高三數(shù)學一輪復習 5.1數(shù)列的概念與簡單表示法課件 .ppt

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第五章 數(shù) 列 第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法,【知識梳理】 1.數(shù)列的有關概念,一定順序,每一個數(shù),an=f(n),a1+a2+…+an,2.數(shù)列的表示方法 (1)表示方法:,an,(n,an),公式,(2)數(shù)列的函數(shù)特征:上面數(shù)列的三種表示方法也是函數(shù)的表示 方法,數(shù)列可以看作是定義域為正整數(shù)集(或它的有限子集 {1,2,…,n})的函數(shù)an=f(n),當自變量由小到大依次取值時所 對應的一列_______.,函數(shù)值,3.數(shù)列的性質(zhì),an+1an,an+1an,an+1=an,4.an與Sn的關系 若數(shù)列{an}的前n項和為Sn, 則an=,,____， n=1,,______， n≥2,,S1,Sn-Sn-1,【考點自測】 1.(思考)給出下列命題: ①所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達; ②根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出的數(shù)列的通項公式可能不止一個; ③已知an+2=f(an+1,an)時,如果要確定這個數(shù)列,則必須知道初始值a1,a2; ④如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則對?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn. 其中正確的是( ) A.①② B.③④ C.①③ D.②④,【解析】選D.①錯誤.不是所有的數(shù)列的第n項都能使用公式表達. ②正確.根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出的數(shù)列的通項公式可以有多個. ③錯誤.如已知an+2=an+1+2an,則只要知道任意連續(xù)兩項都可以確定這個數(shù)列. ④正確.根據(jù)數(shù)列的前n項和的定義可知.,2.已知數(shù)列{an}的前4項分別為2,0,2,0,則下列各式不可以作 為數(shù)列{an}的通項公式的一項是( ) A.an=1+(-1)n+1 B.an=2sin C.an=1-cosnπ D.an= 【解析】選B.因為a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,但當n=3時選項B中a3=2sin =-2≠2,其他選項都適合,故選B.,3.把1,3,6,10,15,21,…這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因為以這些數(shù)目的點可以排成一個正三角形(如圖). 則第7個三角形數(shù)是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 【解析】選B.由圖可知,第7個三角形數(shù)是1+2+3+4+5+6+7=28.,4.已知an= ,那么數(shù)列{an}是( ) A.遞減數(shù)列 B.遞增數(shù)列 C.常數(shù)列 D.擺動數(shù)列 【解析】選B.因為an= ,所以an+1= , 所以an+1-an= 0, 所以an+1an, 所以數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.,5.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2n-3,則數(shù)列{an}的通項公式是 . 【解析】當n=1時,a1=S1=-1;當n≥2時,an=Sn-Sn-1=2n-1.故數(shù)列 {an}的通項公式是 答案:,6.在數(shù)列{an}中,a1=1,an+2=an+1-an(n∈N*),則a100等于 . 【解析】因為an+2=an+1-an, 所以an+3=an+2-an+1. 兩式相加得an+3=-an, 則an+6=-an+3=an, 即數(shù)列{an}的周期為6,,所以a100=a16×6+4=a4=a3-a2 =(a2-a1)-a2=-a1=-1. 答案:-1,考點1 由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式 【典例1】寫出下面各數(shù)列的一個通項公式. (1)3,5,7,9,…. (2) …. (3)-1, …. (4) …. (5)9,99,999,9999,….,【解題視點】通過分析各數(shù)列已知項的數(shù)字特征的共性寫出各數(shù)列的通項公式.,【規(guī)范解答】(1)各項減去1后為正偶數(shù), 所以an=2n+1. (2)每一項的分子比分母少1, 而分母組成數(shù)列21,22,23,24,…, 所以an= . (3)奇數(shù)項為負,偶數(shù)項為正,故通項公式的符號為(-1)n;各項絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4,…;而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中,奇數(shù)項為1,偶數(shù)項為3,即奇數(shù)項為2-1,偶數(shù)項為2+1, 所以an= ,也可寫為,an= (4)偶數(shù)項為負,而奇數(shù)項為正,故通項公式中必含有(-1)n+1,觀察各項絕對值組成的數(shù)列,從第3項到第6項可知,分母分別由奇數(shù)7,9,11,13組成,而分子則是32+1,42+1,52+1,62+1,按照這樣的規(guī)律,第1,2兩項可改寫為 所以an=(-1)n+1· .,(5)這個數(shù)列的前4項可以寫成10-1,100-1,1000-1,10000-1,所以它的一個通項公式為an=10n-1.,【規(guī)律方法】由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略 (1)常用方法:觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法. (2)具體策略:①分式中分子、分母的特征;②相鄰項的變化特征;③拆項后的特征;④各項的符號特征和絕對值特征;⑤化異為同.