北京市門頭溝區(qū)2015-2016年七年級上期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析.doc

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2015-2016學(xué)年北京市門頭溝區(qū)七年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的． 1．截止到2015年6月1日，北京市已建成34個(gè)地下調(diào)蓄設(shè)施，蓄水能力達(dá)到140000立方米，將140000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為( ) A．14×104 B．1.4×105 C．1.4×106 D．14×106 2．實(shí)數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個(gè)數(shù)中，絕對值最大的是( ) A．a(chǎn) B．b C．c D．d 3．單項(xiàng)式的次數(shù)是( ) A．6 B．5 C．3 D．2 4．下列計(jì)算中，正確的是( ) A．5a2b﹣4a2b=a2b B．2b2+3b3=5b5 C．6a3﹣2a3=4 D．a(chǎn)+b=ab 5．很多美味的食物，它們的包裝盒也很漂亮，觀察banana boat、可愛多冰激凌、芒果原漿以及玫瑰飴的包裝盒，從正面看、從上面看分別得到的平面圖形是長方形、圓的是( ) A． B． C． D． 6．下列式子正確的是( ) A．|π﹣3|=3﹣π B．若ax=ay，則x=y C．a(chǎn)+b＞a﹣b D． 7．已知：∠A=25°12′，∠B=25.12°，∠C=25.2°，下列結(jié)論正確的是( ) A．∠A=∠B B．∠B=∠C C．∠A=∠C D．三個(gè)角互不相等 8．在2016年春節(jié)到來之際，“小豬班納”童裝推出系列活動(dòng)，一位媽媽看好兩件衣服，她想給孩子都買下來作為新年禮物，與店員商量希望都以60元的價(jià)格賣給她．銷售員發(fā)現(xiàn)這樣一件就會盈利25%，另一件就會虧損25%，但是賣出這兩件衣服總的是盈利還是虧損或是不盈不虧呢？請你用學(xué)過的知識幫著判斷一下( ) A．虧損8元 B．盈利8元 C．不盈不虧 D．盈利50元 9．在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動(dòng)中，大家遇到了這樣的問題： 如圖，在一個(gè)圓柱體形狀的包裝盒的底部A處有一只壁虎，在頂部B處有一只小昆蟲，壁虎沿著什么路線爬行，才能以最短的路線接近小昆蟲？ 楠楠同學(xué)設(shè)計(jì)的方案是壁虎沿著A﹣C﹣B爬行； 浩浩同學(xué)設(shè)計(jì)的方案是將包裝盒展開，在側(cè)面展開圖上連接AB，然后壁虎在包裝盒的表面上沿著AB爬行． 在這兩位同學(xué)的設(shè)計(jì)中，哪位同學(xué)的設(shè)計(jì)是最短路線呢？他們的理論依據(jù)是什么？( ) A．楠楠同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“直線段最短” B．浩浩同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“兩點(diǎn)確定一條直線” C．楠楠同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“垂線段最短” D．浩浩同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短” 10．觀察下列圖形： 它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第n個(gè)圖形中共有( )個(gè)五角星（n為正整數(shù)）． A．4+3（n﹣1） B．4n C．4n+1 D．3n+4 二、填空題（本題共30分，每小題3分） 11．的倒數(shù)是__________． 12．比較大小：﹣5__________﹣3（填“＜”、“＞”、“=”） 13．?dāng)?shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的有理數(shù)的和是__________． 14．在有理數(shù)﹣4.2，6，0，﹣11，中，分?jǐn)?shù)有__________． 15．由四舍五入得到的近似數(shù)23.71精確到__________位． 16．