北師大版九上第2章 測試卷（1）

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第二章 一元二次方程測試卷（1） 一、精心選一選，相信自己的判斷?。啃☆}3分，共30分） 1．（3分）方程2x2﹣3=0的一次項系數(shù)是（　?。? A．﹣3 B．2 C．0 D．3 2．（3分）方程x2=2x的解是（　　） A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2= 3．（3分）方程x2﹣4=0的根是（　　） A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4 4．（3分）若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0無實數(shù)根，則k的最小整數(shù)值是（　?。? A．﹣1 B．0 C．1 D．2 5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的過程中，配方正確的是（　?。? A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 6．（3分）在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，做成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（　?。? A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0 C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0 7．（3分）已知直角三角形的三邊長為三個連續(xù)整數(shù)，那么，這個三角形的面積是（　?。? A．6 B．8 C．10 D．12 8．（3分）方程x2﹣9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（　?。? A．12 B．12或15 C．15 D．不能確定 9．（3分）若關于一元二次方程x2+2x+k+2=0的兩個根相等，則k的取值是（　?。? A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．2 10．（3分）科學興趣小組的同學們，將自己收集的標本向本組的其他成員各贈送一件，全組共互贈了132件，那么全組共有（　?。┟麑W生． A．12 B．12或66 C．15 D．33 二、耐心填一填：（把答案填放相應的空格里．每小題3分，共15分）． 11．（3分）寫一個一元二次方程，使它的二次項系數(shù)是﹣3，一次項系數(shù)是2：　?。? 12．（3分）﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一個根，則b=　　，另一個根是　?。? 13．（3分）方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是　?。? 14．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的兩根為x1、x2，x1+x2=　?。? 15．（3分）用換元法解方程+2x=x2﹣3時，如果設y=x2﹣2x，則原方程可化為關于y的一元二次方程的一般形式是　?。? 　 三、按要求解一元二次方程：（20分） 16．（20分）按要求解一元二次方程 （1）4x2﹣8x+1=0（配方法） （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） （4）x2﹣2x﹣8=0． 　 四、細心做一做： 17．（6分）有一面積為150m2的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18 m），另三邊用竹籬笆圍成，如果竹籬笆的總長為35 m，求雞場的長與寬各為多少？ 18．（6分）如圖所示，在一塊長為32米，寬為15米的矩形草地上，在中間要設計一橫二豎的等寬的、供居民散步的小路，要使小路的面積是草地總面積的八分之一，請問小路的寬應是多少米？ 19．（7分）某企業(yè)2006年盈利1500萬元，2008年克服全球金融危機的不利影響，仍實現(xiàn)盈利2160萬元．從2006年到2008年，如果該企業(yè)每年盈利的年增長率相同，求： （1）該企業(yè)2007年盈利多少萬元？ （2）若該企業(yè)盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預計2009年盈利多少萬元？ 20．（7分）中華商場將進價為40元的襯衫按50元售出時，每月能賣出500件，經市場調查，這種襯衫每件漲價4元，其銷售量就減少40件．如果商場計劃每月賺得8000元利潤，那么售價應定為多少？這時每月應進多少件襯衫？ 21．（9分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，點P由C點出發(fā)以2m/s的速度向終點A勻速移動，同時點Q由點B出發(fā)以1m/s的速度向終點C勻速移動，當一個點到達終點時另一個點也隨之停止移動． （1）經過幾秒△PCQ的面積為△ACB的面積的？ （2）經過幾秒，△PCQ與△ACB相似？ （3）如圖2，設CD為△ACB的中線，那么在運動的過程中，PQ與CD有可能互相垂直嗎？若有可能，求出運動的時間；若沒有可能，請說明理由． 　 參考答案與試題解析 一、精心選一選，相信自己的判斷?。啃☆}3分，共30分） 1．（3分）方程2x2﹣3=0的一次項系數(shù)是（　?。? A．﹣3 B．2 C．0 D．3 【考點】一元二次方程的一般形式． 【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項． 【解答】解：方程2x2﹣3=0沒有一次項，所以一次項系數(shù)是0．故選C． 【點評】要特別注意不含有一次項，因而一次項系數(shù)是0，注意不要說是沒有． 　 2．（3分）方程x2=2x的解是（　　） A．x=0 B．x=2 C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2= 【考點】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法． 【專題】因式分解． 【分析】把右邊的項移到左邊，用提公因式法因式分解，可以求出方程的兩個根． 【解答】解：x2﹣2x=0 x（x﹣2）=0 ∴x1=0，x2=2． 故選C． 【點評】本題考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右邊的項移到左邊，用提公因式法因式分解，可以求出方程的根． 　 3．（3分）方程x2﹣4=0的根是（　?。? A．x=2 B．x=﹣2 C．x1=2，x2=﹣2 D．x=4 【考點】解一元二次方程-直接開平方法． 【分析】先移項，然后利用數(shù)的開方解答． 【解答】解：移項得x2=4，開方得x=±2， ∴x1=2，x2=﹣2． 故選C． 【點評】（1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0），ax2=b（a，b同號且a≠0），（x+a）2=b（b≥0），a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負，分開求得方程解”； （2）運用整體思想，會把被開方數(shù)看成整體； （3）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細觀察方程的特點． 　 4．（3分）若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0無實數(shù)根，則k的最小整數(shù)值是（　?。? A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考點】根的判別式；一元二次方程的定義． 【分析】先把方程變形為關于x的一元二次方程的一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，要方程無實數(shù)根，則△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0，解不等式，并求出滿足條件的最小整數(shù)k． 【解答】解：方程變形為：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0， 當△＜0，方程沒有實數(shù)根，即△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0， 解得k＞，則滿足條件的最小整數(shù)k為2． 故選D． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根． 　 5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的過程中，配方正確的是（　　） A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】先移項，再方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，即可得出答案． 【解答】解：移項得：x2﹣4x=5， 配方得：x2﹣4x+22=5+22， （x﹣2）2=9， 故選D． 【點評】本題考查了解一元二次方程，關鍵是能正確配方． 　 6．（3分）在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，做成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（　?。? A．x2+130x﹣1400=0 B．x2+65x﹣350=0 C．x2﹣130x﹣1400=0 D．x2﹣65x﹣350=0 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】本題可設長為（80+2x），寬為（50+2x），再根據(jù)面積公式列出方程，化簡即可． 【解答】解：依題意得：（80+2x）（50+2x）=5400， 即4000+260x+4x2=5400， 化簡為：4x2+260x﹣1400=0， 即x2+65x﹣350=0． 故選：B． 【點評】本題考查的是一元二次方程的運用，解此類題目要注意運用面積的公式列出等式再進行化簡． 　 