高中數(shù)學解析幾何專題(精編版).doc

《高中數(shù)學解析幾何專題(精編版).doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學解析幾何專題(精編版).doc（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

高中解析幾何專題（精編版） 1. （天津文）設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2。點滿足 （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設(shè)直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，若直線PF2與圓相交于M，N兩點，且，求橢圓的方程。 【解析】本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點間的距離公式、點到直線的距離公式、直線與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，考查解決問題能力與運算能力，滿分13分。 （Ⅰ）解：設(shè)，因為， 所以，整理得（舍） 或 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，可得橢圓方程為，直線FF2的方程為 A，B兩點的坐標滿足方程組消去并整理，得。解得，得方程組的解 不妨設(shè)，， 所以 于是 圓心到直線PF2的距離 因為，所以 整理得，得（舍），或 所以橢圓方程為 2. 已知橢圓的離心率為，右焦點為（,0），斜率為I的直線與橢圓G交與A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3,2）. （I）求橢圓G的方程； （II）求的面積. 【解析】 解：（Ⅰ）由已知得 解得 又 所以橢圓G的方程為 （Ⅱ）設(shè)直線l的方程為 由得 設(shè)A、B的坐標分別為AB中點為E， 則 因為AB是等腰△PAB的底邊， 所以PE⊥AB. 所以PE的斜率 解得m=2。 此時方程①為 解得 所以 所以|AB|=. 此時，點P（—3，2）到直線AB：的距離 所以△PAB的面積S= 3. (全國大綱文)已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線與C交與A、B兩點，點P滿足 （Ⅰ）證明：點P在C上； （II）設(shè)點P關(guān)于O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上。 【解析】22．解：（I）F（0，1），的方程為， 代入并化簡得 …………2分 設(shè) 則 由題意得 所以點P的坐標為 經(jīng)驗證，點P的坐標為滿足方程 故點P在橢圓C上。 （II）由和題設(shè)知， PQ的垂直一部分線的方程為 ① 設(shè)AB的中點為M，則，AB的垂直平分線為的方程為 ② 由①、②得的交點為 故|NP|=|NA|。 又|NP|=|NQ|，|NA|=|NB|， 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|， 由此知A、P、B、Q四點在以N為圓心，NA為半徑的圓上。 4. （全國新文）在平面直角坐標系xOy中，曲線與坐標軸的交點都在圓C上． （I）求圓C的方程； （II）若圓C與直線交于A，B兩點，且求a的值． 【解析】解：（Ⅰ）曲線與y軸的交點為（0，1），與x軸的交點為（ 故可設(shè)C的圓心為（3，t），則有解得t=1. 則圓C的半徑為 所以圓C的方程為 （Ⅱ）設(shè)A（），B（），其坐標滿足方程組： 消去y，得到方程 由已知可得，判別式 因此，從而 ① 由于OA⊥OB，可得 又所以 ② 由①，②得，滿足故 5. （遼寧文）如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D． （I）設(shè)，求與的比值； （II）當e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由． 【解析】解：（I）因為C1，C2的離心率相同，故依題意可設(shè) 設(shè)直線，分別與C1，C2的方程聯(lián)立，求得 ………………4分 當表示A，B的縱坐標，可知 ………………6分 （II）t=0時的l不符合題意.時，BO//AN當且僅當BO的斜率kBO與AN的斜率kAN相等，即 解得 因為 所以當時，不存在直線l，使得BO//AN； 當時，存在直線l使得BO//AN. ………………12分 6. （江西文）已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于和兩點，且, （1）求該拋物線的方程； （2）為坐標原點，為拋物線上一點，若，求的值． 【解析】19．（本小題滿分12分） （1）直線AB的方程是， 與聯(lián)立，從而有 所以： 由拋物線定義得： 所以p=4，從而拋物線方程是 （2）由可簡化為 從而 設(shè) 又 即 解得 7. （山東文）22．（本小題滿分14分） 在平面直角坐標系中，已知橢圓．如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點． （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?， （i）求證：直線過定點； （ii）試問點，能否關(guān)于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由． 