代數(shù)式可以把實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系用式子的形式表示出來，同時(shí)，代數(shù)式也可以代表很多實(shí)際意義，例如“酸奶每瓶3.5元，3.5a的實(shí)際意義可以是買a瓶酸奶的價(jià)錢”，請你給4x+y賦予一個(gè)實(shí)際意義__________． 17．若代數(shù)式8x﹣7的值與代數(shù)式6﹣2x的值互為相反數(shù)，那么滿足條件的x是__________． 18．如果x﹣2y=3，那么代數(shù)式1+2x﹣4y的值是__________． 19．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．《九章算術(shù)》采用問題集的形式，全書共收集了246個(gè)問題，分為九章，其中的第八章叫“方程”章，方程一詞就源于這里．《九章算術(shù)》中記載：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？” 譯文：“幾個(gè)人一起去購買物品，如果每人出8錢，那么剩余3錢；如果每人出7錢，那么差4錢．問有多少人，物品的價(jià)格是多少”？ 設(shè)有x人，可列方程為__________． 20．如圖，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，∠COB=20°，若從點(diǎn)O引出一條射線OD，使OD⊥OC，則∠AOD的度數(shù)為__________． 三、計(jì)算題（本題共16分，每小題16分） 21．（16分）①7﹣（+5）+（﹣4）． ②． ③． ④． 22．先化簡，再求值3（a2+2a）﹣2（3a﹣a2+5），其中|a|=2． 五、解下列方程（本題共12分，每小題12分） 23．解方程 ①3x﹣7（x﹣1）=3﹣2（x+3） ②． 六、畫圖（本題7分） 24．已知平面上點(diǎn)A，B，C，D．按下列要求畫出圖形： （1）作直線AB，射線CB； （2）取線段AB的中點(diǎn)E，連接DE并延長與射線CB交于點(diǎn)O； （3）量出∠AED和∠BEO的度數(shù)，并寫出它們的數(shù)量關(guān)系； （4）請畫出從點(diǎn)A到射線CB的最短路線，并寫出畫圖的依據(jù)． 七、應(yīng)用題（本題共12分，第1小題4分，第2小題8分） 25．當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程（k﹣5）x﹣7=x﹣1的解是﹣2？ 26．一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長300米的隧道需要20秒的時(shí)間．隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時(shí)間是10秒．求這列火車的長度． 小冉根據(jù)學(xué)習(xí)解決應(yīng)用問題的經(jīng)驗(yàn)對上面問題進(jìn)行了探究，下面是小冉的探究過程，請補(bǔ)充完成： 設(shè)這列火車的長度是x米，那么 （1）從車頭經(jīng)過燈下到車尾經(jīng)過燈下，火車所走的路程是__________米，這段時(shí)間內(nèi)火車的平均速度是__________米/秒； （2）從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道，火車所走的路程是__________米，這段時(shí)間內(nèi)火車的平均速度是__________米/秒； （3）火車經(jīng)過燈下和火車通過隧道的平均速度的關(guān)系是__________； （4）由此可以列出方程并求解出這列火車的長度： 八、解答題（本題共8分） 27．如圖，已知線段AB，點(diǎn)C在線段AB上，AC=4，BC=6，點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)． （1）求線段MN的長度； （2）若點(diǎn)C在直線AB上，其它條件不變，請直接寫出線段MN的長度； （3）由上面的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)線段MN與線段AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你猜想的理由（可以不寫出嚴(yán)格的證明過程）．  2015-2016學(xué)年北京市門頭溝區(qū)七年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（本題共30分，每小題3分）下列各題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)是符合題意的． 1．