7．（3分）已知直角三角形的三邊長為三個連續(xù)整數(shù)，那么，這個三角形的面積是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【考點】勾股定理． 【分析】設三邊長分別為x，x+1，x+2，根據(jù)勾股定理可得（x+2）2=（x+1）2+x2，解方程可求得三角形的三邊長，利用直角三角形的性質直接求得面積即可． 【解答】解：設這三邊長分別為x，x+1，x+2， 根據(jù)勾股定理得：（x+2）2=（x+1）2+x2 解得：x=﹣1（不合題意舍去），或x=3， ∴x+1=4，x+2=5， 則三邊長是3，4，5， ∴三角形的面積=××4=6； 故選：A． 【點評】本題考查了勾股定理、直角三角形面積的計算方法；熟練掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解決問題的關鍵． 　 8．（3分）方程x2﹣9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形的周長為（　?。? A．12 B．12或15 C．15 D．不能確定 【考點】等腰三角形的性質；解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系． 【專題】分類討論． 【分析】先解一元二次方程，由于未說明兩根哪個是腰哪個是底，故需分情況討論，從而得到其周長． 【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3 ∵當?shù)诪?，腰為3時，由于3+3=6，不符合三角形三邊關系 ∴等腰三角形的腰為6，底為3 ∴周長為6+6+3=15 故選C． 【點評】此題是一元二次方程的解結合幾何圖形的性質的應用，注意分類討論． 　 9．（3分）若關于一元二次方程x2+2x+k+2=0的兩個根相等，則k的取值是（　?。? A．1 B．1或﹣1 C．﹣1 D．2 【考點】根的判別式． 【分析】根據(jù)判別式的意義得到△=22﹣4（k+2）=0，然后解一次方程即可． 【解答】解：根據(jù)題意得△=22﹣4（k+2）=0， 解得k=﹣1． 故選C． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2﹣4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根． 　 10．（3分）科學興趣小組的同學們，將自己收集的標本向本組的其他成員各贈送一件，全組共互贈了132件，那么全組共有（　?。┟麑W生． A．12 B．12或66 C．15 D．33 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】設全組共有x名學生，每一個人贈送x﹣1件，全組共互贈了x（x﹣1）件，共互贈了132件，可得到方程，求解即可． 【解答】解：設全組共有x名學生，由題意得 x（x﹣1）=132 解得：x1=﹣11（不合題意舍去），x2=12， 答：全組共有12名學生． 故選：A． 【點評】本題考查一元二次方程的實際運用，找出題目蘊含的數(shù)量關系是解決問題的關鍵． 　 二、耐心填一填：（把答案填放相應的空格里．每小題3分，共15分）． 11．（3分）寫一個一元二次方程，使它的二次項系數(shù)是﹣3，一次項系數(shù)是2：　﹣3x2+2x﹣3=0?。? 【考點】一元二次方程的一般形式． 【專題】開放型． 【分析】根據(jù)一元二次方程的一般形式和題意寫出方程即可． 【解答】解：由題意得：﹣3x2+2x﹣3=0， 故答案為：﹣3x2+2x﹣3=0． 【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．在一般形式中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項． 　 12．（3分）﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一個根，則b= 　﹣4　，另一個根是　5?。? 【考點】一元二次方程的解． 【分析】把x=﹣1代入方程得出關于b的方程1+b﹣2=0，求出b，代入方程，求出方程的解即可． 【解答】解：∵x=﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一個實數(shù)根， ∴把x=﹣1代入得：1﹣b﹣5=0， 解得b=﹣4， 即方程為x2﹣4x﹣5=0， （x+1）（x﹣5）=0， 解得：x1=﹣1，x2=5， 即b的值是﹣4，另一個實數(shù)根式5． 故答案為：﹣4，5； 【點評】本題考查了一元二次方程的解的概念：使方程兩邊成立的未知數(shù)的值叫方程的解． 　 13．（3分）方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是　y1=﹣，y2=?。? 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】因式分解． 【分析】解一元二次方程的關鍵是把二次方程化為兩個一次方程，解這兩個一次方程即可求得． 【解答】解：∵（2y+1）（2y﹣3）=0， ∴2y+1=0或2y﹣3=0， 解得y1=，y2=． 