高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第二篇 第6講 冪函數(shù)與二次函數(shù)

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第6講 冪函數(shù)與二次函數(shù) A級(jí)　基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2013·臨州質(zhì)檢)下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是(　　)． A．y＝(x∈R，且x≠0) B．y＝x(x∈R) C．y＝x(x∈R) D．y＝－x3(x∈R) 解析　對(duì)于f(x)＝－x3，∵f(－x)＝－(－x)3＝－(－x3)＝－f(x)，∴f(x)＝－x3是奇函數(shù)，又∵y＝x3在R上是增函數(shù)，∴y＝－x3在R上是減函數(shù)． 答案　D 2．(2013·懷遠(yuǎn)模擬)如圖所示，給出4個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)的大致對(duì)應(yīng)是 (　　)． A．①y＝x，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1 C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1 D．①y＝x3，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1 解析　因?yàn)閥＝x3的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，故應(yīng)為圖①；y＝x2為開(kāi)口向上的拋物線且頂點(diǎn)為原點(diǎn)，應(yīng)為圖②.同理可得出選項(xiàng)B正確． 答案　B 3．已知函數(shù)f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，則b的取值范圍為 (　　)． A．[2－，2＋] B．(2－，2＋) C．[1,3] D．(1,3) 解析　f(a)＝g(b)?ea－1＝－b2＋4b－3?ea＝－b2＋4b－2成立，故－b2＋4b－2>0，解得2－0，ac＝4 三、解答題(共25分) 7．(12分)設(shè)f(x)是定義在R上以2為最小正周期的周期函數(shù)．當(dāng)－1≤x<1時(shí)，y＝f(x)的表達(dá)式是冪函數(shù)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).求函數(shù)在[2k－1,2k＋1)(k∈Z)上的表達(dá)式． 解　設(shè)在[－1,1)上，f(x)＝xn，由點(diǎn)在函數(shù)圖象上，求得n＝3. 令x∈[2k－1,2k＋1)，則x－2k∈[－1,1)， ∴f(x－2k)＝(x－2k)3.又f(x)周期為2， ∴f(x)＝f(x－2k)＝(x－2k)3.即f(x)＝(x－2k)3(k∈Z)． 8．(13分)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)． (1)若f(x)的定義域和值域均是[1，a]，求實(shí)數(shù)a的值； (2)若f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，且對(duì)任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)∵f(x)＝(x－a)2＋5－a2(a>1)， ∴f(x)在[1，a]上是減函數(shù)．又定義域和值域均為[1，a] ∴即解得a＝2. (2)∵f(x)在區(qū)間(－∞，2]上是減函數(shù)，∴a≥2. 又x＝a∈[1，a＋1]，且(a＋1)－a≤a－1， ∴f(x)max＝f(1)＝6－2a，f(x)min＝f(a)＝5－a2. ∵對(duì)任意的x1，x2∈[1，a＋1]，總有|f(x1)－f(x2)|≤4， ∴f(x)max－f(x)min≤4，得－1≤a≤3，又a≥2，∴2≤a≤3. B級(jí)　能力突破(時(shí)間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2013·合肥八中月考)已知函數(shù)f(x)＝ 則“a≤－2”是“f(x)在R上單調(diào)遞減”的 (　　)． A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析　若a≤－2，則－≥1，且－≤<1，則f(x)分別在區(qū)間(－∞，1]和(1，＋∞)上為減函數(shù)，又函數(shù)在x＝1處的值相同，故f(x)在R上單調(diào)遞減，若f(x)在R上單調(diào)遞減，則a<0，且得a≤－2.故選C. 答案　C 2．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，a為正整數(shù)，c≥1，a＋b＋c≥1，方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)小于1的不等正根，則a的最小值是 (　　)． A．3 B．4 C．5 D．6 解析　由題意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a＋b＋c≥1.當(dāng)a越大，y＝f(x)的開(kāi)口越小，當(dāng)a越小，y＝f(x)的開(kāi)口越大，而y＝f(x)的開(kāi)口最大時(shí)，y＝f(x)過(guò)(0,1)，(1,1)，則c＝1，a＋b＋c＝1.a＋b＝0，a＝－b，－＝，又b2－4ac>0，a(a－4)>0，a>4，由于a為正整數(shù)，即a的最小值為5. 答案　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．已知函數(shù)f(x)＝loga(x2－ax＋2)在(2，＋∞)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______． 解析　函數(shù)f(x)＝loga(x2－ax＋2)在(2，＋∞)上為增函數(shù)，包含兩個(gè)方面：函數(shù)g(x)＝x2－ax＋2在(2，＋∞)上恒正，以及其在(2，＋∞)上的單調(diào)性．由于g(x)＝x2－ax＋2開(kāi)口向上，因此在(2，＋∞)上只能是增函數(shù)，所以∴11時(shí)，g(x)>0，當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)＝0，m＝0不符合要求；當(dāng)m>0時(shí)，根據(jù)函數(shù)f(x)和函數(shù)g(x)的單調(diào)性，一定存在區(qū)間[a，＋∞)使f(x)≥0且g(x)≥0，故m>0時(shí)不符合第①條的要求；當(dāng)m<0時(shí)，如圖所示，如果符合①的要求，則函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)都得小于1，如果符合第②條要求，則函數(shù)f(x)至少有一個(gè)零點(diǎn)小于－4，問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，其中較大的零點(diǎn)小于1，較小的零點(diǎn)小于－4，函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)是2m，－(m＋3)，故m滿足或解第一個(gè)不等式組得－40，使函數(shù)g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在區(qū)間[－1,2]上的值域?yàn)?？若存在，求出q；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)∵f(2)0，解得－10滿足題設(shè)，由(1)知 g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]． ∵g(2)＝－1，∴兩個(gè)最值點(diǎn)只能在端點(diǎn)(－1，g(－1))和頂點(diǎn)處取得．而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0，∴g(x)max＝＝， g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4. 解得q＝2，∴存在q＝2滿足題意． 6．(13分)設(shè)函數(shù)f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，a為實(shí)數(shù))． (1)若f(x)為偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值； (2)設(shè)a>2，求函數(shù)f(x)的最小值． 解　(1)∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)， ∴f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0. (2)f(x)＝ ①當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1)，由a>2，x≥a，得x>1，故f(x)在時(shí)單調(diào)遞增，f(x)的最小值為f＝； ②當(dāng)x0，故f(x)的最小值為a－1. 特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見(jiàn)《創(chuàng)新設(shè)計(jì)·高考總復(fù)習(xí)》光盤(pán)中內(nèi)容.