高考數學人教A版（理）一輪復習：第三篇 第4講 定積分的概念與微積分基本定理

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第4講 定積分的概念與微積分基本定理 A級　基礎演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2013·大連模擬)已知f(x)為偶函數且f(x)dx＝8，則－6f(x)dx等于 (　　)． A．0 B．4 C．8 D．16 解析　因為f(x)為偶函數，圖象關于y軸對稱，所以 －6f(x)dx＝2f(x)dx＝8×2＝16. 答案　D 2．(2013·唐山模擬)已知f(x)＝2－|x|，則－1f(x)dx等于 (　　)． A．3 B．4 C. D. 解析　f(x)＝2－|x|＝ ∴－1f(x)dx＝－1(2＋x)dx＋(2－x)dx＝＋＝＋2＝. 答案　C 3．函數f(x)滿足f(0)＝0，其導函數f′(x)的圖象如圖所示，則f(x)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為 (　　)． A. B. C．2 D. 解析　由導函數f′(x)的圖象可知函數f(x)為二次函數，且對稱軸為x＝－1，開口方向向上．設函數f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，由f(0)＝0，得c＝0.f′(x)＝2ax＋b，因過點(－1,0)與(0,2)，則有∴∴f(x)＝x2＋2x，則f(x)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為S＝－2(－x2－2x)dx＝＝×(－2)3＋(－2)2＝. 答案　B 4．若dx＝3＋ln 2(a>1)，則a的值是 (　　)． A．2 B．3 C．4 D．6 解析　dx＝(x2＋ln x)＝a2＋ln a－1＝3＋ln 2，即a＝2. 答案　A 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．已知t>0，若(2x－1)dx＝6，則t＝________. 解析　(2x－1)dx＝(x2－x)＝t2－t＝6， 解得t＝3(t＝－2舍去)． 答案　3 6．(2012·山東)設a>0，若曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a＝________. 解析　S＝dx＝＝a＝a2，∴a＝. 答案　 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知f(x)是一次函數，且f(x)dx＝5，xf(x)dx＝，求dx的值． 解　∵f(x)是一次函數，∴可設f(x)＝ax＋b(a≠0)． ∴f(x)dx＝(ax＋b)dx＝＝a＋b. ∴a＋b＝5.① 又xf(x)dx＝x(ax＋b)dx ＝＝a＋b. ∴a＋b＝.② 解①②得a＝4，b＝3，∴f(x)＝4x＋3， ∴dx＝dx＝dx ＝(4x＋3ln x)＝4＋3ln 2. 8．(13分)如圖所示，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值． 解　拋物線y＝x－x2與x軸兩交點的橫坐標為x1＝0，x2＝1， 所以，拋物線與x軸所圍圖形的面積 S＝(x－x2)dx＝＝. 又拋物線y＝x－x2與y＝kx兩交點的橫坐標為 x3＝0，x4＝1－k，所以， ＝∫(x－x2－kx)dx＝ ＝(1－k)3. 又知S＝，所以(1－k)3＝， 于是k＝1－ ＝1－. B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．由曲線y＝x2＋2x與直線y＝x所圍成的封閉圖形的面積為 (　　)． A. B. C. D. 解析　在直角坐標系內，畫出曲線和直線圍成的封閉圖形，如圖所示，由x2＋2x＝x，解得兩個交點坐標為(－1，－1)和(0,0)，封閉圖形的面積為S＝ －1[x－(x2＋2x)]dx＝＝－－＝. 答案　A 2．(2013·鄭州質檢)如圖所示，在一個邊長為1的正方形AOBC內，曲線y＝x2和曲線y＝圍成一個葉形圖(陰影部分)，向正方形AOBC內隨機投一點(該點落在正方形AOBC內任何一點是等可能的)，則所投的點落在葉形圖內部的概率是 (　　)． A. B. C. D. 解析　依題意知，題中的正方形區(qū)域的面積為12＝1，陰影區(qū)域的面積等于(－x2)dx＝＝，因此所投的點落在葉形圖內部的概率等于，選D. 答案　D 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．已知f(x)＝若f(x)dx＝(k<2)．則k＝________. 解析　f(x)dx＝(2x＋1)dx＋(1＋x2)dx＝，所以得到k2＋k＝0，即k＝0或k＝－1. 答案　0或－1 4．設f(x)＝xn＋ax的導函數為f′(x)＝2x＋1且f(－x)dx＝m，則12展開式中各項的系數和為________． 解析　因為f(x)＝xn＋ax的導函數為f′(x)＝2x＋1.故n＝2，a＝1.所以f(－x)dx＝(x2－x)dx＝＝＝m所以12展開式中各項的系數和為12＝1. 答案　1 三、解答題(共25分) 5．(12分)已知f(x)為二次函數，且f(－1)＝2，f′(0)＝0， f(x)dx＝－2， (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在[－1,1]上的最大值與最小值． 解　(1)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則f′(x)＝2ax＋b. 由f(－1)＝2，f′(0)＝0， 得即 ∴f(x)＝ax2＋2－a. 又f(x)dx＝(ax2＋2－a)dx ＝＝2－a＝－2， ∴a＝6，從而f(x)＝6x2－4. (2)∵f(x)＝6x2－4，x∈[－1,1]． ∴當x＝0時，f(x)min＝－4；當x＝±1時，f(x)max＝2. 6．(13分)在區(qū)間[0,1]上給定曲線y＝x2.試在此區(qū)間內確定點t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值． 解　面積S1等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線y＝x2與x軸、直線x＝t所圍成的面積， 即S1＝t·t2－x2dx＝t3. S2的面積等于曲線y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2,1－t， 即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋. 所以陰影部分面積S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)． 令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0時，得t＝0或t＝. t＝0時，S＝；t＝時，S＝；t＝1時，S＝. 所以當t＝時，S最小，且最小值為. 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內容.