石家莊市藁城區(qū)2015-2016年八年級上期末數(shù)學試卷含答案解析.doc

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2015-2016學年河北省石家莊市藁城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．下列圖形中不是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 　 2．下列運算正確的是（　?。? A．3=6a3b3 D．﹣a5a5=﹣a10 　 3．如圖，在△ABC中，D是BC延長線上一點，∠B=40°，∠ACD=120°，則∠A等于（　?。? A．60° B．70° C．80° D．90° 　 4．使分式有意義，x的取值范圍是（　?。? A．x＞﹣2 B．x≠﹣2 C．x≠0 D．x≠2 　 5．在平面直角坐標系xOy中，點P（﹣3，5）關(guān)于x軸的對稱點的坐標是（　?。? A． C． 　 6．已知三角形兩邊長分別為3和8，則該三角形第三邊的長可能是（　?。? A．5 B．10 C．11 D．12 　 7．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（　　） A．a(chǎn)（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．=x2+4x+3 D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1） 　 8．如圖，在CD上求一點P，使它到OA，OB的距離相等，則P點是（　?。? A．線段CD的中點 B．OA與OB的中垂線的交點 C．OA與CD的中垂線的交點 D．CD與∠AOB的平分線的交點 　 9．如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，垂足為D．若ED=5，則CE的長為（　?。? A．7 B．8 C．10 D．12 　 10．已知關(guān)于x的方程的解大于0，則a的取值范圍是（　?。? A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＜0 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)＜2且a≠﹣2 　 　 二、填空題（每小題3分，共30分） 11．若實數(shù)x、y滿足，x2﹣2x+1+|y+2|=0，則x+y的值為　　　　　　． 　 12．計算：（﹣）2=　　　　　?。? 　 13．分解因式：4xy2﹣4xy+x=　　　　　?。? 　 14．已知xm=6，xn=3，則xm﹣n的值為　　　　　?。? 　 15．如圖所示，已知點A、D、B、F在一條直線上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個條件，這個條件可以是　　　　　　．（只需填一個即可） 　 16．從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個邊長為b的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的梯形（如圖甲），然后拼成一個平行四邊形（如圖乙）．那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的公式為　　　　　?。? 　 17．如圖，正方形ABCD中，截去∠A，∠C后，∠1，∠2，∠3，∠4的和為　　　　　?。? 　 18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，點E、F分別在AB、BC上，沿EF將△EBF翻折，使頂點B的對應點B1落在AC上，若EB1⊥AC，則EF等于　　　　　?。? 　 19．如圖，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，則EF=　　　　　　． 　 20．如圖，已知：∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1=1，則△A7B7A8的邊長為　　　　　?。? 　 　 三、解答題（本題共7個小題，共60分） 21．計算： （1）x（4x+3y）﹣（2x+y）（2x﹣y） （2）÷（1+） 　 22．分解因式： （1）mn2﹣6mn+9m （2）﹣x4+16． 　 23．解方程：﹣1=． 　 24．先化簡，再求值： +1，在0，2，3三個數(shù)中選一個使原式子有意義的數(shù)代入求值． 　 25．如圖，在△ABC的外部作等腰三角形ACE和等腰三角形ABD，使AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=45°，連接BE，CD． （1）求證：BE=CD； （2）求∠BFD的度數(shù)． 　 26．某校為了豐富學生的校園生活，準備購進一批籃球和足球．其中籃球的單價比足球的單價多40元，用1500元購進的籃球個數(shù)與900元購進的足球個數(shù)相等． （1）籃球和足球的單價各是多少元？ （2）該校打算用1000元購買籃球和足球，問恰好用完1000元，并且籃球、足球都買有的購買方案有哪幾種？ 　 27．在解決線段數(shù)量關(guān)系問題中，如果條件中有角平分線，經(jīng)常采用下面構(gòu)造全等三角形的解決思路，如：在圖1中，若C是∠MON的平分線OP上一點，點A在OM上，此時，在ON上截取OB=OA，連接BC，根據(jù)三角形全等判定（SAS），容易構(gòu)造出全等三角形△OBC和△OAC，參考上面的方法，解答下列問題： 如圖2，在非等邊△ABC中，∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，且AD，CE交于點F，求證：AC=AE+CD． 　 　 2015-2016學年河北省石家莊市藁城區(qū)八年級（上）期末數(shù)學試卷 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（每小題3分，共30分） 1．下列圖形中不是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項正確； B、是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、是軸對稱圖形，故本選項錯誤． 故選A． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 2．