截止到2015年6月1日，北京市已建成34個(gè)地下調(diào)蓄設(shè)施，蓄水能力達(dá)到140000立方米，將140000用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為( ) A．14×104 B．1.4×105 C．1.4×106 D．14×106 【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)． 【專題】計(jì)算題． 【分析】將140000用科學(xué)記數(shù)法表示即可． 【解答】解：140000=1.4×105， 故選B． 【點(diǎn)評】此題考查了科學(xué)記數(shù)法﹣表示較大的數(shù)，較小的數(shù)，以及近似數(shù)與有效數(shù)字，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值． 2．實(shí)數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，這四個(gè)數(shù)中，絕對值最大的是( ) A．a(chǎn) B．b C．c D．d 【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小比較． 【分析】首先根據(jù)數(shù)軸的特征，以及絕對值的含義和性質(zhì)，判斷出實(shí)數(shù)a，b，c，d的絕對值的取值范圍，然后比較大小，判斷出這四個(gè)數(shù)中，絕對值最大的是哪個(gè)數(shù)即可． 【解答】解：根據(jù)圖示，可得 3＜|a|＜4，1＜|b|＜2，0＜|c|＜1，2＜|d|＜3， 所以這四個(gè)數(shù)中，絕對值最大的是a． 故選：A． 【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小的比較方法，以及絕對值的非負(fù)性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是判斷出實(shí)數(shù)a，b，c，d的絕對值的取值范圍． 3．單項(xiàng)式的次數(shù)是( ) A．6 B．5 C．3 D．2 【考點(diǎn)】單項(xiàng)式． 【分析】根據(jù)一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)可得答案． 【解答】解：單項(xiàng)式的次數(shù)是5， 故選B． 【點(diǎn)評】此題主要考查了單項(xiàng)式的次數(shù)，關(guān)鍵是掌握計(jì)算方法：是所有字母的指數(shù)和． 4．下列計(jì)算中，正確的是( ) A．5a2b﹣4a2b=a2b B．2b2+3b3=5b5 C．6a3﹣2a3=4 D．a(chǎn)+b=ab 【考點(diǎn)】合并同類項(xiàng)． 【分析】依據(jù)合并同類項(xiàng)法則判斷即可． 【解答】解：A、5a2b﹣4a2b=a2b，正確； B、不是同類項(xiàng)不能合并，故B錯(cuò)誤； C、6a3﹣2a3=4a3，故C錯(cuò)誤； D、不是同類項(xiàng)不能合并，故D錯(cuò)誤． 故選：A． 【點(diǎn)評】本題主要考查的是合并同類項(xiàng)，掌握同類項(xiàng)的定義和合并同類項(xiàng)法則是解題的關(guān)鍵． 5．很多美味的食物，它們的包裝盒也很漂亮，觀察banana boat、可愛多冰激凌、芒果原漿以及玫瑰飴的包裝盒，從正面看、從上面看分別得到的平面圖形是長方形、圓的是( ) A． B． C． D． 【考點(diǎn)】簡單組合體的三視圖． 【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖，可得答案． 【解答】解：A、從正面看是梯形，從上面看是圓環(huán)，故A錯(cuò)誤； B、從正面看是三角形，從上面看是圓，故B錯(cuò)誤； C、從正面看是長方形，從上面看是圓，故C正確； D、從正面看是長方形，從上面看是長方形，故D錯(cuò)誤； 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖，從上面看得到的圖形是俯視圖． 6．下列式子正確的是( ) A．|π﹣3|=3﹣π B．若ax=ay，則x=y C．a(chǎn)+b＞a﹣b D． 【考點(diǎn)】等式的性質(zhì)；絕對值；有理數(shù)大小比較． 【分析】根據(jù)絕對值是大數(shù)減小數(shù)，等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)（或整式），結(jié)果不變；不等式的兩邊都加（或減）同一個(gè)整式結(jié)果不變，分子、分母、分式任意改變其中兩項(xiàng)的符號，結(jié)果不變． 