線性規(guī)劃常見題型大全.doc

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…………○…………內…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○………… 學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________ …………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○………… 絕密★啟用前 2014-2015學年度???學校8月月考卷 試卷副標題 考試范圍：xxx；考試時間：100分鐘；命題人：xxx 題號 一 二 三 總分 得分 注意事項： 1．答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息 2．請將答案正確填寫在答題卡上 第I卷（選擇題） 請點擊修改第I卷的文字說明 評卷人 得分 一、選擇題（題型注釋） 1．已知實數x，y滿足，則z＝4x＋y的最大值為( ) A、10 B、8 C、2 D、0 【答案】B 【解析】 試題分析：畫出可行域，根據圖形可知，當目標函數經過A(2，0)點時，z＝4x＋y取得最大值為8 x A y 2 2 0 考點：線性規(guī)劃. 2．若不等式組，表示的平面區(qū)域是一個三角形區(qū)域，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D.或 【答案】D 【解析】根據畫出平面區(qū)域（如圖1所示），由于直線斜率為，縱截距為， 自直線經過原點起，向上平移，當時，表示的平面區(qū)域是一個三角形區(qū)域（如圖2所示）；當時，表示的平面區(qū)域是一個四邊形區(qū)域（如圖3所示），當時，表示的平面區(qū)域是一個三角形區(qū)域（如圖1所示），故選D. 圖1 圖2 圖3 考點：平面區(qū)域與簡單線性規(guī)劃. 3．已知變量x,y滿足約束條件 則的取值范圍是( ) A． B． C． D．(3,6] 【答案】A 【解析】 試題分析：畫出可行域，可理解為可行域中一點到原點的直線的斜率,可知可行域的邊界交點為臨界點（），（）則可知k＝的范圍是. 考點：線性規(guī)劃，斜率. 4．（5分）（2011?廣東）已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標為，則z=?的最大值為（ ） A.3 B.4 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 試題分析：首先做出可行域，將z=?的坐標代入變?yōu)閦=，即y=﹣x+z，此方程表示斜率是﹣的直線，當直線與可行域有公共點且在y軸上截距最大時，z有最大值． 解：首先做出可行域，如圖所示： z=?=，即y=﹣x+z 做出l0：y=﹣x，將此直線平行移動，當直線y=﹣x+z經過點B時，直線在y軸上截距最大時，z有最大值． 因為B（，2），所以z的最大值為4 故選B 點評：本題考查線性規(guī)劃、向量的坐標表示，考查數形結合思想解題． 5．已知不等式組 表示的平面區(qū)域的面積等于，則的值為（ ） ﹙A﹚ （B） ﹙C﹚ （D） 【答案】D 【解析】 試題分析：由題意，要使不等式組表示平面區(qū)域存在，需要，不等式組表示的區(qū)域如下圖中的陰影部分，面積，解得，故選D. 考點：1.線性規(guī)劃求參數的取值. 6．設x，y滿足約束條件，若z=的最小值為，則a的值為（??? ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】 ∵=1+ 而表示點(x，y)與點(－1，－1)連線的斜率． 由圖知a>0，否則無可行域，且點(－1，－1)與點(3a，0)的連線斜率最小， 即==a=1 7．已知實數，滿足條件，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 試題分析：如下圖 可行區(qū)域為上圖中的靠近x軸一側的半圓，目標函數，所表示在可行區(qū)域取一點到點（2,0）連線的斜率的最小值，可知過點（2,0）作半圓的切線，切線的斜率的最小值，設切線方程為y=k（x-2），則A到切線的距離為1，故. 考點：1.線性規(guī)劃；2.直線與圓的位置關系. 8．若在區(qū)間[0，2]中隨機地取兩個數，則這兩個數中較大的數大于的概率是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】 試題分析：設這兩個數為：，則.