所乘整式不為零時(shí)，所得整式的根為增根，因此，驗(yàn)根是解分式方程的必要步驟．分式方程的增根是解題時(shí)極易忽視的知識點(diǎn)，在一般情形下，檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否是增根并不難，而當(dāng)題目明確有增根時(shí)，反推此時(shí)未知數(shù)的值就會讓人不知所措，此時(shí)關(guān)鍵是要具備逆向的思維能力，特別是涉及分式方程的解而又未明確涉及增根問題時(shí)，探討是否有增根(或與增根有關(guān)問題)就成了隱含條件，稍不留心就會發(fā)生差錯(cuò)．,1．(2011江津)下列式子是分式的是()A.B.C.＋yD.解析：根據(jù)分式的定義，分母中必含字母的代數(shù)式叫分式．,基礎(chǔ)自測,B,2．(2011南充)當(dāng)分式的值為0時(shí)，x的值是()A．0B．1C．－1D．－2解析：當(dāng)x＝1時(shí)，分子x－1＝0，而分母x＋2＝3≠0，所以分式的值為0.3．(2011金華)計(jì)算－的結(jié)果為()A.B．－C．－1D．2解析：－＝＝＝－1.,B,C,4．(2011潛江)化簡(＋)(m＋2)的結(jié)果是()A．0B．1C．－1D．(m＋2)2解析：原式＝＝＝1.5．(2011蕪湖)分式方程＝的解是()A．x＝－2B．x＝2C．x＝1D．x＝1或x＝2解析：當(dāng)x＝1時(shí)，方程左邊＝＝＝3，右邊＝＝3，∴x＝1是原方程的解.,B,C,題型一分式的概念，求字母的取值范圍【例1】(1)當(dāng)x＝_______時(shí)，分式無意義；解析：當(dāng)x－1＝0，x＝1時(shí)，分式無意義．(2)(2011泉州)當(dāng)x＝_______時(shí)，分式的值為0.解析：當(dāng)x－2＝0，x＝2時(shí)，分母x＋2＝4，分式的值是0.,題型分類深度剖析,1,2,探究提高1.首先求出使分母等于0的字母的值，然后讓未知數(shù)不等于這些值，便可使分式有意義．2.首先求出使分子為0的字母的值，再檢驗(yàn)這個(gè)字母的值是否使分母的值為0，當(dāng)它使分母的值不為0時(shí)，這就是所要求的字母的值．,知能遷移1(1)使分式有意義的x的取值范圍是________．解析：當(dāng)2x－4≠0，x≠2時(shí)，分式有意義，故x的取值范圍是x≠2.(2)當(dāng)x＝________時(shí)，分式的值為0.解析：當(dāng)|x|－3＝0，|x|＝3，x＝3，而x－3≠0，x≠3，故x＝－3.,x≠2,－3,(3)若分式的值為0，則x的值為()A．1B．－1C．1D．2解析：當(dāng)x－2＝0，x＝2時(shí)，x2－1≠0，故選D.,D,題型二分式的性質(zhì)【例2】(1)(2011湛江)化簡－的結(jié)果是()A．a(chǎn)＋bB．a(chǎn)－bC．a(chǎn)2－b2D．1解析：－＝＝＝a＋b.,A,(2)已知－＝3，求分式的值．解法一：∵－＝3，∴＝3，y－x＝3xy，x－y＝－3xy.原式＝＝＝＝＝4.,解法二：∵－＝3，∴xy≠0，∴原式＝＝＝＝＝＝4.,探究提高1.分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論依據(jù)，所有分式變形都不得與此相違背，否則分式的值改變.2.將分式化簡，即約分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多項(xiàng)式，要先將它們分別分解因式，然后再約分，約分應(yīng)徹底.3.巧用分式的性質(zhì)，可以解決某些較復(fù)雜的計(jì)算題，可應(yīng)用逆向思維，將要求的算式向已知條件“湊”而求得結(jié)果．,知能遷移2(1)(2011聊城)化簡：＝.解析：＝＝.(2)下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的是()A.＝(c≠0)B.＝－1C.＝D.＝解析：＝－.,,D,題型三分式的四則混合運(yùn)算【例3】先化簡代數(shù)式(＋)，然后選取一個(gè)合適的a值，代入求值．解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：原式＝(＋)(a＋2)(a－2)[2分]＝a(a－2)＋2(a＋2)＝a2－2a＋2a＋4＝a2＋4[3分]取a＝1，得原式＝12＋4＝5[5分],探究提高準(zhǔn)確、靈活、簡便地運(yùn)用法則進(jìn)行化簡，注意在取a的值時(shí)，不能取使分式無意義的2.,知能遷移3(1)(2011安徽)先化簡，再求值：－，其中x＝－2.解：原式＝＝＝＝＝－1.,(2)計(jì)算：(－)解：原式＝－＝3(a＋3)－(a－3)＝2a＋12.,(3)(2011貴陽)在三個(gè)整式x2－1，x2＋2x＋1，x2＋x中，請你從中任意選擇兩個(gè)，將其中一個(gè)作為分子，另一個(gè)作為分母組成一個(gè)分式，并將這個(gè)分式進(jìn)行化簡，再求當(dāng)x＝2時(shí)分式的值．