對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破,或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關系;⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況,可用 (-1)k或(-1)k+1,k∈N*處理.,【變式訓練】寫出下列數(shù)列的一個通項公式. (1)2,4,6,8,…. (2) …. (3)a,b,a,b,a,b,…(其中a,b為實數(shù)). (4)3,33,333,3333,…. (5)4, ,2, ,….,【解析】(1)這個數(shù)列的前4項都是序號的2倍,所以它的一個通 項公式為an=2n(n∈N*). (2)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒 數(shù),且奇數(shù)項為負,偶數(shù)項為正,所以它的一個通項公式為 an=(-1)n· . (3)這是一個擺動數(shù)列,奇數(shù)項是a,偶數(shù)項是b,所以此數(shù)列的一 個通項公式為an=,(4)將數(shù)列各項改寫為: …,分母都是3,而分子 分別是10-1,102-1,103-1,104-1,…. 所以an= (10n-1). (5)將該數(shù)列的前4項改寫成分數(shù)的形式: 可得通項 公式an=(-1)n+1· .,【加固訓練】 根據(jù)數(shù)列的前幾項,寫出下列各數(shù)列的一個通項公式: (1)-1,7,-13,19,…. (2)0.8,0.88,0.888,…. (3) ….,【解析】(1)符號可通過(-1)n表示,后面的數(shù)的絕對值總比前 一個數(shù)的絕對值大6,故通項公式為an=(-1)n(6n-5). (2)數(shù)列變?yōu)?(1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),…, 所以其通項公式為an= . (3)各項的分母分別為21,22,23,24,…,易看出第2,3,4項的分子 分別比分母少3.因此把第1項變?yōu)? . 原數(shù)列化為 …, 所以an=(-1)n· .,考點2 an與Sn關系式的應用 【典例2】(1)(2014·臺州模擬)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn= an- ,則an=( ) A.2n B.3n C.2n-1 D.3n-1 (2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn=( ) A.2n-1 B. C. D.,【解題視點】(1)利用an= 求解或采用特值驗證. (2)根據(jù)?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn,把Sn=2an+1化為Sn+1,Sn之間的 關系,求出數(shù)列{Sn}的通項,另外也可根據(jù)Sn=2an+1得出Sn-1=2an, 進而得出an+1與an的關系,從而求出Sn.,【規(guī)范解答】(1)選D.方法一:因為Sn= an- , ① 所以Sn-1= an-1- (n≥2), ② ①-②,得an= 即an=3an-1. 又S1= a1- ,所以a1=1. 所以{an}是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列,故an=3n-1. 方法二:在已知式中令n=1,得a1=1,排除A,B;令n=2,得 a1+a2= a2- ,得a2=3,排除C,故選D.,(2)選B.方法一:因為an+1=Sn+1-Sn,所以由Sn=2an+1得,Sn= 2(Sn+1-Sn),整理得3Sn=2Sn+1,所以 ,所以數(shù)列{Sn}是以S1=a1=1為首項,q= 為公比的等比數(shù)列,所以Sn= ,故選B. 方法二:因為Sn=2an+1,所以Sn-1=2an(n≥2), 兩式相減得:an=2an+1-2an,所以 . 所以數(shù)列{an}從第2項起為等比數(shù)列. 又n=1時,S1=2a2,所以a2= . 所以Sn=a1+ =,【互動探究】若例2題(2)中,結(jié)論改為求an,如何求解? 【解析】根據(jù)原題的結(jié)果Sn= .當n=1時,a1=1;當n≥2時,an=Sn-Sn-1= ,n=1時不適合這個公式.所以 an=,【規(guī)律方法】已知Sn求an的三個步驟 (1)先利用a1=S1求出a1. (2)用n-1替換Sn中的n得到一個新的關系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式. (3)對n=1時的結(jié)果進行檢驗,看是否符合n≥2時an的表達式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項公式合寫;如果不符合,則應該分n=1與n≥2兩段來寫.,【變式訓練】已知數(shù)列{an}的前n項和Sn,分別求它們的通項公式an. (1)Sn=2n2+3n.(2)Sn=3n+1. 【解析】(1)由題可知,當n=1時,a1=S1=2×12+3×1=5, 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1. 當n=1時,4×1+1=5=a1,所以an=4n+1.,(2)當n=1時,a1=S1=3+1=4, 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(3n+1)-(3n-1+1)=2×3n-1. 當n=1時,2×31-1=2≠a1, 所以,【加固訓練】 1.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-n2+3n,若an+1an+2=80,則n的值為 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】選A.因為Sn=-n2+3n,所以a1=S1=2, 當n≥2時,an=Sn-Sn-1=4-2n,因此an=4-2n(n∈N*). 又因為an+1an+2=80, 即[4-2(n+1)][4-2(n+2)]=80, n(n-1)=20,解得n=5或n=-4(舍去).,2.