【點評】解此題要掌握降次的思想，把高次的降為低次的，把多元的降為低元的，這是解復雜問題的一個原則． 　 14．（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的兩根為x1、x2，x1+x2=　3?。? 【考點】根與系數(shù)的關系． 【分析】根據(jù)一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，代入計算即可． 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的兩根是x1、x2， ∴x1+x2=3， 故答案為：3． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=． 　 15．（3分）用換元法解方程+2x=x2﹣3時，如果設y=x2﹣2x，則原方程可化為關于y的一元二次方程的一般形式是　y2﹣3y﹣1=0?。? 【考點】換元法解分式方程． 【專題】換元法． 【分析】此題考查了換元思想，解題的關鍵是要把x2﹣2x看作一個整體． 【解答】解：原方程可化為： ﹣（x2﹣2x）+3=0 設y=x2﹣2x ﹣y+3=0 ∴1﹣y2+3y=0 ∴y2﹣3y﹣1=0． 【點評】此題考查了學生的整體思想，也就是準確使用換元法．解題的關鍵是找到哪個是換元的整體． 　 三、按要求解一元二次方程：（20分） 16．（20分）按要求解一元二次方程 （1）4x2﹣8x+1=0（配方法） （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） （4）x2﹣2x﹣8=0． 【考點】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法． 【分析】（1）首先將常數(shù)項移到等號的右側，將等號左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，即可將等號左邊的代數(shù)式寫成完全平方形式． （2）方程移項變形后，采用提公因式法，可得方程因式分解的形式，即可求解． （3）方程化為一般形式，找出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項，計算出根的判別式，發(fā)現(xiàn)其結果大于0，故利用求根公式可得出方程的兩個解． （4）方程左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）4x2﹣8x+1=0（配方法） 移項得，x2﹣2x=﹣， 配方得，x2﹣2x+1=﹣+1， （x﹣1）2=， ∴x﹣1=± ∴x1=1+，x2=1﹣． （2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法） 7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0， （5x+2）（7x﹣6）=0， ∴5x+2=0，7x﹣6=0， ∴x1=﹣，x2=； （3）3x2+5（2x+1）=0（公式法） 整理得，3x2+10x+5=0 ∵a=3，b=10，c=5，b2﹣4ac=100﹣60=40， ∴x===， ∴x1=，x2=； （4）x2﹣2x﹣8=0． （x+4）（x﹣2）=0， ∴x+4=0，x﹣2=0， ∴x1=﹣4，x2=2． 【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是能把一元二次方程轉化成一元一次方程． 　 四、細心做一做： 17．（6分）有一面積為150m2的長方形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18 m），另三邊用竹籬笆圍成，如果竹籬笆的總長為35 m，求雞場的長與寬各為多少？ 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】設養(yǎng)雞場的寬為xm，則長為（35﹣2x），根據(jù)矩形的面積公式即可列方程，列方程求解． 【解答】解：設養(yǎng)雞場的寬為xm，則長為（35﹣2x），由題意得x（35﹣2x）=150 解這個方程；x2=10 當養(yǎng)雞場的寬為時，養(yǎng)雞場的長為20m不符合題意，應舍去， 當養(yǎng)雞場的寬為x1=10m時，養(yǎng)雞場的長為15m． 答：雞場的長與寬各為15m，10m． 【點評】本題考查的是一元二次方程的應用，難度一般． 　 18．（6分）如圖所示，在一塊長為32米，寬為15米的矩形草地上，在中間要設計一橫二豎的等寬的、供居民散步的小路，要使小路的面積是草地總面積的八分之一，請問小路的寬應是多少米？ 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】本題可根據(jù)關鍵語“小路的面積是草地總面積的八分之一”，把小路移到一起正好構成一個矩形，矩形的長和寬分別是（32﹣2x）和（15﹣x），列方程即可求解． 【解答】解：設小路的寬應是x米，則剩下草總長為（32﹣2x）米，總寬為（15﹣x）米， 由題意得（32﹣2x）（15﹣x）=32×15×（1﹣） 即x2﹣31x+30=0 解得x1=30 x2=1 ∵路寬不超過15米 ∴x=30不合題意舍去 答：小路的寬應是1米． 