若兩數中較大的數大于，則還應滿足：或（只需排除），作出以上不等式組表示的區(qū)域，由幾何概型的概率公式得.選C. 考點：1、幾何概型；2、不等式組表示的區(qū)域.  第II卷（非選擇題） 請點擊修改第II卷的文字說明 評卷人 得分 二、填空題（題型注釋） 9．若實數，滿足線性約束條件，則的最大值為________． 【答案】. 【解析】 試題分析：作出不等式組表示的平面區(qū)域，即可行域，則可知直線與直線的交點，作直線：，平移直線，可知當，時，. 考點：線性規(guī)劃. 10．已知變量滿足約束條件 若目標函數的最大值 為1，則 . 【答案】3 【解析】 試題分析：約束條件所滿足的區(qū)域如圖所示，目標函數過B（4,1）點是取得最大值，所以，所以. 考點：線性規(guī)劃. 11．設z=kx+y，其中實數x，y滿足若z的最大值為12，則實數k=　　　?。? 【答案】2 【解析】 作出可行域(如圖)，其中A(4，4)，B(0，2)，C(2，0) 過原點作出直線kx+y=0 k=0時，y=0，目標函數z=y在點A處取得最大值4，與題意不符 ②即時，直線kx+y=0即y=－kx經過一、三象限，平移直線y=－kx可知，目標函數z=kx+y在點A處取得最大值，即，此時k=2與不符; ③－k>即k<－時，直線kx+y=0即y=－kx經過一、三象限，平移直線y=－kx可知，目標函數z=kx+y在點B處取得最大值，即，此式不成立 ④－k<0即k>0時，直線kx+y=0即y=－kx經過二、四象限，平移直線y=－kx可知，目標函數z=kx+y在點A處取得最大值，即，此時k=2與k>0相符，所以k=2 12．點是不等式組表示的平面區(qū)域內的一動點，且不等式總成立，則的取值范圍是________________. 【答案】 【解析】 試題分析：將不等式化為，只需求出的最大值即可，令，就是滿足不等式的最大值，由簡單的線性規(guī)劃問題解法，可知在處取最大值3，則m取值范圍是. 考點：簡單的線性規(guī)劃和轉化思想. 13．設變量x，y滿足的最大值為. 【答案】8 【解析】 試題分析： 這是如圖可行域， 目標函數,表示可行域內的點到直線的距離的2倍，很顯然點A到直線的距離最大，點,將其代入點到直線的距離公式得到 考點：1.線性規(guī)劃；2.點到直線的距離公式. 14．已知實數x，y滿足若z＝ax＋y的最大值為3a＋9，最小值為3a－3，則實數a的取值范圍為__________． 【答案】[－1，1] 【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示， 則z在點A處取得最大值，在點C處取得最小值．又kBC＝－1，kAB＝1，∴－1≤－a≤1，即－1≤a≤1. 15．設實數滿足 向量，．若，則實數的最大值為 ． 【答案】； 【解析】 試題分析：因為，所以,故根據線性規(guī)劃的知識畫出可行域如圖,則目標函數在點（1，8）處取得最大值6. 考點：向量平行 線性規(guī)劃 16．已知點，為坐標原點，點滿足,則的最大值是 【答案】 【解析】 試題分析：作出可行域如圖，則, 又是的夾角, ∴目標函數表示在上的投影， 過作的垂線，垂足為， 當在可行域內移動到直線和直線的交點時， 在上的投影最大，此時， ∴的最大值為,故答案為． 考點：簡單線性規(guī)劃的應用，平面向量的數量積，平面向量的投影. 17．若實數、滿足,則的最大值是_________. 【答案】4 【解析】 試題分析：將變形為，表示圓心為，半徑為的圓。令，即。由圖像分析可知圓心到直線距離，解得，所以的最大值是4。 考點：1線性規(guī)劃、數形結合思想；2點到線的距離； 18．已知為坐標原點，，，，滿足，則的最大值等于 . 【答案】 【解析】 試題分析：，設,如圖：做出可行域 當目標函數平移到C點取得最大值，解得,,代入目標函數，的最大值為. 考點：1.向量的數量積的坐標表示；2.線性規(guī)劃. 19．已知實數x，y滿足 則r的最小值為________． 【答案】 【解析】作出約束條件表示的可行域，如圖中的三角形， 三角形內(包括邊)到圓心的最短距離即為r的值，所以r的最小值為圓心到直線y＝x的距離，所以r的最小值為. 20．已知P(x，y)滿足則點Q(x＋y，y)構成的圖形的面積為_____． 【答案】2 【解析】令x＋y＝u，y＝v，則點Q(u，v)滿足，在uOv平面內畫出點Q(u，v)所構成的平面區(qū)域如圖，易得其面積為2. 21．已知實數，滿足約束條件則的最大值為 ． 