【解答】解：A、絕對值是大數(shù)減小數(shù)，故A錯(cuò)誤； B、a=0時(shí)，兩邊都除以a無意義，故B錯(cuò)誤； C、當(dāng)b=0時(shí)，a+b=a﹣b，故C錯(cuò)誤； D、分子、分母、分式任意改變其中兩項(xiàng)的符號，結(jié)果不變，故D正確． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查了等式的性質(zhì)，等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)（或整式），結(jié)果不變；等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為0數(shù)（或字母），等式仍成立． 7．已知：∠A=25°12′，∠B=25.12°，∠C=25.2°，下列結(jié)論正確的是( ) A．∠A=∠B B．∠B=∠C C．∠A=∠C D．三個(gè)角互不相等 【考點(diǎn)】度分秒的換算． 【分析】根據(jù)小單位華大單位除以進(jìn)率，可得答案． 【解答】解：∠A=35°12′=25.2°=∠C＞∠B， 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查了度分秒的換算，小單位華大單位除以進(jìn)率是解題關(guān)鍵． 8．在2016年春節(jié)到來之際，“小豬班納”童裝推出系列活動(dòng)，一位媽媽看好兩件衣服，她想給孩子都買下來作為新年禮物，與店員商量希望都以60元的價(jià)格賣給她．銷售員發(fā)現(xiàn)這樣一件就會盈利25%，另一件就會虧損25%，但是賣出這兩件衣服總的是盈利還是虧損或是不盈不虧呢？請你用學(xué)過的知識幫著判斷一下( ) A．虧損8元 B．盈利8元 C．不盈不虧 D．盈利50元 【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用． 【分析】先設(shè)這兩件衣服的進(jìn)價(jià)分別為x元和y元，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系建立方程求出進(jìn)價(jià)，再用總售價(jià)減去總進(jìn)價(jià)就可以求出結(jié)論． 【解答】解：設(shè)盈利25%的那件衣服的進(jìn)價(jià)是x元，虧損25%的那件衣服的進(jìn)價(jià)是y元，由題意得： x（1+25%）=60，y（1﹣25%）=60， 解得：x=48，y=80， 故60×2﹣48﹣80=﹣8． 故選A． 【點(diǎn)評】本題是一道銷售問題的應(yīng)用題，考查了售價(jià)=進(jìn)價(jià)（1+利潤率）運(yùn)用，解答中注意運(yùn)用有理數(shù)的混合運(yùn)算的法則是解答的關(guān)鍵． 9．在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動(dòng)中，大家遇到了這樣的問題： 如圖，在一個(gè)圓柱體形狀的包裝盒的底部A處有一只壁虎，在頂部B處有一只小昆蟲，壁虎沿著什么路線爬行，才能以最短的路線接近小昆蟲？ 楠楠同學(xué)設(shè)計(jì)的方案是壁虎沿著A﹣C﹣B爬行； 浩浩同學(xué)設(shè)計(jì)的方案是將包裝盒展開，在側(cè)面展開圖上連接AB，然后壁虎在包裝盒的表面上沿著AB爬行． 在這兩位同學(xué)的設(shè)計(jì)中，哪位同學(xué)的設(shè)計(jì)是最短路線呢？他們的理論依據(jù)是什么？( ) A．楠楠同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“直線段最短” B．浩浩同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“兩點(diǎn)確定一條直線” C．楠楠同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“垂線段最短” D．浩浩同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短” 【考點(diǎn)】線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短；平面展開-最短路徑問題． 【分析】直接利用平面展開圖結(jié)合線段的性質(zhì)得出最短路徑． 【解答】解：由題意可得：浩浩同學(xué)正確，他的理論依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”． 故選：D． 【點(diǎn)評】此題主要考查了平面展開圖以及線段的性質(zhì)，正確掌握線段的性質(zhì)是解題關(guān)鍵． 