【點評】找到關鍵描述語，找到等量關系準確的列出方程是解決問題的關鍵． 　 19．（7分）某企業(yè)2006年盈利1500萬元，2008年克服全球金融危機的不利影響，仍實現(xiàn)盈利2160萬元．從2006年到2008年，如果該企業(yè)每年盈利的年增長率相同，求： （1）該企業(yè)2007年盈利多少萬元？ （2）若該企業(yè)盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預計2009年盈利多少萬元？ 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】增長率問題． 【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率）． （1）可先求出增長率，然后再求2007年的盈利情況． （2）有了2008年的盈利和增長率，求出2009年的就容易了． 【解答】解：（1）設每年盈利的年增長率為x， 根據(jù)題意，得1500（1+x）2=2160． 解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合題意，舍去）． ∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800． 答：2007年該企業(yè)盈利1800萬元． （2）2160（1+0.2）=2592． 答：預計2009年該企業(yè)盈利2592萬元． 【點評】本題考查的是增長率的問題．增長率問題，一般形式為a（1+x）2=b，a為起始時間的有關數(shù)量，b為終止時間的有關數(shù)量． 　 20．（7分）中華商場將進價為40元的襯衫按50元售出時，每月能賣出500件，經市場調查，這種襯衫每件漲價4元，其銷售量就減少40件．如果商場計劃每月賺得8000元利潤，那么售價應定為多少？這時每月應進多少件襯衫？ 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】銷售問題． 【分析】設漲價4x元，則銷量為（500﹣40x），利潤為（10+4x），再由每月賺8000元，可得方程，解方程即可． 【解答】解：設漲價4x元，則銷量為（500﹣40x），利潤為（10+4x）， 由題意得，（500﹣40x）×（10+4x）=8000， 整理得，5000+2000x﹣400x﹣160x2=8000， 解得：x1=，x2=， 當x1=時，則漲價10元，銷量為：400件； 當x2=時，則漲價30元，銷量為：200件． 答：當售價定為60元時，每月應進400件襯衫；售價定為80元時，每月應進200件襯衫． 【點評】本題考查的是一元二次方程的應用，根據(jù)題意正確找出等量關系、列出方程是解題的關鍵，注意分情況討論思想的應用． 　 21．（9分）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，點P由C點出發(fā)以2m/s的速度向終點A勻速移動，同時點Q由點B出發(fā)以1m/s的速度向終點C勻速移動，當一個點到達終點時另一個點也隨之停止移動． （1）經過幾秒△PCQ的面積為△ACB的面積的？ （2）經過幾秒，△PCQ與△ACB相似？ （3）如圖2，設CD為△ACB的中線，那么在運動的過程中，PQ與CD有可能互相垂直嗎？若有可能，求出運動的時間；若沒有可能，請說明理由． 【考點】一元二次方程的應用；相似三角形的判定． 【專題】幾何動點問題． 【分析】（1）分別表示出線段PC和線段CQ的長后利用S△PCQ=S△ABC列出方程求解； （2）設運動時間為ts，△PCQ與△ACB相似，當△PCQ與△ACB相似時，可知∠CPQ=∠A或∠CPQ=∠B，則有=或=，分別代入可得到關于t的方程，可求得t的值； （3）設運動時間為ys，PQ與CD互相垂直，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質以及等腰三角形的性質得出∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，再證明△PCQ∽△BCA，那么=，依此列出比例式=，解方程即可． 【解答】解：（1）設經過x秒△PCQ的面積為△ACB的面積的， 由題意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m， 則×2x（6﹣x）=××8×6， 解得：x=2或x=4． 故經過2秒或4秒，△PCQ的面積為△ACB的面積的； （2）設運動時間為ts，△PCQ與△ACB相似． 當△PCQ與△ACB相似時，則有=或=， 所以=，或=， 解得t=，或t=． 因此，經過秒或秒，△OCQ與△ACB相似； （ 3）有可能． 由勾股定理得AB=10． ∵CD為△ACB的中線， ∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B， 又PQ⊥CD， ∴∠CPQ=∠B， ∴△PCQ∽△BCA， ∴=，=， 解得y=． 因此，經過秒，PQ⊥CD． 【點評】本題考查了一元二次方程的應用，相似三角形的判定與性質，三角形的面積，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性質，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．