下列運算正確的是（　?。? A．3=6a3b3 D．﹣a5a5=﹣a10 【考點】同底數(shù)冪的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方． 【分析】分別利用同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方法則分別判斷得出即可． 【解答】解：A、（a4）3=a12，故此選項錯誤； B、a6÷a3=a3，故此選項錯誤； C、（2ab）3=8a3b3，故此選項錯誤； D、﹣a5a5=﹣a10，故此選項正確． 故選：D． 【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運算的法則． 　 3．如圖，在△ABC中，D是BC延長線上一點，∠B=40°，∠ACD=120°，則∠A等于（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【考點】三角形的外角性質(zhì)． 【分析】根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，知∠ACD=∠A+∠B，從而求出∠A的度數(shù)． 【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B， ∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣40°=80°． 故選：C． 【點評】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是溝通外角和內(nèi)角的關(guān)系． 　 4．使分式有意義，x的取值范圍是（　?。? A．x＞﹣2 B．x≠﹣2 C．x≠0 D．x≠2 【考點】分式有意義的條件． 【分析】根據(jù)分母不等于0列式計算即可得解． 【解答】解：由題意得，x+2≠0， 解得x≠﹣2． 故選B． 【點評】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念： （1）分式無意義?分母為零； （2）分式有意義?分母不為零； （3）分式值為零?分子為零且分母不為零． 　 5．在平面直角坐標系xOy中，點P（﹣3，5）關(guān)于x軸的對稱點的坐標是（　?。? A． C． 【考點】關(guān)于x軸、y軸對稱的點的坐標． 【分析】關(guān)于x軸對稱的兩點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)． 【解答】解：∵關(guān)于x軸對稱的兩點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù) ∴點P（﹣3，5）關(guān)于x軸的對稱點的坐標是（﹣3，﹣5）． 故選：D． 【點評】本題主要考查的是關(guān)于坐標軸對稱點的坐標特點，明確關(guān)于x軸對稱的兩點的橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)是解題的關(guān)鍵． 　 6．已知三角形兩邊長分別為3和8，則該三角形第三邊的長可能是（　　） A．5 B．10 C．11 D．12 【考點】三角形三邊關(guān)系． 【專題】常規(guī)題型． 【分析】根據(jù)三角形的第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和求得第三邊的取值范圍，再進一步選擇． 【解答】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得 第三邊大于：8﹣3=5，而小于：3+8=11． 則此三角形的第三邊可能是：10． 故選：B． 【點評】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，即三角形的第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和，此題基礎(chǔ)題，比較簡單． 　 7．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（　　） A．a(chǎn)（x﹣y）=ax﹣ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．=x2+4x+3 D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1） 【考點】因式分解的意義． 【分析】把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解，結(jié)合選項進行判斷即可． 【解答】解：A、右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤； B、右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤； C、右邊不是整式積的形式，不是因式分解，故本選項錯誤； D、符合因式分解的定義，故本選項正確； 故選：D． 【點評】本題考查了因式分解的意義，解答本題的關(guān)鍵是掌握因式分解后右邊是整式積的形式． 　 8．如圖，在CD上求一點P，使它到OA，OB的距離相等，則P點是（　　） A．線段CD的中點 B．OA與OB的中垂線的交點 C．OA與CD的中垂線的交點 D．CD與∠AOB的平分線的交點 【考點】角平分線的性質(zhì)． 【分析】利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知CD與∠AOB的平分線的交點． 【解答】解：利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知CD與∠AOB的平分線的交P． 故選D． 【點評】本題主要考查了角平分線上的一點到兩邊的距離相等的性質(zhì)．做題時注意題目要求要滿足兩個條件①到角兩邊距離相等，②點在CD上，要同時滿足． 　 9．如圖，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，垂足為D．若ED=5，則CE的長為（　?。? A．7 B．8 C．10 D．12 【考點】線段垂直平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=CE，故可得出∠B=∠DCE，再由直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分線交AB于E，ED=5， ∴BE=CE， ∴∠B=∠DCE=30°， 在Rt△CDE中， ∵∠DCE=30°，ED=5， ∴CE=2DE=10． 