10．觀察下列圖形： 它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第n個(gè)圖形中共有( )個(gè)五角星（n為正整數(shù)）． A．4+3（n﹣1） B．4n C．4n+1 D．3n+4 【考點(diǎn)】規(guī)律型：圖形的變化類． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)每個(gè)圖形觀察發(fā)現(xiàn)，每個(gè)圖形上、左、右的五角星個(gè)數(shù)個(gè)圖形序號一致，下方只有一個(gè)，根據(jù)規(guī)律即可求出答案． 【解答】解：根據(jù)已知圖形得： 第1個(gè)圖形五角星個(gè)數(shù)：1×3+1， 第2個(gè)圖形五角星個(gè)數(shù)：2×3+1， 第3個(gè)圖形五角星個(gè)數(shù)：3×3+1， 第4個(gè)圖形五角星個(gè)數(shù)：4×3+1， 由此規(guī)律得： 第2個(gè)圖形五角星個(gè)數(shù)：n×3+1， 故第n個(gè)圖形中共有3n+1個(gè)圖形； A答案為4+3（n﹣1）=3n+1． 故選A． 【點(diǎn)評】題目考查了圖形的變化類，屬于規(guī)律型題目求解，通過圖形的變化與圖形序號的關(guān)系求出答案．題目整體較為簡單，學(xué)生注意對A答案選項(xiàng)的化簡，才能得出正確答案． 二、填空題（本題共30分，每小題3分） 11．的倒數(shù)是﹣． 【考點(diǎn)】倒數(shù)． 【分析】根據(jù)乘積為1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，可得一個(gè)數(shù)的倒數(shù)． 【解答】解：的倒數(shù)是﹣， 故答案為：﹣． 【點(diǎn)評】本題考查了倒數(shù)，分子分母交換位置，得一個(gè)數(shù)的倒數(shù)． 12．比較大小：﹣5＜﹣3（填“＜”、“＞”、“=”） 【考點(diǎn)】有理數(shù)大小比較． 【分析】根據(jù)兩負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小，可得答案． 【解答】解：|﹣5|＞|﹣3|， ﹣5＜﹣3， 故答案為：＜． 【點(diǎn)評】本題考查了有理數(shù)比較大小，兩負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而?。? 13．?dāng)?shù)軸上A、B兩點(diǎn)所表示的有理數(shù)的和是﹣1． 【考點(diǎn)】有理數(shù)的加法；數(shù)軸． 【分析】此題借助數(shù)軸用數(shù)形結(jié)合的方法求解．由數(shù)軸可知點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣3，點(diǎn)B表示的數(shù)是2，所以A，B兩點(diǎn)所表示的有理數(shù)的和是﹣1． 【解答】解：由數(shù)軸得，點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣3，點(diǎn)B表示的數(shù)是2， ∴A，B兩點(diǎn)所表示的有理數(shù)的和是﹣3+2=﹣1． 【點(diǎn)評】本題考查數(shù)軸的有關(guān)知識．借助數(shù)軸來求解，非常直觀，且不容易遺漏，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)點(diǎn)． 14．在有理數(shù)﹣4.2，6，0，﹣11，中，分?jǐn)?shù)有﹣4.2，﹣． 【考點(diǎn)】有理數(shù)． 【專題】推理填空題． 【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)的定義可以判斷題目中哪些數(shù)據(jù)是分?jǐn)?shù)，從而可以解答本題． 【解答】解：在有理數(shù)﹣4.2，6，0，﹣11，中，分?jǐn)?shù)有﹣4.2，， 故答案為：﹣4.2，． 【點(diǎn)評】本題考查有理數(shù)，解題的關(guān)鍵是明確分?jǐn)?shù)的定義． 15．由四舍五入得到的近似數(shù)23.71精確到百分位． 【考點(diǎn)】近似數(shù)和有效數(shù)字． 【分析】根據(jù)近似數(shù)的精確度求解． 【解答】解：近似數(shù)23.71精確到百分位． 故答案為百分． 【點(diǎn)評】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示．