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第4講 橢 圓
A級 基礎(chǔ)演練(時間:30分鐘 滿分:55分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1.橢圓+y2=1的兩個焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個交點(diǎn)為P,則|PF2|= ( ).
A. B. C. D.4
解析 a2=4,b2=1,所以a=2,b=1,c=,不妨設(shè)F1為左焦點(diǎn),P在x軸上方,則F1(-,0),設(shè)P(-,m)(m>0),則+m2=1,解得m=,所以|PF1|=,根據(jù)橢圓定義:|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-|PF1|=2×2-=.
答案 A
2.(2012·江西)橢圓+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F(xiàn)2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,則此橢圓的離心率為 ( ).
A. B. C. D.-2
解析 因為A,B為左、右頂點(diǎn),F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn),所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|F1B|=a+c.
又因為|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,
所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2.
所以離心率e==,故選B.
答案 B
3.(2013·嘉興測試)已知橢圓x2+my2=1的離心率e∈,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( ).
A. B.
C.∪ D.∪
解析 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+=1.當(dāng)m>1時,e2=1-∈,解得m>;當(dāng)0
b>0)的中心為O,左焦點(diǎn)為F,A是橢圓上的一點(diǎn).·=0且·=2,則該橢圓的離心率是 ( ).
A. B.
C.3- D.3+
解析 因為·=0,且·=·(-),所以·=2,所以||=||=c,所以||=c,且∠AOF=45°,設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)是F′,在△AOF′中,由余弦定理可得AF′= c,由橢圓定義可得AF+AF′= c+ c=2a,即(1+)c=2a,故離心率e===.
答案 A
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.(2013·青島模擬)設(shè)橢圓+=1(m>0,n>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=8x的焦點(diǎn)相同,離心率為,則此橢圓的方程為________.
解析 拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),∴m2-n2=4①,e==,∴m=4,代入①得,n2=12,∴橢圓方程為+=1.
答案?。?
6.(2013·佛山模擬)在等差數(shù)列{an}中,a2+a3=11,a2+a3+a4=21,則橢圓C:+=1的離心率為________.
解析 由題意,得a4=10,設(shè)公差為d,則a3+a2=(10-d)+(10-2d)=20-3d=11,∴d=3,∴a5=a4+d=13,a6=a4+2d=16>a5,∴e==.
答案
三、解答題(共25分)
7.(12分)已知F1,F(xiàn)2分別是橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn),·=0,若橢圓的離心率等于.
(1)求直線AO的方程(O為坐標(biāo)原點(diǎn));
(2)直線AO交橢圓于點(diǎn)B,若三角形ABF2的面積等于4,求橢圓的方程.
解 (1)由·=0,知AF2⊥F1F2,
∵橢圓的離心率等于,∴c=a,可得b2=a2.
設(shè)橢圓方程為x2+2y2=a2.
設(shè)A(x0,y0),由·=0,知x0=c,
∴A(c,y0),代入橢圓方程可得y0=a,
∴A,故直線AO的斜率k=,
直線AO的方程為y=x.
(2)連接AF1,BF1,AF2,BF2,
由橢圓的對稱性可知,S△ABF2=S△ABF1=S△AF1F2,
∴·2c·a=4.
又由c=a,解得a2=16,b2=16-8=8.
故橢圓方程為+=1.
8.(13分)設(shè)F1,F(xiàn)2分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過F2的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),直線l的傾斜角為60°,F(xiàn)1到直線l的距離為2.
(1)求橢圓C的焦距;
(2)如果=2,求橢圓C的方程.
解 (1)設(shè)橢圓C的焦距為2c,由已知可得F1到直線l的距離c=2,故c=2.
所以橢圓C的焦距為4.
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由=2及l(fā)的傾斜角為60°,知y1<0,y2>0,
直線l的方程為y=(x-2).
由消去x,
整理得(3a2+b2)y2+4b2y-3b4=0.
解得y1=,y2=.
因為=2,所以-y1=2y2,
即=2·,解得a=3.
而a2-b2=4,所以b2=5.
故橢圓C的方程為+=1.
B級 能力突破(時間:30分鐘 滿分:45分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1. (2013·廈門質(zhì)檢)已知F是橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF與圓2+y2=相切于點(diǎn)Q,且=2Q,則橢圓C的離心率等于 ( ).
