2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系
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*2.4 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 教學(xué)目標(biāo) 1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根x1,x2與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系。 2、能根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式和已知一個根的條件下,求出方程的另一根,以及方程中的未知數(shù)。 3、會求已知方程的兩根的倒數(shù)和與平方和、兩根的差。 4、在推導(dǎo)過程中,培養(yǎng)學(xué)生“觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的研究問題的思想與方法。 教學(xué)重難點 【教學(xué)重點】 一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的兩根x1,x2與系數(shù)a、b、c之間的關(guān)系,求已知方程的兩根的倒數(shù)和與平方和、兩根的差。 【教學(xué)難點】 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式和已知一個根的條件下,求出方程的另一根,以及方程中的未知數(shù)。 課前準(zhǔn)備 無 教學(xué)過程 第一環(huán)節(jié):復(fù)習(xí)回顧 內(nèi)容: 1、一元二次方程的一般形式? ax2+bx+c=0 (a≠0)(板書)??? ? 2、一元二次方程有實數(shù)根的條件是什么? (△=b2-4ac≥0) 3、當(dāng)△>0,△=0,△<0 根的情況如何? 4、一元二次方程的求根公式是什么? 目的:以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考,回憶公式法解一元二次方程的相關(guān)知識,有利于學(xué)生銜接前后知識,形成清晰的知識脈絡(luò),為后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊。 效果:第一問題學(xué)生先動筆寫在練習(xí)本上,有個別同學(xué)少了條件“a≠0”。 后面的問題由于較簡單,學(xué)生很快回答出來,提高了學(xué)生自信心。 第二環(huán)節(jié):情景引入 內(nèi)容:同學(xué)們,我們來做一個游戲,看誰能更快速的說出下列一元二次方程的兩根和與兩根積?? (1)x2+3x+4=0 (2)6x2+x-2=0? (3) 2x2-3x?+1=0 目的:通過游戲入手,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。 效果:激發(fā)了學(xué)生的求知欲和好奇心,激起了學(xué)生探究新知的興趣。自然引出本節(jié)課要學(xué)習(xí)的課題 第三環(huán)節(jié):探究新知 內(nèi)容: 計算填表(驗證第一環(huán)節(jié)游戲的結(jié)果) 方程 ?x1 ?x2 x1+x2? x1x2? ?x2+3x+4=0 ? ? ? ? 6x2+x-2=0? ? ? ? ? 2x2-3x?+1=0 ? ? ? ? 問題: 1、你找到快速求出一元二次方程的兩根和與兩根積的方法了嗎???????? 2、剛才我們列舉了部分方程發(fā)現(xiàn)兩根和、兩根積與系數(shù)的關(guān)系,那么是不是所有的一元二次方程根與系數(shù)都有這樣的關(guān)系呢? 3、請根據(jù)以上的觀察發(fā)現(xiàn)進一步猜想:方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1,x2與a、b、c之間的關(guān)系:____________。 4.你能證明上面的猜想嗎?請證明,并用文字語言敘述說明。 (分小組討論以上的問題,并作出推理證明。) 目的:本環(huán)節(jié)采用“實踐——觀察——發(fā)現(xiàn)——猜想——證明”的過程,使學(xué)生既動手、動腦,又動口,教師引導(dǎo)啟發(fā),避免注入式地講授一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,體現(xiàn)學(xué)生的主體學(xué)習(xí)特性,培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神。 效果:在復(fù)習(xí)舊知的基礎(chǔ)上,學(xué)生很快口完成了表格,為解決后面的問題做好了準(zhǔn)備。問題串讓學(xué)生合作解決,在探究的過程中體現(xiàn)了特殊到一般,從實踐到理論的認(rèn)知規(guī)律。 