高中數(shù)學(xué) 綜合測試題1 新人教A版選修2-2

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高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（2-2）綜合測試題 一、選擇題 1．在數(shù)學(xué)歸納法證明“”時，驗證當(dāng)時，等式的左邊為（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 2．已知三次函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍為（　?。? Ａ．或 Ｂ． Ｃ． Ｄ．以上皆不正確 答案：Ｃ 3．設(shè)，若，則的值分別為（　?。? Ａ．1，1，0，0 Ｂ．1，0，1，0 Ｃ．0，1，0，1 Ｄ．1，0，0，1 答案：Ｄ 4．已知拋物線通過點，且在點處的切線平行于直線，則拋物線方程為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 5．?dāng)?shù)列滿足若，則的值為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 6．已知是不相等的正數(shù)，，，則，的關(guān)系是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．不確定 答案：Ｂ 7．復(fù)數(shù)不可能在（　?。? Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 答案：Ａ 8．定義的運算分別對應(yīng)下圖中的（1），（2），（3），（4），那么，圖中（Ａ），（Ｂ）可能是下列（　　）的運算的結(jié)果（ ?。? Ａ．， Ｂ．， Ｃ．， Ｄ．， 答案：Ｂ 9．用反證法證明命題“，如果可被5整除，那么，至少有1個能被5整除．”則假設(shè)的內(nèi)容是（　?。? Ａ．，都能被5整除 Ｂ．，都不能被5整除 Ｃ．不能被5整除 Ｄ．，有1個不能被5整除 答案：Ｂ 10．下列說法正確的是（　?。? Ａ．函數(shù)有極大值，但無極小值 Ｂ．函數(shù)有極小值，但無極大值 Ｃ．函數(shù)既有極大值又有極小值 Ｄ．函數(shù)無極值 答案：Ｂ 11．對于兩個復(fù)數(shù)，，有下列四個結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的個數(shù)為（　?。? Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 答案：Ｂ 12．設(shè)在上連續(xù)，則在上的平均值是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 二、填空題 13．若復(fù)數(shù)為實數(shù)，則的值為　　　　?。? 答案：4 14．一同學(xué)在電腦中打出如下圖形（○表示空心圓，●表示實心圓） ○●○○●○○○●○○○○● 若將此若干個圓依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的圓，那么前2006年圓中有實心圓的個數(shù)為　　　　　． 答案：61 15．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，最小值為，則，的值分別為　　　　　?。? 答案：2，3 16．由與直線所圍成圖形的面積為　　　　?。? 答案：9 三、解答題 17．設(shè)且，求的值．（先觀察時的值，歸納猜測的值．） 解：當(dāng)時，； 當(dāng)時，有； 當(dāng)時，有， 而， ，． ． 當(dāng)時，有． 由以上可以猜測，當(dāng)時，可能有成立． 18．設(shè)關(guān)于的方程， （1）若方程有實數(shù)根，求銳角和實數(shù)根； （2）證明：對任意，方程無純虛數(shù)根． 解：（1）設(shè)實數(shù)根為，則， 即． 由于，，那么 又， 得 （2）若有純虛數(shù)根，使， 即， 由，，那么 由于無實數(shù)解． 故對任意，方程無純虛數(shù)根． 19．設(shè)，點是函數(shù)與的圖象的一個公共點，兩函數(shù)的圖象在點處有相同的切線． （1）用表示； （2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍． 解：（1）因為函數(shù)，的圖象都過點，所以，即． 因為，所以． ，即，所以． 又因為在點處有相同的切線， 所以，而，，所以． 將代入上式得． 因此． 故，，． （2），． 當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減． 由，若，則； 若，則． 由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則或． 所以或． 又當(dāng)時，函數(shù)在上不是單調(diào)遞減的． 所以的取值范圍為． 20．下列命題是真命題，還是假命題，用分析法證明你的結(jié)論．命題：若，且，則． 解：此命題是真命題． ，，，． 要證成立，只需證， 即證，也就是證， 即證． ，， 成立， 故原不等式成立． 21．某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測，存款量與利率的平方成正比，比例系數(shù)為，且知當(dāng)利率為0.012時，存款量為1.44億；又貸款的利率為時，銀行吸收的存款能全部放貸出去；若設(shè)存款的利率為，，則當(dāng)為多少時，銀行可獲得最大收益？ 解：由題意，存款量，又當(dāng)利率為0.012時，存款量為1.44億，即時，；由，得，那么， 銀行應(yīng)支付的利息， 設(shè)銀行可獲收益為，則， 由于，，則，即，得或． 因為，時，，此時，函數(shù)遞增； 時，，此時，函數(shù)遞減； 故當(dāng)時，有最大值，其值約為0.164億． 22．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，． （1）求； （2）猜想數(shù)列的通項，并予以證明． 解：（1）由，得， ， ． （2）猜想：， 證明：（1）當(dāng)時，結(jié)論顯然成立； （2）假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即； 那么，當(dāng)時，由， 這就是說，當(dāng)時，結(jié)論成立； 由（1），（2）可知，對于一切自然數(shù)都成立． 