2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 幾個重要的不等式 3.2 數(shù)學歸納法的應(yīng)用課件 北師大版選修4-5.ppt

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3.2數(shù)學歸納法的應(yīng)用,第二章3數(shù)學歸納法與貝努利不等式,,學習目標1.會用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.2.了解貝努利不等式，并會證明貝努利不等式.3.體會歸納—猜想—證明的思想方法.,,,問題導學,達標檢測,,題型探究,內(nèi)容索引,問題導學,知識點一用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式,思考1用數(shù)學歸納法證明問題必須注意的步驟是什么？,答案(1)歸納奠基：驗證初始值.(2)歸納遞推：在假設(shè)n＝k成立的前提下，證明n＝k＋1時問題成立.,思考2證明不等式與證明等式有什么不同？,答案證明不等式需注意的是對式子進行“放縮”.,梳理利用數(shù)學歸納法證明不等式在運用數(shù)學歸納法證明不等式時，由n＝k時命題成立，推導n＝k＋1命題成立時，常常要與其他方法，如、、、______等結(jié)合進行.,比較法,分析法,綜合法,放縮法,知識點二貝努利不等式,對任意實數(shù)x≥－1和任何正整數(shù)n，有(1＋x)n≥1＋nx.,題型探究,類型一數(shù)學歸納法與放縮法結(jié)合證明不等式,證明,(2)假設(shè)當n＝k(k∈N＋，k≥2)時，命題成立，,即當n＝k＋1時，命題成立.由(1)(2)可知，不等式對一切n∈N＋，n≥2都成立.,反思與感悟在歸納遞推過程中常用到放縮法，這也是在用數(shù)學歸納法證明不等式問題時常用的方法之一.,(2)假設(shè)當n＝k(k>1，k∈N＋)時，不等式成立，,證明,所以當n＝k＋1時，不等式成立.由(1)(2)知，對于任意大于1的正整數(shù)n，不等式均成立.,類型二利用數(shù)學歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的不等式,當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.,解答,②假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N＋)時，不等式成立，,證明,即當n＝k＋1時，不等式成立.由①②可知，對任意n∈N＋不等式都成立.,反思與感悟(1)首先掌握好數(shù)學歸納法求解問題的步驟及等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，這是解決這類問題的基礎(chǔ).(2)此類題型通常與數(shù)列的遞推公式、通項公式有關(guān)，有時要證明的式子是直接給出，有時是根據(jù)條件從前幾項入手，通過觀察、猜想，歸納出一個式子，然后再用數(shù)學歸納法證明.,證明,達標檢測,1,2,4,3,解析由題知，n的最小值為3，所以第一步驗證n＝3是否成立.,1.用數(shù)學歸納法證明3n≥n3(n≥3，n∈N＋)，第一步驗證A.n＝1B.n＝2C.n＝3D.n＝4,答案,解析,√,1,2,4,3,答案,解析,√,1,2,4,3,答案,解析,1,2,4,3,4.用數(shù)學歸納法證明：2n＋2＞n2，n∈N＋.,證明,1,2,4,3,證明(1)當n＝1時，左邊＝21＋2＝4；右邊＝1，左邊＞右邊；當n＝2時，左邊＝22＋2＝6，右邊＝22＝4，所以左邊＞右邊；當n＝3時，左邊＝23＋2＝10，右邊＝32＝9，所以左邊＞右邊.因此當n＝1,2,3時，不等式成立.(2)假設(shè)當n＝k(k≥3且k∈N＋)時，不等式成立，即2k＋2＞k2.當n＝k＋1時，2k＋1＋2＝22k＋2＝2(2k＋2)－2＞2k2－2＝k2＋2k＋1＋k2－2k－3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2(因為k≥3，所以k－3≥0，k＋1＞0).,1,2,4,3,所以2k＋1＋2＞(k＋1)2.故當n＝k＋1時，原不等式也成立.由(1)(2)知，原不等式對任何n∈N＋都成立.,規(guī)律與方法,數(shù)學歸納法證明不等式的技巧(1)證明不等式時，由n＝k到n＝k＋1的推證過程與證明等式有所不同，由于不等式中的不等關(guān)系，需要我們在證明時，對原式進行“放大”或者“縮小”，才能使用到n＝k時的假設(shè)，所以需要認真分析，適當放縮，才能使問題簡單化，這是利用數(shù)學歸納法證明不等式時常用的方法之一.(2)數(shù)學歸納法的應(yīng)用通常需要與數(shù)學的其他方法聯(lián)系在一起，如比較法、放縮法、配湊法、分析法和綜合法等，才能完成證明過程.,本課結(jié)束,,