故選C． 【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解答此題的關(guān)鍵． 　 10．已知關(guān)于x的方程的解大于0，則a的取值范圍是（　　） A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＜0 C．a(chǎn)＞2 D．a(chǎn)＜2且a≠﹣2 【考點】分式方程的解． 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，令其解大于0列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范圍． 【解答】解：分式方程去分母得：x+a=﹣x+2， 解得：x=， 根據(jù)題意得：＞0且≠2， 解得：a＜2，且a≠﹣2． 故選：D． 【點評】此題考查了分式方程的解，弄清題意是解本題的關(guān)鍵． 　 二、填空題（每小題3分，共30分） 11．若實數(shù)x、y滿足，x2﹣2x+1+|y+2|=0，則x+y的值為　﹣1?。? 【考點】配方法的應用；非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方． 【分析】首先將原式配方成（x﹣1）2+|y+2|=0，然后利用非負數(shù)的性質(zhì)確定x、y的值，從而確定代數(shù)式的值． 【解答】解：∵x2﹣2x+1+|y+2|=0， ∴（x﹣1）2+|y+2|=0， ∵（x﹣1）2≥0，|y+2|≥0， ∴x﹣1=0，y+2=0， 解得：x=1，y=﹣2， ∴x+y=1﹣2=﹣1， 故答案為：﹣1． 【點評】本題考查了配方法的應用，解題的關(guān)鍵是能夠?qū)⒃脚浞讲⒗梅秦摂?shù)的性質(zhì)確定x、y的值，難度不大． 　 12．計算：（﹣）2=　　． 【考點】分式的乘除法． 【分析】直接利用分式的性質(zhì)結(jié)合積的乘方運算法則求出即可． 【解答】解：（﹣）2=． 故答案為：． 【點評】此題主要考查了分式的乘方運算，正確掌握運算法則是解題關(guān)鍵． 　 13．分解因式：4xy2﹣4xy+x=　x（2y﹣1）2　． 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用． 【分析】首先提取公因式x，再利用完全平方公式進行二次分解即可． 【解答】解：原式=x（4y2﹣4y+1） =x（2y﹣1）2， 故答案為：x（2y﹣1）2． 【點評】本題考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式進行二次分解，注意分解要徹底． 　 14．已知xm=6，xn=3，則xm﹣n的值為　2　． 【考點】同底數(shù)冪的除法． 【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則求解． 【解答】解：∵xm=6，xn=3， ∴xm﹣n=6÷3=2． 故答案為：2． 【點評】本題考查了同底數(shù)冪的除法，解答本題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的除法法則：底數(shù)不變，指數(shù)相減． 　 15．如圖所示，已知點A、D、B、F在一條直線上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，還需添加一個條件，這個條件可以是　∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）?。ㄖ恍杼钜粋€即可） 【考點】全等三角形的判定． 【專題】開放型． 【分析】要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，則AB=CF，具備了兩組邊對應相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可證全等．（也可添加其它條件）． 【解答】解：增加一個條件：∠A=∠F， 顯然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可證三角形全等（答案不唯一）． 故答案為：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）． 【點評】本題考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在選擇時要結(jié)合其它已知在圖形上的位置進行選取． 　 16．從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個邊長為b的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的梯形（如圖甲），然后拼成一個平行四邊形（如圖乙）．那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證的公式為　a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）?。? 【考點】平方差公式的幾何背景． 【分析】分別根據(jù)正方形及平行四邊形的面積公式求得甲、乙中陰影部分的面積，從而得到可以驗證成立的公式． 【解答】解：陰影部分的面積相等，即甲的面積=a2﹣b2，乙的面積=（a+b）（a﹣b）． 即：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 所以驗證成立的公式為：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 故答案為：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）． 【點評】本題主要考查了平方差公式的幾何背景，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，正方形ABCD中，截去∠A，∠C后，∠1，∠2，∠3，∠4的和為　540°?。? 【考點】多邊形內(nèi)角與外角． 【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和為（n﹣2）×180°，再根據(jù)正方形性質(zhì)即可得出答案． 