一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說法；從一個(gè)數(shù)的左邊第一個(gè)不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字． 16．代數(shù)式可以把實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系用式子的形式表示出來，同時(shí)，代數(shù)式也可以代表很多實(shí)際意義，例如“酸奶每瓶3.5元，3.5a的實(shí)際意義可以是買a瓶酸奶的價(jià)錢”，請你給4x+y賦予一個(gè)實(shí)際意義答案不唯一，如已知鋼筆4元，一只鉛筆1元，購買一只鉛筆和一支鋼筆共計(jì)（4x+y）元． 【考點(diǎn)】代數(shù)式． 【專題】開放型． 【分析】結(jié)合實(shí)際情境作答，答案不唯一，如已知鋼筆4元，一只鉛筆1元，購買一只鉛筆和一支鋼筆共計(jì)（4x+y）元． 【解答】解：4x+y賦予一個(gè)實(shí)際意義：如已知鋼筆4元，一只鉛筆1元，購買一只鉛筆和一支鋼筆共計(jì)（4x+y）元． 故答案為：（4x+y）． 【點(diǎn)評】此題主要考查了代數(shù)式，此類問題應(yīng)結(jié)合實(shí)際，根據(jù)代數(shù)式的特點(diǎn)解答． 17．若代數(shù)式8x﹣7的值與代數(shù)式6﹣2x的值互為相反數(shù)，那么滿足條件的x是． 【考點(diǎn)】代數(shù)式求值． 【專題】計(jì)算題；實(shí)數(shù)． 【分析】利用互為相反數(shù)兩數(shù)之和為0列出方程，求出方程的解即可得到x的值． 【解答】解：根據(jù)題意得：8x﹣7+6﹣2x=0， 解得：x=， 故答案為： 【點(diǎn)評】此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 18．如果x﹣2y=3，那么代數(shù)式1+2x﹣4y的值是7． 【考點(diǎn)】代數(shù)式求值． 【專題】計(jì)算題；實(shí)數(shù)． 【分析】原式后兩項(xiàng)提取2變形后，將已知等式代入計(jì)算即可求出值． 【解答】解：∵x﹣2y=3， ∴原式=1+2（x﹣2y）=1+6=7， 故答案為：7 【點(diǎn)評】此題考查了代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 19．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．《九章算術(shù)》采用問題集的形式，全書共收集了246個(gè)問題，分為九章，其中的第八章叫“方程”章，方程一詞就源于這里．《九章算術(shù)》中記載：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？” 譯文：“幾個(gè)人一起去購買物品，如果每人出8錢，那么剩余3錢；如果每人出7錢，那么差4錢．問有多少人，物品的價(jià)格是多少”？ 設(shè)有x人，可列方程為8x﹣3=7x+4． 【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元一次方程． 【專題】推理填空題． 【分析】根據(jù)譯文：“幾個(gè)人一起去購買物品，如果每人出8錢，那么剩余3錢；如果每人出7錢，那么差4錢．問有多少人，物品的價(jià)格是多少”？可知若設(shè)有x人，可列出相應(yīng)的方程，從而本題得以解決． 【解答】解：由題意可得， 設(shè)有x人，可列方程為：8x﹣3=7x+4． 故答案為：8x﹣3=7x+4． 【點(diǎn)評】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程． 20．如圖，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，∠COB=20°，若從點(diǎn)O引出一條射線OD，使OD⊥OC，則∠AOD的度數(shù)為70°或110°． 【考點(diǎn)】垂線． 【分析】根據(jù)題意畫出圖形，要分兩種情況：一種是OD在∠AOC內(nèi)，一種是OD在∠AOC外，然后根據(jù)角的和差關(guān)系計(jì)算出∠AOD的度數(shù)． 【解答】解：如圖1，∵OD⊥OC， ∴∠DOC=90°， ∵∠COB=20°， ∴∠AOD=180°﹣90°﹣20°=70°， 如圖2，∵OD⊥OC， ∴∠DOC=90°， ∵∠COB=20°， ∴∠BOD=90°﹣20°=70°， ∴∠AOD=180°﹣70°=110°， 故答案為：70°或110°． 【點(diǎn)評】此題主要考查了垂線，以及角的計(jì)算，關(guān)鍵是進(jìn)行分類討論，正確畫出圖形． 