4.3 解直角三角形

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4.3 解直角三角形 教學(xué)目標(biāo) 1. 使學(xué)生理解直角三角形中五個(gè)元素的關(guān)系，會綜合運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形． 2. 通過學(xué)習(xí)解直角三角形，歸納出解直角三角形的兩種類型． 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 解直角三角形的有關(guān)知識． 【教學(xué)難點(diǎn)】 選擇恰當(dāng)?shù)倪吔顷P(guān)系，解直角三角形． 課前準(zhǔn)備 無 教學(xué)過程 教學(xué)步驟 師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 回顧 Rt△ABC中的關(guān)系式．(∠C＝90°) 兩銳角的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°. 三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2. 邊角關(guān)系：sinA＝，cosA＝，tanA＝. 學(xué)生回憶并回答，為本課的學(xué)習(xí)提供遷移或類比方法. 活動(dòng) 一： 創(chuàng)設(shè) 情境 導(dǎo)入 新課 【課堂引入】 　　1.△ABC中，若∠C＝90°，∠A＝30°，c＝10 cm，那么a＝__5__cm，b＝__5___cm. 2.若∠A＝40°，c＝10 cm，那么由sinA＝，得a＝c·sinA＝__10·sin40°__，由cosA＝，得b＝c·cosA＝__10·cos40°__. 3.清明節(jié)時(shí)，某中學(xué)的近千名師生到 龍山烈士陵園祭奠抗戰(zhàn)烈士．如圖4－3－6，山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，該山坡的高BC為多少米？[答案：100米] 圖4－3－6 鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立解決問題，讓學(xué)生初步感受已知一銳角和一邊可以求出其他邊. 活動(dòng) 二： 實(shí)踐 探究 交流新知 【探究1】 (多媒體出示) 1.涉“斜”選“弦”的策略：當(dāng)已知和所求涉及直角三角形的斜邊時(shí)，應(yīng)選擇與斜邊相關(guān)的已知角的正弦、余弦．我們把它叫作涉斜(涉及斜邊)選弦(選正弦、余弦)的策略. [濱州中考] 在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，則BC的長為(　A　) A.6　　B．7.5　　C．8　　D．12.5 [解析]　如圖4－3－7，∵∠C＝90°， ∴sinA＝. 圖4－3－7 ∴BC＝AB·sinA＝10×＝6. 【探究2】 (多媒體出示) 2.無“斜”選“切”的策略：若已知和所求均未涉及斜邊，則要選擇與斜邊無關(guān)的邊角關(guān)系式——正切，這種方法稱之為無“斜”(斜邊)選“切”(正切)的策略. 圖4－3－8 如圖4－3－8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝20 m，則BC的長大約為(結(jié)果精確到0.1 m)(　B　) A.34.4 m B．34.6 m C.28.3 m D．17.3 m [解析] 直接利用tanA＝，得BC＝AC·tanA. ∴BC＝AC·tanA＝20 ≈34.6(m). [活動(dòng)總結(jié)] 涉“斜”選“弦”，無“斜”選“切”． 　1.本活動(dòng)的設(shè)計(jì)意在引導(dǎo)學(xué)生通過自主探究，合作交流，恰當(dāng)?shù)剡x擇邊角關(guān)系式，使其對具體問題的認(rèn)識從形象到抽象，訓(xùn)練學(xué)生能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)知識．旨在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的意識，提高學(xué)生的抽象思維能力，同時(shí)也為后續(xù)歸納一元二次方程提供材料. 2.還可以根據(jù)∠A＝60°，可得∠B＝30°，利用直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可求出斜邊長40 m，再利用勾股定理求出BC. 活動(dòng) 三： 開放 訓(xùn)練 體現(xiàn) 應(yīng)用 【應(yīng)用舉例】 例1　在△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解這個(gè)直角三角形. 解：AB＝＝＝2 . ∵tanA＝＝＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°. 例2　在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，∠A＝30°，解這個(gè)直角三角形. 解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝90°－30°＝60°. 而cosA＝，∴AB＝＝＝. ∵tanA＝，∴BC＝tanA·AC＝tan30°×10＝. 變式　在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝72°，AB＝10，則邊AC的長約為(精確到0.1)(　C　) A.9.1　　B．9.5　　C．3.1　　D．3.5 [解析] 在Rt△ABC中，cosA＝，∴AC＝AB·cosA＝10·cos72°≈3.1.所以選C. 　例1主要是已知兩邊解直角三角形，注意已知兩邊解直角三角形的方法技巧. 　例2及其變式主要是已知一邊及一銳角解直角三角形．注意已知一邊及一銳角解直角三角形的方法技巧. 【拓展提升】 例3　[南昌中考] 在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一個(gè)銳角為60°，BC＝6.若點(diǎn)P在直線AC上(不與點(diǎn)A，C重合)，且∠ABP＝30°，則CP的長為__2_或4_或6__. [解析] (1)如圖①，∠ABP＝30°，∵∠ABC＝60°，∴∠ACB＝30°.∵BC＝6，∴AB＝3，∴AC＝3 ，在Rt△BAP中，tan30°＝，AP＝AB·tan30°＝3×＝，∴CP＝3 －＝2 . (2)如圖②，由圖①知AB＝3，又∠ABP＝30°，∴AP＝，∴CP＝3 ＋＝4 . (3)如圖③，∵∠ABC＝∠ABP＝30°，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠P，∴BC＝BP.∵∠C＝60°，∴△CBP是等邊三角形，∴CP＝BC＝6. 圖4－3－9 例3是需要畫圖后解直角三角形的問題，畫圖時(shí)需要分類討論，注意解答時(shí)不要漏解. 活動(dòng) 四： 課堂 總結(jié) 反思 【當(dāng)堂訓(xùn)練】 1.教材P123練習(xí)中的T1，T2，T3. 2.教材P123習(xí)題4.3中的T1，T2，T3. 3.補(bǔ)充練習(xí). (1)在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9 ，點(diǎn)D在BC邊上，連接AD，若tan∠CAD＝，則BD的長為__6__. 圖4－3－10 　　　 (2)如圖4－3－11，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，CD⊥AB，垂足為D，CD＝1，則AB的長為__＋1__． 圖4－3－11 　　當(dāng)堂檢測，及時(shí)反饋學(xué)習(xí)效果. 【知識網(wǎng)絡(luò)】 提綱挈領(lǐng)，重點(diǎn)突出. 【教學(xué)反思】 ①[授課流程反思] 本節(jié)課采用清明節(jié)登山、測山高作為新課導(dǎo)入，題型新穎，深受學(xué)生喜愛，有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)解直角三角形的積極性. ②[講授效果反思] 解直角三角形是重點(diǎn)，而選擇恰當(dāng)?shù)倪吔顷P(guān)系式則是難點(diǎn)，為了突破此難點(diǎn)，本節(jié)課選擇了兩個(gè)例題讓學(xué)生探究、討論，總結(jié)出選擇邊角關(guān)系式的策略：有“斜”選“弦”，無“斜”選“切”；避“除”就“乘”，能“正”不“余”．由于有這些例題的引導(dǎo)，學(xué)生對于兩類型的解直角三角形問題的掌握，應(yīng)該沒有問題，建議把補(bǔ)充練習(xí)也安排給成績中等及以上的學(xué)生. ③[師生互動(dòng)反思] ___________________________________________ ___________________________________________ ④[習(xí)題反思] 好題題號_____________________________________ 錯(cuò)題題號____________________________________ 反思，更進(jìn)一步提升. 5