【解析】22．（I）解：設(shè)直線， 由題意， 由方程組得 ， 由題意， 所以 設(shè)， 由韋達定理得所以 由于E為線段AB的中點，因此 此時所以O(shè)E所在直線方程為 又由題設(shè)知D（-3，m），令x=-3，得，即mk=1， 所以當且僅當m=k=1時上式等號成立， 此時 由得因此 當時， 取最小值2。 （II）（i）由（I）知OD所在直線的方程為 將其代入橢圓C的方程，并由 解得，又， 由距離公式及得 由 因此，直線的方程為 所以，直線 （ii）由（i）得 若B，G關(guān)于x軸對稱， 則 代入 即， 解得（舍去）或 所以k=1， 此時關(guān)于x軸對稱。 又由（I）得所以A（0，1）。 由于的外接圓的圓心在x軸上，可設(shè)的外接圓的圓心為（d，0）， 因此 故的外接圓的半徑為， 所以的外接圓方程為 8. （陜西文）17．（本小題滿分12分） 設(shè)橢圓C: 過點（0，4），離心率為 （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標。 【解析】17．解（Ⅰ）將（0，4）代入C的方程得 ?∴b=4 又 得 即， ?∴a=5 ?∴C的方程為 （?Ⅱ）過點且斜率為的直線方程為， 設(shè)直線與Ｃ的交點為Ａ，Ｂ， 將直線方程代入Ｃ的方程，得 ， 即，解得 ，， AB的中點坐標， ， 即中點為。 注：用韋達定理正確求得結(jié)果，同樣給分。 9. （上海文）22．（16分）已知橢圓（常數(shù)），點是上的動點，是右頂點，定點的坐標為。 （1）若與重合，求的焦點坐標； （2）若，求的最大值與最小值； （3）若的最小值為，求的取值范圍。 【解析】22．解：⑴ ，橢圓方程為， ∴ 左．右焦點坐標為。 ⑵ ，橢圓方程為，設(shè)，則 ∴ 時； 時。 ⑶ 設(shè)動點，則 ∵ 當時，取最小值，且，∴ 且 解得。 10. （四川文）21．（本小題共l2分） 過點C(0，1)的橢圓的離心率為，橢圓與x軸交于兩點、，過點C的直線l與橢圓交于另一點D，并與x軸交于點P，直線AC與直線BD交于點Q． （I）當直線l過橢圓右焦點時，求線段CD的長； （Ⅱ）當點P異于點B時，求證：為定值． 本小題主要考查直線、橢圓的標準方程及基本性質(zhì)等基本知識，考查平面解析幾何的思想方法及推理運算能力． 解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以橢圓方程為． 橢圓的右焦點為，此時直線的方程為 ，代入橢圓方程得 ，解得，代入直線的方程得 ，所以， 故． （Ⅱ）當直線與軸垂直時與題意不符． 設(shè)直線的方程為．代入橢圓方程得． 解得，代入直線的方程得， 所以D點的坐標為． 又直線AC的方程為，又直線BD的方程為，聯(lián)立得 因此，又． 所以． 故為定值． 11. （浙江文）（22）（本小題滿分15分）如圖，設(shè)P是拋物線：上的動點。過點做圓的兩條切線，交直線：于兩點。 （Ⅰ）求的圓心到拋物線 準線的距離。 （Ⅱ）是否存在點，使線段被拋物線在點處得切線平分，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。 【解析】（22）本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、直線與圓的位置關(guān)系，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力。滿分15分。 （Ⅰ）解：因為拋物線C1的準線方程為： 所以圓心M到拋物線C1準線的距離為： （Ⅱ）解：設(shè)點P的坐標為，拋物線C1在點P處的切線交直線于點D。 再設(shè)A，B，D的橫坐標分別為 過點的拋物線C1的切線方程為： （1） 當時，過點P（1，1）與圓C2的切線PA為： 可得 當時，過點P（—1，1）與圓C2的切線PA為： 可得 所以 設(shè)切線PA，PB的斜率為，則 （2） （3） 將分別代入（1），（2），（3）得 從而 又 即 同理， 所以是方程的兩個不相等的根，從而 因為 所以 從而 進而得 綜上所述，存在點P滿足題意，點P的坐標為 12. （重慶文）21．（本小題滿分12分。（Ⅰ）小問4分，（Ⅱ）小問8分） 如題（21）圖，橢圓的中心為原點0，離心率e=，一條準線的方程是 （Ⅰ）求該橢圓的標準方程； （Ⅱ）設(shè)動點P滿足：，其中M、N是橢圓上的點，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點F，使得與點P到直線l：的距離之比為定值；若存在，求F的坐標，若不存在，說明理由。 【解析】21．（本題12分） 解：（I）由 解得，故橢圓的標準方程為 （II）設(shè)，則由 得 因為點M，N在橢圓上，所以 ， 故 設(shè)分別為直線OM，ON的斜率，由題設(shè)條件知 因此 所以 所以P點是橢圓上的點，該橢圓的右焦點為，離心率是該橢圓的右準線，故根據(jù)橢圓的第二定義，存在定點，使得|PF|與P點到直線l的距離之比為定值。 13. （安徽文）（17）（本小題滿分13分） 設(shè)直線 （I）證明與相交； （II）證明與的交點在橢圓 【解析】（17）（本小題滿分13分）本題考查直線與直線的位置關(guān)系，線線相交的判斷與證明，點在曲線上的判斷與證明，橢圓方程等基本知識，考查推理論證能力和運算求解能力. 證明：（I）反證法，假設(shè)是l1與l2不相交，則l1與l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得 此與k1為實數(shù)的事實相矛盾. 