三、計(jì)算題（本題共16分，每小題16分） 21．（16分）①7﹣（+5）+（﹣4）． ②． ③． ④． 【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算． 【專題】計(jì)算題；實(shí)數(shù)． 【分析】①原式利用減法法則變形，計(jì)算即可得到結(jié)果； ②原式從左到右依次計(jì)算即可得到結(jié)果； ③原式利用乘法分配律計(jì)算即可得到結(jié)果； ④原式先計(jì)算乘方運(yùn)算，再計(jì)算乘法運(yùn)算，最后算加減運(yùn)算即可得到結(jié)果． 【解答】解：①原式=7﹣5﹣4=7﹣9=﹣2； ②原式=﹣××=﹣； ③原式=﹣28+15﹣72+66=﹣100+81=﹣19； ④原式=（﹣1﹣1+）×（﹣10+9）=﹣1×（﹣1）=1． 【點(diǎn)評】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 22．先化簡，再求值3（a2+2a）﹣2（3a﹣a2+5），其中|a|=2． 【考點(diǎn)】整式的加減—化簡求值． 【專題】計(jì)算題；整式． 【分析】原式去括號合并得到最簡結(jié)果，利用絕對值的代數(shù)意義求出a的值，代入計(jì)算即可求出值． 【解答】解：原式=3a2+6a﹣6a+2a2﹣10=5a2﹣10， 由|a|=2，得到a=2或﹣2， 則原式=20﹣10=10． 【點(diǎn)評】此題考查了整式的加減﹣化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 五、解下列方程（本題共12分，每小題12分） 23．解方程 ①3x﹣7（x﹣1）=3﹣2（x+3） ②． 【考點(diǎn)】解一元一次方程． 【專題】計(jì)算題；一次方程（組）及應(yīng)用． 【分析】①方程去括號，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解； ②方程去分母，去括號，移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解． 【解答】解：①去括號得：3x﹣7x+7=3﹣2x﹣6， 移項(xiàng)合并得：﹣2x=﹣10， 解得：x=5； ②去分母得：10﹣2x﹣6=6x﹣9， 移項(xiàng)合并得：8x=13， 解得：x=． 【點(diǎn)評】此題考查了解一元一次方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵． 六、畫圖（本題7分） 24．已知平面上點(diǎn)A，B，C，D．按下列要求畫出圖形： （1）作直線AB，射線CB； （2）取線段AB的中點(diǎn)E，連接DE并延長與射線CB交于點(diǎn)O； （3）量出∠AED和∠BEO的度數(shù)，并寫出它們的數(shù)量關(guān)系； （4）請畫出從點(diǎn)A到射線CB的最短路線，并寫出畫圖的依據(jù)． 【考點(diǎn)】直線、射線、線段． 【專題】作圖題． 【分析】（1）作直線AB，直線沒有端點(diǎn)，可以向兩方無限延伸，射線CB，以A為端點(diǎn)，可以向一方無限延伸； （2）取線段AB的中點(diǎn)E，畫線段DE，再沿DE方向延長，與CB的交點(diǎn)記為O； （3）利用量角器量出∠AED和∠BEO的度數(shù)，可得∠AED=∠BEO； （4）根據(jù)垂線段最短，過A作AF垂直于BC． 【解答】解：（1）如圖所示： （2）如圖所示： （3）∠AED=34°∠OEB=34°，∠AED=∠BEO； （4）如圖所示：AF就是從點(diǎn)A到射線CB的最短路線，根據(jù)是垂線段最短． 【點(diǎn)評】此題主要考查了直線、射線和線段，以及垂線段的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三線的性質(zhì)：直線沒有端點(diǎn)，可以向兩方無限延伸；射線有1個(gè)端點(diǎn)，可以向一方無限延伸；線段有2個(gè)端點(diǎn)，本身不能向兩方無限延伸． 七、應(yīng)用題（本題共12分，第1小題4分，第2小題8分） 25．當(dāng)k為何值時(shí)，關(guān)于x的方程（k﹣5）x﹣7=x﹣1的解是﹣2？ 【考點(diǎn)】一元一次方程的解． 【專題】計(jì)算題；一次方程（組）及應(yīng)用． 【分析】把x=﹣2代入方程計(jì)算即可求出k的值． 【解答】解：把x=﹣2代入方程得：﹣2（k﹣5）﹣7=﹣2﹣1， 去括號得：﹣2k+10﹣7=﹣3， 移項(xiàng)合并得：﹣2k=﹣6， 解得：k=3． 【點(diǎn)評】此題考查了一元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值． 