高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（2-2）綜合測試題 一、選擇題 1．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 2．設(shè)復(fù)數(shù)，則滿足的大于1的正整數(shù)中，最小的是（　?。? Ａ．7 Ｂ．4 Ｃ．3 Ｄ．2 答案：Ｂ 3．下列函數(shù)在點處沒有切線的是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 4．（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 5．編輯一個運算程序：，則的輸出結(jié)果為（　　） Ａ．4008 Ｂ．4006 Ｃ．4012 Ｄ．4010 答案：Ｄ 6．如下圖為某旅游區(qū)各景點的分布圖，圖中一支箭頭表示一段有方向的路，試計算順著箭頭方向，從到有幾條不同的旅游路線可走（　　） Ａ．15 Ｂ．16 Ｃ．17 Ｄ．18 答案：Ｃ 7．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在（　?。? Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 答案：Ｂ 8．在中，分別為邊所對的角，若成等差數(shù)列，則的范圍是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｂ 9．設(shè)，則（　?。? Ａ．共有項，當(dāng)時， Ｂ．共有項，當(dāng)時， Ｃ．共有項，當(dāng)時， Ｄ．共有項，當(dāng)時， 答案：Ｄ 10．若函數(shù)的極值點是，函數(shù)的極值點是，則有（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．與的大小不確定 答案：Ａ 11．已知函數(shù)，，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍 是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 12．如圖，陰影部分的面積是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 二、填空題 13．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實數(shù)的值等于　　　　?。? 答案：0 14．若函數(shù)在區(qū)中上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是　?。? 答案：－ 15．類比等比數(shù)列的定義，我們可以給出“等積數(shù)列”的定義：　　　　?。? 答案：對，若（是常數(shù)），則稱數(shù)列為等積數(shù)列； 16．已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值是20，則實數(shù)的值等于 　　　　． 答案： 三、解答題 17．已知拋物線在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的最值． 解：由于，所以，所以拋物線在點）處的切線的斜率為，因為切線與直線垂直，所以，即，又因為點在拋物線上，所以，得．因為，于是函數(shù)沒有最值，當(dāng)時，有最小值． 18．已知數(shù)列滿足條件，，令，求數(shù)列的通項公式． 解：在中，令，得；令，得；令，得２，所以． 將代入中，得，． 由此猜想：．以下用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確． （1）當(dāng)和時，結(jié)論成立； （2）假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立，即，所以，由已知有，因為，所以，于是，所以當(dāng)時，結(jié)論也成立，根據(jù)和，對任意，均有． 19．已知數(shù)列1，11，111，1111，，，，寫出該數(shù)列的一個通項公式，并用反證法證明該數(shù)列中每一項都不是完全平方數(shù)． 解：由于，所以該數(shù)列的一個通項公式是； 證明：假設(shè)是一個完全平方數(shù)，由于是一個奇數(shù)，所以它必須是一個奇數(shù)的平方，不妨設(shè)（為整數(shù)），于是．故此式中左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)，自相矛盾，所以不是一個完全平方數(shù)． 20．已知，，復(fù)數(shù)的虛部減去它的實部所得的差為，求實數(shù)． 解：． ； ，解得． 又因為，故． 21．已知函數(shù)． （1）若，求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間； （2）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 解：（1）當(dāng)時，，， 則， 由于，而，所以，因此由，可得，即，于是，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為； （2）． 因為函數(shù)在區(qū)是上是單調(diào)減函數(shù)，所以在上恒成立，而由于，所以，因此只要在上恒成立，即恒成立． 又，所以應(yīng)有． 22．如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一底寬為2米的無蓋長方體沉淀箱，污水從孔流入，經(jīng)沉淀后從孔流出，設(shè)箱體的長為米，高為米．已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與，的乘積成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問當(dāng)，各為多少米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。?，孔的面積忽略不計）． 解：設(shè)為流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)，則， 其中為比例系數(shù)，依題意，即所求的，值使值最小，根據(jù)題設(shè)，有得． 于是． 當(dāng)時，或（舍去）． 本題只有一個極值點， 當(dāng)時，， 即當(dāng)為6米，為3米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最?。? - 13 -