高考數(shù)學人教A版（理）一輪復習：第六篇 第3講 等比數(shù)列及其前n項和

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第3講 等比數(shù)列及其前n項和 A級　基礎演練 (時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．在等比數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝a3a5，則a7＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D. 解析　在等比數(shù)列{an}中a＝a3a5，又a4＝a3a5， 所以a4＝1，故q＝，所以a7＝. 答案　B 2．已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a－1，a＋1，a＋4，則an＝ (　　)． A．4·n B．4·n C．4·n－1 D．4·n－1 解析　(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)?a＝5，a1＝4，q＝， ∴an＝4·n－1. 答案　C 3．(2013·泰安模擬)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝ (　　)． A．2 B. C．2或 D．3 解析　∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq， 化簡得，2q2－5q＋2＝0，由題意知，q>1.∴q＝2. 答案　A 4．(2013·江西盟校二模)在正項等比數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和．若a1＝1，a2a6＝8，則S8＝ (　　)． A．8 B．15(＋1) C．15(－1) D．15(1－) 解析　∵a2a6＝a＝8，∴aq6＝8，∴q＝，∴S8＝＝15(＋1)． 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·廣州綜合測試)在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝64，則n的值為________． 解析　因為an＝a1qn－1且a1＝1，q＝2，所以64＝26＝1×2n－1，所以n＝7. 答案　7 6．(2012·遼寧)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10，2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________. 解析　根據(jù)條件求出首項a1和公比q，再求通項公式．由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或，由a＝a10＝a1q9＞0?a1＞0，又數(shù)列{an}遞增，所以q＝2.a＝a10＞0?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n. 答案　2n 三、解答題(共25分) 7．(12分)(2013·長春調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，并寫出數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. (1)證明　∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)， 又a1＝1，∴a1＋1＝2≠0，an＋1≠0， ∴＝2， ∴數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列． ∴an＋1＝2n，可得an＝2n－1. (2)解　∵4b1－1·4b2－1·4b3－1·…·4bn－1＝(an＋1)n， ∴4b1＋b2＋b3＋…＋bn－n＝2n2， ∴2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)－2n＝n2， 即2(b1＋b2＋b3＋…＋bn)＝n2＋2n， ∴Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝n2＋n. 8．(13分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，在數(shù)列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n. (1)設cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{bn}的通項公式． (1)證明　∵an＋Sn＝n， ① ∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ② ②－①得an＋1－an＋an＋1＝1， ∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1， ∴＝. ∵首項c1＝a1－1，又a1＋a1＝1. ∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝. ∴{cn}是以－為首項，公比為的等比數(shù)列． (2)解　由(1)可知cn＝·n－1＝－n， ∴an＝cn＋1＝1－n. ∴當n≥2時，bn＝an－an－1＝1－n－ ＝n－1－n＝n. 又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n. B級　能力突破 (時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2012·全國)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝ (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．2n－1 B.n－1 C.n－1 D. 解析　當n＝1時，a1＝1. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－2an， 解得3an＝2an＋1，∴＝. 又∵S1＝2a2，∴a2＝，∴＝， ∴{an}從第二項起是以為公比的等比數(shù)列， ∴an＝ ∴Sn＝n－1. 答案　B 2．(2013·威海模擬)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為 (　　)． A. B. C．1 D．－ 解析　因為a3a4a5＝3π＝a，所以a4＝3. log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a＝7log33＝，所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．設f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝，an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是________． 解析　由已知可得a1＝f(1)＝，a2＝f(2)＝[f(1)]2＝2，a3＝f(3)＝f(2)·f(1)＝[f(1)]3＝3，…，an＝f(n)＝[f(1)]n＝n， ∴Sn＝＋2＋3＋…＋n ＝＝1－n， ∵n∈N*，∴≤Sn<1. 答案　 4．(2012·蘇州二模)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn，給出下列四個命題：①數(shù)列為等比數(shù)列；②若a2＋a12＝2，則S13＝13；③Sn＝nan－d；④若d>0，則Sn一定有最大值． 其中真命題的序號是________(寫出所有真命題的序號)． 解析　對于①，注意到＝an＋1－an＝d是一個非零常數(shù)，因此數(shù)列是等比數(shù)列，①正確．對于②，S13＝＝＝13，因此②正確．對于③，注意到Sn＝na1＋d＝n[an－(n－1)d]＋d＝nan－d，因此③正確．對于④，Sn＝na1＋d，d>0時，Sn不存在最大值，因此④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號是①②③. 答案?、佗冖? 三、解答題(共25分) 5．(12分)(2011·江西)已知兩個等比數(shù)列{an}，{bn}，滿足a1＝a(a＞0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若數(shù)列{an}唯一，求a的值． 解　(1)設數(shù)列{an}的公比為q，則b1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2，由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2＋q)2＝2(3＋q2)． 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1. (2)設數(shù)列{an}的公比為q，則由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)，得aq2－4aq＋3a－1＝0(*)， 由a＞0得Δ＝4a2＋4a＞0，故方程(*)有兩個不同的實根． 由數(shù)列{an}唯一，知方程(*)必有一根為0， 代入(*)得a＝. 6．(13分)(2012·合肥模擬)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，a1＝t，點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，n∈N*. (1)當實數(shù)t為何值時，數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (2)在(1)的結論下，設bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項和，求Tn. 解　(1)∵點(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上， ∴an＋1＝3Sn＋1，an＝3Sn－1＋1(n>1，且n∈N*)． ∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n>1，n∈N*)，a2＝3S1＋1＝3a1＋1＝3t＋1， ∴當t＝1時，a2＝4a1，數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (2)在(1)的結論下，an＋1＝4an，an＋1＝4n，bn＝log4an＋1＝n，cn＝an＋bn＝4n－1＋n， ∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n) ＝(1＋4＋42＋…＋4n－1)＋(1＋2＋3＋…＋n) ＝＋. 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內(nèi)容.