26．一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長300米的隧道需要20秒的時(shí)間．隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時(shí)間是10秒．求這列火車的長度． 小冉根據(jù)學(xué)習(xí)解決應(yīng)用問題的經(jīng)驗(yàn)對上面問題進(jìn)行了探究，下面是小冉的探究過程，請補(bǔ)充完成： 設(shè)這列火車的長度是x米，那么 （1）從車頭經(jīng)過燈下到車尾經(jīng)過燈下，火車所走的路程是x米，這段時(shí)間內(nèi)火車的平均速度是米/秒； （2）從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道，火車所走的路程是（x+300）米，這段時(shí)間內(nèi)火車的平均速度是米/秒； （3）火車經(jīng)過燈下和火車通過隧道的平均速度的關(guān)系是相等； （4）由此可以列出方程并求解出這列火車的長度： 【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)火車長度為xm，根據(jù)題意列出代數(shù)式即可； （2）根據(jù)題意列出代數(shù)式即可； （3）上述問題中火車的平均速度不發(fā)生變化； （4）根據(jù)速度相等列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果． 【解答】解：（1）根據(jù)題意得：從車頭經(jīng)過燈下到車尾經(jīng)過燈下火車所走的路程為xm， 這段時(shí)間內(nèi)火車的平均速度m/s． 故答案為：x，； （2）從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道火車所走的路程為（x+300）m， 這段時(shí)間內(nèi)火車的平均速度為m/s． 故答案為：（x+300）；； （3）速度沒有發(fā)生變化，即火車經(jīng)過燈下和火車通過隧道的平均速度的關(guān)系是相等． 故答案為：相等； （4）根據(jù)題意得：=， 解得：x=300． 答：這列火車的長度300m． 【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解答本題注意理解“完全通過”的含義，完全通過：火車所走的路程=隧道長度+火車長度． 八、解答題（本題共8分） 27．如圖，已知線段AB，點(diǎn)C在線段AB上，AC=4，BC=6，點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)． （1）求線段MN的長度； （2）若點(diǎn)C在直線AB上，其它條件不變，請直接寫出線段MN的長度； （3）由上面的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)線段MN與線段AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你猜想的理由（可以不寫出嚴(yán)格的證明過程）． 【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離． 【分析】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得MC，NC的長，根據(jù)線段的和差，可得答案； （2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得MC，NC的長，根據(jù)線段的和差，可得答案； （3）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得MC，NC的長，根據(jù)線段的和差，可得答案． 【解答】解：（1）由點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，得 MC=AC=×4=2，NC=BC=×6=3． 由線段的和差，得 MN=MC+NC=2+3=5； （2）由點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，得 MC=AC=，NC=BC． 由線段的和差，得 MN=MC+NC=（AC+BC）=AB=×10=5； （3）MN=AB，理由如下： 由點(diǎn)M、N分別是線段AC、BC的中點(diǎn)，得 MC=AC=，NC=BC． 由線段的和差，得 MN=MC+NC=（AC+BC）=AB， MN=AB． 【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出MC，NC的長是解題關(guān)鍵．