第四環(huán)節(jié):嘗試發(fā)展 嘗試題1:根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出下列方程的兩根之和與兩根之積 (方程兩根為x1,x2、k是常數(shù)) (1)2x2-3x-1=0? ????x1+x2= ________????? x1x2= ________??????????? (2)3x2+5x=0??????? x1+x2= ________??? x1x2= ________?? (3)x2+7x=-6???? x1+x2= _________???x1x2= _________?? (4)5x2+kx-6=0????? x1+x2= _________???x1x2= _________ (學(xué)生迅速演算或口算) 嘗試題2:利用根與系數(shù)的關(guān)系,求一元二次方程2x2-3x+5=0的兩個根的 (1)平方和 (2)倒數(shù)和 (3)差 嘗試題3:已知方程6x2+kx-5=0的一個根為1,求它的另一個根及k的值。 目的:“嘗試題1”是引導(dǎo)學(xué)生及時鞏固本節(jié)所學(xué)的新知“根與系數(shù)的關(guān)系”,其中第(3)小題是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性和批判性;第(4)小題是起過渡作用設(shè)計。 “嘗試題2” 將平方和、倒數(shù)和及差轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式。例如: x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;? “嘗試題3” 展示學(xué)生的不同作法,通過比較,學(xué)生可以體會到用根與系數(shù)的關(guān)系來解決此類問題比較簡便。 效果:1、兩根之和等于一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)的相反數(shù)中的符號是學(xué)生的易錯點 2、將平方和、倒數(shù)和及差轉(zhuǎn)化為兩根和與積的代數(shù)式時,部分學(xué)生不能熟練的掌握。 3、使學(xué)生體會解題方法的多樣性,開闊解題思路,優(yōu)化解題方法,增強擇優(yōu)能力。力求讓學(xué)生在自主探索和合作交流的過程中進行學(xué)習(xí),獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。 第五環(huán)節(jié):拓展創(chuàng)新 1.已知三角形的兩邊長a、b是方程x2-12x+k==0的兩個根,三角形的第三條邊c=4,求這個三角形的周長。X k B 1 . c o m 2、變式訓(xùn)練: 已知三角形的兩邊長a、b是方程x2-12x+k==0的兩個根,三角形的第三條邊c能等于15嗎? 3、利用根與系數(shù)的關(guān)系,求作一個一元二次方程,使它的兩根為2和3. 目的:1、第1、2題把一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系與三角形三邊關(guān)系相組合,借此鍛煉學(xué)生綜合分析、推理、歸納的能力。 2、第3題已知方程的兩根求作一個一元二次方程,是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的逆用,比較抽象,學(xué)生真正掌握有一定的難度。同時要注意答案的多樣性及其中的規(guī)律 效果:留給學(xué)生充分的獨立思考和小組合作交流的時間與空間,使學(xué)生在資源共享的同時,充分體會到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系的廣泛應(yīng)用和便捷, 第六環(huán)節(jié) 感悟與收獲 內(nèi)容:師生互相交流總結(jié) 在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a、b、c有哪些作用? ①二次項系數(shù)a是否為零,決定著方程是否為二次方程; ②當(dāng)a≠0時,b=0,a、c異號,方程兩根互為相反數(shù); ③當(dāng)a≠0時,△=b2-4ac可判定根的情況X k B 1 . c o m ④當(dāng)a≠0,b2-4ac≥0時,x1+x2=????? ,x1x2=???? ⑤當(dāng)a≠0,c=0時,方程必有一根為0。 ?目的:鼓勵學(xué)生回顧本節(jié)課知識方面以及與之相聯(lián)系的知識有哪些收獲,解題技能方面有哪些提高,通過回顧進一步鞏固知識,將新知識納入到學(xué)生個人已有的知識體系中。 效果:學(xué)生通過回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí),感受到公式推導(dǎo)的全過程,發(fā)展了邏輯思維能力,提高了推理技能。 第七環(huán)節(jié) 布置作業(yè) P52 A 知識技能1? B ?數(shù)學(xué)理解3 C、已知方程的一個根為2,求另一個根及的值。 4- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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