A. B. C. D.
解析 記橢圓的左焦點(diǎn)為F′,圓2+y2=的圓心為E,連接PF′,QE.
∵|EF|=|OF|-|OE|=c-=,=2Q,
∴==,∴PF′∥QE,
∴=,且PF′⊥PF.
又∵|QE|=(圓的半徑長),∴|PF′|=b.
據(jù)橢圓的定義知:|PF′|+|PF|=2a,∴|PF|=2a-b.
∵PF′⊥PF,∴|PF′|2+|PF|2=|F′F|2,
∴b2+(2a-b)2=(2c)2,∴2(a2-c2)+b2=2ab,
∴3b2=2ab,∴b=,c==a,=,
∴橢圓的離心率為.
答案 A
2.(2012·山東)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點(diǎn),以這四個交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為 ( ).
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
解析 因為橢圓的離心率為,所以e==,c2=a2,c2=a2=a2-b2,所以b2=a2,即a2=4b2.雙曲線的漸近線方程為y=±x,代入橢圓方程得+=1,即+==1,所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=±b,則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為,所以四邊形的面積為4×b×b=b2=16,所以b2=5,所以橢圓方程為+=1.
答案 D
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.(2012·泰安一模)F1,F(xiàn)2為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn),A,B分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn),以F1F2為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M,且滿足∠MAB=30°,則該雙曲線的離心率為________.
解析 如圖,以F1F2為直徑的圓為x2+y2=c2,雙曲線的漸近線為y=x.
由得M(a,b),
∴△MAB為直角三角形.
∴在Rt△MAB中,tan 30°===.
∴=.∴e= = =.
答案
4.如圖,∠OFB=,△ABF的面積為2-,則以O(shè)A為長半軸,OB為短半軸,F(xiàn)為一個焦點(diǎn)的橢圓方程為________.
解析 設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),
由題可知,|OF|=c,|OB|=b,∴|BF|=a,
∵∠OFB=,∴=,a=2b.
S△ABF=·|AF|·|BO|=(a-c)·b
=(2b-b)b=2-,
∴b2=2,∴b=,∴a=2,∴橢圓的方程為+=1.
答案 +=1
三、解答題(共25分)
5.(12分)(2012·南京二模) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點(diǎn)為圓心,橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P(0,1),Q(0,2).設(shè)M,N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點(diǎn),直線PM與QN相交于點(diǎn)T.求證:點(diǎn)T在橢圓C上.
(1)解 由題意知,b==.
因為離心率e==,所以= =.
所以a=2.
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)證明 由題意可設(shè)M,N的坐標(biāo)分別為(x0,y0),(-x0,y0),
則直線PM的方程為y=x+1, ①
直線QN的方程為y=x+2. ②
法一 聯(lián)立①②解得x=,y=,
即T.由+=1,可得x=8-4y.
因為2+2=
====1,
所以點(diǎn)T的坐標(biāo)滿足橢圓C的方程,即點(diǎn)T在橢圓C上.
法二 設(shè)T(x,y),聯(lián)立①②解得x0=,y0=.
因為+=1,所以2+2=1.
整理得+=(2y-3)2,
所以+-12y+8=4y2-12y+9,即+=1.
所以點(diǎn)T坐標(biāo)滿足橢圓C的方程,即點(diǎn)T在橢圓C上.
6.(13分)(2012·重慶) 如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,線段OF1,OF2的中點(diǎn)分別為B1,B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.
(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過B1作直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),使PB2⊥QB2,求直線l的方程.
解 (1) 如圖,設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1(a>b>0),右焦點(diǎn)為F2(c,0).
因△AB1B2是直角三角形,
又|AB1|=|AB2|,
故∠B1AB2為直角,
因此|OA|=|OB2|,得b=.
結(jié)合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,
故a2=5b2,c2=4b2,所以離心率e==.
在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,
故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.由題設(shè)條件S△AB1B2=4得b2=4,從而a2=5b2=20.因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:+=1.
(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由題意知直線l的傾斜角不為0,故可設(shè)直線l的方程為x=my-2.代入橢圓方程得(m2+5)y2-4my-16=0.
設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則y1,y2是上面方程的兩根,
因此y1+y2=,y1·y2=-,
又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16
=--+16=-,
由PB2⊥QB2,得·=0,
即16m2-64=0,解得m=±2.
所以滿足條件的直線有兩條,其方程分別為x+2y+2=0和x-2y+2=0.
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