【解答】解：根據(jù)多邊形內(nèi)角和為（n﹣2）×180°， ∴截得的六邊形的和為（6﹣2）×180°=720°， ∵∠B=∠C=90°， ∴∠1，∠2，∠3，∠4的和為720°﹣180°=540°． 故答案為540°． 【點評】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和公式及正方形性質(zhì)，難度適中． 　 18．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6，點E、F分別在AB、BC上，沿EF將△EBF翻折，使頂點B的對應點B1落在AC上，若EB1⊥AC，則EF等于　2?。? 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【分析】如圖，作輔助線；證明四邊形BEB′F為菱形，此為解決該題的關(guān)鍵性結(jié)論；求出BE的長度，即可解決問題． 【解答】解：如圖，連接BB′，交EF與點O； 由題意得：BO=B′O，EF⊥BB′； ∵∠ACB=90°，且EB′⊥AC， ∴EB′∥BC，△EB′O∽△FBO， ∴， ∴EO=FO，而EF⊥BB′，BO=B′O， ∴四邊形BEB′F為菱形， ∴EB=EB′（設(shè)為λ）， 則AE=6﹣λ； ∵∠A=30°，∠AB′E=90°， ∴6﹣λ=2λ， 解得：λ=2． ∵BE=BF，且∠ABC=90°﹣30°=60°， ∴△BEF為等邊三角形， ∴EF=BE=2， 故答案為2． 【點評】該題以直角三角形為載體，以翻折變換為方法，以考查菱形的判定、直角三角形的邊角關(guān)系為核心構(gòu)造而成； 　 19．如圖，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=1，則EF=　2?。? 【考點】角平分線的性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【分析】作EG⊥OA于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG的長度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OEF=∠COE=15°，然后利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求出∠EFG=30°，利用30°角所對的直角邊是斜邊的一半解題． 【解答】解：作EG⊥OA于G， ∵EF∥OB， ∴∠OEF=∠COE=15°， ∵∠AOE=15°， ∴∠EFG=15°+15°=30°， ∵EG=CE=1， ∴EF=2×1=2． 故答案為2． 【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)和含30°角的直角三角形，綜合性較強，是一道好題． 　 20．如圖，已知：∠MON=30°，點A1、A2、A3…在射線ON上，點B1、B2、B3…在射線OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均為等邊三角形，若OA1=1，則△A7B7A8的邊長為　：64?。? 【考點】等邊三角形的性質(zhì)． 【專題】規(guī)律型． 【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2=2B1A2，得出A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2…進而得出答案． 【解答】解：∵△A1B1A2是等邊三角形， ∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°， ∴∠2=120°， ∵∠MON=30°， ∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°， 又∵∠3=60°， ∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°， ∵∠MON=∠1=30°， ∴OA1=A1B1=1， ∴A2B1=1， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等邊三角形， ∴∠11=∠10=60°，∠13=60°， ∵∠4=∠12=60°， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°， ∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3， ∴A3B3=4B1A2=4， A4B4=8B1A2=8， A5B5=16B1A2=16， 以此類推：A7B7=64B1A2=64． 故答案是：64 【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出A3B3=4B1A2，A4B4=8B1A2，A5B5=16B1A2進而發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解題關(guān)鍵． 　 三、解答題（本題共7個小題，共60分） 21．計算： （1）x（4x+3y）﹣（2x+y）（2x﹣y） （2）÷（1+） 【考點】分式的混合運算；整式的混合運算． 【分析】（1）根據(jù)整式的混合計算順序計算即可； （2）根據(jù)分式的混合計算順序計算即可． 【解答】解：（1）原式=4x2+3xy﹣（4x2﹣y2） =4x2+3xy﹣4x2+y2 =3xy+y2； （2）原式= = =． 【點評】此題考查分式的混合計算，關(guān)鍵是根據(jù)分式和整式的混合計算順序解答． 　 22．分解因式： （1）mn2﹣6mn+9m （2）﹣x4+16． 【考點】提公因式法與公式法的綜合運用． 【專題】計算題；因式分解． 【分析】（1）原式提取m，再利用完全平方公式分解即可； （2）原式變形后，利用平方差公式分解即可． 【解答】解：（1）原式=m（n2﹣6n+9）=m（n﹣3）2； （2）原式=﹣（x4﹣16）=﹣（x2+4）（x2﹣4）=﹣（x2+4）（x+2）（x﹣2）． 【點評】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵． 　 23．解方程：﹣1=． 【考點】解分式方程． 【專題】計算題；分式方程及應用． 【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解． 【解答】解：方程兩邊同乘x（x﹣1），得x2﹣x2+x=2x﹣2， 整理，得﹣x=﹣2， 解得，x=2， 檢驗：當x=2時，x（x﹣1）=2≠0， 則x=2是原分式方程的解． 