【答案】 【解析】 試題分析：解線性規(guī)劃問題，不僅要正確確定可行域，本題是直角三角形及其內部,而且要挖出目標函數的幾何意義，本題中可理解為坐標原點到可行域中點的距離的平方.要求目標函數最大值，就是求的最小值，即坐標原點到直線的距離的平方，為. 考點：線性規(guī)劃求最值 22．曲線y＝在點M(π，0)處的切線與兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域為D（包含三角形內部與邊界）．若點P(x，y)是區(qū)域D內的任意一點，則x＋4y的最大值為 ． 【答案】4 【解析】 試題分析：， ， ， 所以曲線在點處的切線方程為：，即： ，它與兩坐標軸所圍成的三角形區(qū)域如下圖所示： 令，將其變形為 ，當變化時，它表示一組斜率為，在軸上的截距為的平行直線，并且該截距越在，就越大，由圖可知，當直線經過時，截距最大， 所以＝，故答案為：4. 考點：1、導數的幾何意義；2、求導公式；3、線必規(guī)劃. 23．已知實數x，y滿足，則的最小值是 . 【答案】2 【解析】 試題分析：線性不等式組表示的可行域如圖： ，，。 表示點與可行域內的點間的距離的平方。，點到直線的距離為，因為，所以。 考點：線性規(guī)劃。 24．已知實數，滿足約束條件則的最大值為 ． 【答案】 【解析】 試題分析：解線性規(guī)劃問題，不僅要正確確定可行域，本題是直角三角形及其內部,而且要挖出目標函數的幾何意義，本題中可理解為坐標原點到可行域中點的距離的平方.要求目標函數最大值，就是求的最小值，即坐標原點到直線的距離的平方，為. 考點：線性規(guī)劃求最值 25．在平面直角坐標系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為，則實數的值是 . 【答案】2 【解析】 試題分析：等價于，即直線的下方和直線的上方，而與直線圍成三角形區(qū)域，當時，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為. 考點：不等式中的線性規(guī)劃問題. 26．已知實數滿足則的最大值為_________. 【答案】16 【解析】 試題分析：如圖實數滿足滿足的可行域是三角形OAB的陰影部分. 由可化為.所以求z的最大值即求出的最小值.目標函數，如圖所示.過點B即為m所求的最小值.因為B（-2,0）所以m=-4.所以.故填16. 考點：1.線性規(guī)劃問題.2.指數函數的運算. 評卷人 得分 三、解答題（題型注釋） 27．已知x，y滿足約束條件，試求解下列問題． (1)z＝的最大值和最小值； (2)z＝的最大值和最小值； (3)z＝|3x＋4y＋3|的最大值和最小值． 【答案】（1）zmax＝，zmin＝.（2）zmax＝1，zmin＝（3）zmax＝14，zmin＝5. 【解析】(1)z＝表示的幾何意義是區(qū)域中的點(x，y)到原點(0，0)的距離，則zmax＝，zmin＝. (2)z＝表示區(qū)域中的點(x，y)與點(－2，0)連線的斜率，則zmax＝1，zmin＝. (3)z＝|3x＋4y＋3|＝5·，而表示區(qū)域中的點(x，y)到直線3x＋4y＋3＝0的距離，則zmax＝14，zmin＝5 28．設x,y滿足約束條件, （1）畫出不等式表示的平面區(qū)域，并求該平面區(qū)域的面積； （2）若目標函數z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為4,求的最小值. 【答案】（1）10；（2）4 【解析】 試題分析：（1）如圖 先在直角坐標系中畫出各直線方程，再用特殊點代入法判斷各不等式表示的平面區(qū)域，其公共部分即為不等式組表示的平面區(qū)域，用分割法即可求出其面積。（2）畫出目標函數線，平移使其經過可行域當目標函數線的縱截距最大時，取得最大值，求出滿足條件的此點坐標代入目標函數。用基本不等式求的最小值。 試題解析：解：（1）不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分. 3分 聯(lián)立得點C坐標為(4,6) 平面區(qū)域的面積. 6分 （2）當直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點C(4,6)時, 目標函數z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值4,即4a+6b=4, 即. 9分 所以 等號成立當且僅當時取到. 故的最小值為4. 12分 考點：1線性規(guī)劃；2基本不等式。 試卷第17頁，總17頁