從而相交. （II）（方法一）由方程組 解得交點P的坐標為 而 此即表明交點 （方法二）交點P的坐標滿足 整理后，得 所以交點P在橢圓 14. （福建文）18．（本小題滿分12分） 如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A。 （I）求實數(shù)b的值； （11）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程． 。【解析】18．本小題主要考查直線、圓、拋物線等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，滿分12分。 解：（I）由，（*） 因為直線與拋物線C相切，所以 解得b=-1。 （II）由（I）可知， 解得x=2，代入 故點A（2，1）， 因為圓A與拋物線C的準線相切， 所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準線y=-1的距離， 即 所以圓A的方程為 15. （湖北文）21．（本小題滿分14分）平面內(nèi)與兩定點、（）連線的斜率之積等于非零常數(shù)m的點的軌跡，加上、A2兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線。 （Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀與m值的關(guān)系； （Ⅱ）當時，對應(yīng)的曲線為；對給定的，對應(yīng)的曲線為，設(shè)、是的兩個焦點。試問：在上，是否存在點，使得△的面積。若存在，求的值；若不存在，請說明理由。 【解析】21．本小題主要考查曲線與方程、圓錐曲線等基礎(chǔ)知識，同時考查推理運算的能力，以及分類與整合和數(shù)形結(jié)合的思想。（滿分14分） 解：（I）設(shè)動點為M，其坐標為， 當時，由條件可得 即， 又的坐標滿足 故依題意，曲線C的方程為 當曲線C的方程為是焦點在y軸上的橢圓； 當時，曲線C的方程為，C是圓心在原點的圓； 當時，曲線C的方程為，C是焦點在x軸上的橢圓； 當時，曲線C的方程為C是焦點在x軸上的雙曲線。 （II）由（I）知，當m=-1時，C1的方程為 當時， C2的兩個焦點分別為 對于給定的， C1上存在點使得的充要條件是 ② ① 由①得由②得 當 或時， 存在點N，使S=|m|a2； 當 或時， 不存在滿足條件的點N， 當時， 由， 可得 令， 則由， 從而， 于是由， 可得 綜上可得： 當時，在C1上，存在點N，使得 當時，在C1上，存在點N，使得 當時，在C1上，不存在滿足條件的點N。 16. （湖南文）21．（本小題滿分13分） 已知平面內(nèi)一動點到點的距離與點到軸的距離的差等于1． （Ⅰ）求動點的軌跡的方程； （Ⅱ）過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設(shè)與軌跡相交于點，與軌跡相交于點，求的最小值. 【解析】21．解析：（I）設(shè)動點的坐標為， 由題意為 化簡得 當、 所以動點P的軌跡C的方程為 （II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的方程為． 由，得 設(shè)則是上述方程的兩個實根，于是 ． 因為，所以的斜率為． 設(shè)則同理可得 故 當且僅當即時，取最小值16． 17. （廣東文）21．（本小題滿分14分） 在平面直角坐標系中，直線交軸于點A，設(shè)是上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足∠MPO=∠AOP （1）當點P在上運動時，求點M的軌跡E的方程； （2）已知T（1，-1），設(shè)H是E 上動點,求+的最小值，并給出此時點H的坐標； （3）過點T（1，-1）且不平行與y軸的直線l1與軌跡E有且只有兩個不同的交點，求直線的斜率k的取值范圍。 【解析】21．（本小題滿分14分） 解：（1）如圖1，設(shè)MQ為線段OP的垂直平分線，交OP于點Q， 因此即 ① 另一種情況，見圖2（即點M和A位于直線OP的同側(cè)）。 MQ為線段OP的垂直平分線， 又 因此M在軸上，此時，記M的坐標為 為分析的變化范圍，設(shè)為上任意點 由 （即）得， 故的軌跡方程為 ② 綜合①和②得，點M軌跡E的方程為 18. （江蘇）18．如圖，在平面直角坐標系中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設(shè)直線PA的斜率為k （1）當直線PA平分線段MN，求k的值； （2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d； （3）對任意k>0，求證：PA⊥PB 【解析】18．本小題主要考查橢圓的標準方程及幾何性質(zhì)、直線方程、直線的垂直關(guān)系、點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和推理論證能力，滿分16分. 解：（1）由題設(shè)知，所以線段MN中點的坐標為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過坐標原點，所以 （2）直線PA的方程 解得 于是直線AC的斜率為 （3）解法一： 將直線PA的方程代入 則 故直線AB的斜率為 其方程為 解得. 于是直線PB的斜率 因此 解法二： 設(shè). 設(shè)直線PB，AB的斜率分別為因為C在直線AB上，所以 從而 因此 www.zxsx.com 18