解：答案不唯一．如，選擇x2－1為分子，x2＋2x＋1為分母，組成分式.＝＝.將x＝2代入，得原式＝＝.,題型四分式方程的解法【例4】解分式方程：－＝0.解題示范——規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！解：原式＝－＝0，去分母，5(x－1)－(x＋3)＝0，去括號，5x－5－x－3＝0，[2分]4x－8＝0，4x＝8，x＝2.經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2是原方程的根．∴原方程的根是x＝2.[4分],探究提高1.按照基本步驟解分式方程，其關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母．若分母為多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)首先進(jìn)行分解因式．將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，乘最簡公分母時(shí)，應(yīng)乘原分式方程的每一項(xiàng)，不要漏乘常數(shù)項(xiàng)．2.檢驗(yàn)是否產(chǎn)生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某個(gè)根，但因?yàn)樗狗质椒匠痰哪承┓帜笧榱悖蕬?yīng)是原方程的增根，須舍去．,知能遷移4(1)(2011潼南)解分式方程：－＝1.解：方程兩邊同乘(x＋1)(x－1)，得x(x－1)－(x＋1)＝(x＋1)(x－1)，化簡，得－2x－1＝－1，解得x＝0.檢驗(yàn)：當(dāng)x＝0時(shí)，(x＋1)(x－1)≠0，所以x＝0是原分式方程的解．,(2)若方程＝無解，則m＝________.解析：＝，去分母，x－3＝－m，m＝3－x.當(dāng)x＝2時(shí)，m＝3－2＝1.,1,1．勿忘分母不能為零考題再現(xiàn)當(dāng)a取什么值時(shí)，方程－＝的解是負(fù)數(shù)？學(xué)生作答解：原方程兩邊同乘以(x－2)(x＋1)，得x2－1－x2＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝.由<0,得a<－5.故當(dāng)a<－5時(shí)，原方程的解是負(fù)數(shù)．,答題規(guī)范,規(guī)范解答解：當(dāng)x≠－1且x≠2時(shí)，原方程兩邊都乘以(x－2)(x＋1)，得x2－1－x2＋4x－4＝2x＋a，2x＝a＋5，∴x＝.由<0，得a<－5.又由≠2，得a≠－1；≠－1，得a≠－7，故當(dāng)a<－5且a≠－7時(shí)，原方程的解是負(fù)數(shù)．,老師忠告(1)分式中的分母不能為零，這是同學(xué)們熟知的，但在解題時(shí)，往往忽視題目中的這一隱含條件，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤；(2)利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行恒等變形時(shí)，應(yīng)注意分子與分母同乘或同除的整式的值不能是零；(3)解分式方程為什么要檢驗(yàn)？因?yàn)橛酶鞣帜傅淖詈喒帜溉コ朔匠痰膬蛇厱r(shí)，不能肯定所得方程與原方程同解．如果最后x取值使這個(gè)最簡公分母不為零，則這個(gè)步驟符合方程同解原理，這個(gè)取值就是方程的解；否則，不保證新方程與原方程同解．從另一角度看，既然使各分母的最簡公分母為零，則必使某個(gè)分母為零，該分式則無意義，原方程不可能成立，這個(gè)取值就不是原方程的解.,方法與技巧1．分式運(yùn)算過程較長，運(yùn)算中錯(cuò)一個(gè)符號，往往會使原來能夠化簡的趨勢改觀，使算式越來越繁，形成對分式運(yùn)算厭煩甚至懼怕的心理．為了避免這種現(xiàn)象，一定要養(yǎng)成分類分級逐步演算的習(xí)慣，每次添、去括號時(shí)，要注意每一個(gè)符號的正確處理．2．在加深對方法的原理理解的前提下，清楚地歸納運(yùn)算步驟，宜分步式，不宜跳步，不宜一個(gè)符號下完成數(shù)個(gè)步驟．,思想方法感悟提高,失誤與防范1．分式的分母不為零，分式才有意義，這又是分式的值為0的前提．討論分式的值為0，即要求分母不為0，又要求分子為0，二者缺一不可．2．當(dāng)分式的分子或分母為多項(xiàng)式時(shí)，在運(yùn)算順序上，相當(dāng)于使分子或分母的外面有一個(gè)括號，從而把它們分別當(dāng)成一個(gè)整體看，例如：5，應(yīng)得，而不是.3．分式加減法中的通分是等值變形，不要在學(xué)了解分式方程后，兩者混淆，把通分變形成去分母了．,完成考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練4,