【點評】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根． 　 24．先化簡，再求值： +1，在0，2，3三個數(shù)中選一個使原式子有意義的數(shù)代入求值． 【考點】分式的化簡求值． 【分析】先把各分子分母因式分解和除法運算化為乘法運算，再約分后合并得到原式=x，根據(jù)分式和除式有意義的條件，x只能取3，然后把x=3代入計算即可． 【解答】解：原式=+1 =+1 =x， 當x=3時，原式=． 【點評】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式． 　 25．如圖，在△ABC的外部作等腰三角形ACE和等腰三角形ABD，使AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE=45°，連接BE，CD． （1）求證：BE=CD； （2）求∠BFD的度數(shù)． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）首先證明∠BAE=∠DAC，然后根據(jù)SAS即可證明△BAE≌△DAC，根據(jù)全等三角形的對應邊相等證明BE=CD； （2）根據(jù)△BAE≌△DAC，可以證得∠ABE=∠ADC，然后在△ABD和△BDF中利用三角形的內(nèi)角和定理證得∠BFD=∠BAD，即可求解． 【解答】（1）證明：∵∠DAB=∠CAE=45° ∴∠BAE=∠DAC． ∴在△BAE和△DAC中， ， ∴△BAE≌△DAC， ∴BE=CD； （2）解：∵△BAE≌△DAC， ∴∠ABE=∠ADC． 又∵∠FBD+∠FDB=∠ABE+∠ABD+∠FDB，∠ADB+∠ABD=∠ABD+∠FDB+∠ADC， ∴∠FBD+∠FDB=∠ADB+∠ABD， 又∵∠FBD+∠FDB+∠BFD=∠ADB+∠ABD+∠DAB=180°， ∴∠BFD=∠DAB=45°． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用三角形的內(nèi)角和定理證明∠BFD=∠DAB是關(guān)鍵． 　 26．某校為了豐富學生的校園生活，準備購進一批籃球和足球．其中籃球的單價比足球的單價多40元，用1500元購進的籃球個數(shù)與900元購進的足球個數(shù)相等． （1）籃球和足球的單價各是多少元？ （2）該校打算用1000元購買籃球和足球，問恰好用完1000元，并且籃球、足球都買有的購買方案有哪幾種？ 【考點】分式方程的應用；二元一次方程的應用． 【分析】（1）首先設(shè)足球單價為x元，則籃球單價為（x+40）元，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：1500元購進的籃球個數(shù)=900元購進的足球個數(shù)，由等量關(guān)系可得方程=，再解方程可得答案； （2）設(shè)恰好用完1000元，可購買籃球m個和購買足球n個，根據(jù)題意可得籃球的單價×籃球的個數(shù)m+足球的單價×足球的個數(shù)n=1000，再求出整數(shù)解即可． 【解答】解：（1）設(shè)足球單價為x元，則籃球單價為（x+40）元，由題意得： =， 解得：x=60， 經(jīng)檢驗：x=60是原分式方程的解， 則x+40=100， 答：籃球和足球的單價各是100元，60元； （2）設(shè)恰好用完1000元，可購買籃球m個和購買足球n個， 由題意得：100m+60n=1000， 整理得：m=10﹣n， ∵m、n都是正整數(shù)， ∴①n=5時，m=7，②n=10時，m=4，③n=15，m=1； ∴有三種方案： ①購買籃球7個，購買足球5個； ②購買籃球4個，購買足球10個； ③購買籃球1個，購買足球15個． 【點評】此題主要考查了分式方程和二元一次方程的應用，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系，列出方程． 　 27．在解決線段數(shù)量關(guān)系問題中，如果條件中有角平分線，經(jīng)常采用下面構(gòu)造全等三角形的解決思路，如：在圖1中，若C是∠MON的平分線OP上一點，點A在OM上，此時，在ON上截取OB=OA，連接BC，根據(jù)三角形全等判定（SAS），容易構(gòu)造出全等三角形△OBC和△OAC，參考上面的方法，解答下列問題： 如圖2，在非等邊△ABC中，∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，且AD，CE交于點F，求證：AC=AE+CD． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】在AC上截取AG=AE，連接FG，根據(jù)“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠AFE=∠AFG，全等三角形對應邊相等可得FE=FG，再根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理推出∠2+∠3=60°，從而得到∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，然后根據(jù)平角等于180°推出∠CFG=60°，然后利用“角邊角”證明△CFG和△CFD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得FG=FD，從而得證． 【解答】證明：如圖，在AC上截取AG=AE，連接FG． ∵AD是∠BAC的平分線，CE是∠BCA的平分線， ∴∠1=∠2，3=∠4 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴∠AFE=∠AFG， ∵∠B=60° ∴∠BAC=∠ACB=120°， ∴∠2+∠3=（∠BAC+∠ACB）=60°， ∵∠AFE=∠2+∠3， ∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60， ∴∠CFG=180°﹣∠CFD﹣∠AFG=60°， ∴∠CFD=∠CFG， 在△CFG和△CFD中， ， ∴△CFG≌△CFD（ASA）， ∴CG=CD， ∴AC=AG+CG=AE+CD． 【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，根據(jù)所求角度正好等于60°得到角相等是解題的關(guān)鍵．