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{Sn}的前n項和為Tn,滿足Tn=2Sn-n2,n∈N*. (1)求a1的值. (2)求數(shù)列{an}的通項公式. 【解析】(1)令n=1,T1=2S1-1, 因為T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,所以a1=1. (2)n≥2時,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2, 則Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2],=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1. 因為當n=1時,a1=S1=1也滿足上式, 所以Sn=2an-2n+1(n∈N*), 當n≥2時,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1, 兩式相減得an=2an-2an-1-2, 所以an=2an-1+2(n≥2), 所以an+2=2(an-1+2),因為a1+2=3≠0,,所以數(shù)列{an+2}是以3為首項,公比為2的等比數(shù)列. 所以an+2=3×2n-1,所以an=3×2n-1-2, 當n=1時也成立.所以an=3×2n-1-2.,考點3 由數(shù)列的遞推關系求通項公式 【典例3】(1)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln ,則an等于 ( ) A.2+lnn B.2+(n-1)lnn C.2+nlnn D.1+n+lnn (2)若數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2nan,則數(shù)列{an}的通項公式an= .,【解題視點】(1)把已知轉(zhuǎn)化為an+1-an=ln ,采用疊加的方 法. (2)把已知轉(zhuǎn)化為 =2n,采用疊乘的方法.,【規(guī)范解答】(1)選A.由已知,an+1-an=ln ,a1=2, 所以an-an-1=ln (n≥2), an-1-an-2=ln , … a2-a1=ln , 將以上n-1個式子疊加,得 an-a1= = =lnn. 所以an=2+lnn(n≥2),經(jīng)檢驗n=1時也適合.故選A.,(2)由于 =2n,故 將這n-1個等式 疊乘得 故an= . 答案:,【易錯警示】注意對n=1的檢驗 本例題(1)在利用遞推公式求通項時限制了n≥2的條件,此時不要忽略檢驗n=1時是否成立,否則易出現(xiàn)錯解.,【規(guī)律方法】典型的遞推數(shù)列及處理方法,其中(1)an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)的求解方法是:設an+1+λ=p(an+λ),即an+1=pan+pλ-λ,與an+1=pan+q比較即可知 只要λ= . (2)an+1=pan+q·pn+1(p≠0,1,q≠0)的求解方法是兩端同時除以 pn+1,即得 =q,數(shù)列 為等差數(shù)列. 提醒:對于有些遞推公式要注意參數(shù)的限制條件.,【變式訓練】根據(jù)下列條件,確定數(shù)列{an}的通項公式: (1)a1=1,an+1=3an+2. (2)a1=1,an= an-1(n≥2). (3)a1=2,an+1=an+3n+2. 【解析】(1)因為an+1=3an+2, 所以an+1+1=3(an+1),所以 =3, 所以數(shù)列{an+1}為等比數(shù)列,公比q=3, 又a1+1=2,所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1.,(2)因為an= an-1(n≥2), 所以an-1= an-2,…,a2= a1. 以上(n-1)個式子疊乘得 an= 當n=1時符合上式,所以an= . (3)因為an+1-an=3n+2,所以an-an-1=3n-1(n≥2), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1= (n≥2). 當n=1時,a1=2符合上式,所以an= .,【加固訓練】 1.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知2an-2n=Sn,則數(shù)列{an}的通項公式an= . 【解析】令n=1得a1=2.由2an-2n=Sn①得2an+1-2n+1=Sn+1②,②-① 整理得an+1=2an+2n,即 ,即數(shù)列 是首項為1,公 差為 的等差數(shù)列,故 故an=(n+1)·2n-1. 答案:(n+1)·2n-1,2.已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1= ,bn= ,則數(shù)列{bn}的 通項公式bn= . 【解析】由于an+1-2= -2= , +2, 即bn+1=4bn+2,bn+1+ =4(bn+ ).又a1=1,故b1= =-1. 所以 是首項為 ,公比為4的等比數(shù)列. bn+ = ×4n-1,bn= ×4n-1- . 答案: ×4n-1-,考點4 數(shù)列的性質(zhì) 【考情】因為數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù),所以數(shù)列也具備函數(shù)應具備的性質(zhì),因此,高考命題往往以數(shù)列作載體,用選擇題、填空題的形式考查單調(diào)性、周期性等問題.,高頻考點 通 關,【典例4】(1)(2014·杭州模擬)已知數(shù)列{an}的通項公式為an= ,則數(shù)列{an}( ) A.有最大項,沒有最小項 B.有最小項,沒有最大項 C.既有最大項又有最小項 D.既沒有最大項也沒有最小項,(2)(2014·臺州模擬)已知數(shù)列{xn}滿足xn+3=xn,xn+2= |xn+1-xn|(n∈N*),若x1=1,x2=a(a≤1且a≠0),則數(shù)列{xn}的前2015項的和S2015為( ) A.671 B.670 C.1342 D.1344,【解題視點】(1)構(gòu)造f(n)=an-an-1,再利用二次函數(shù)的單調(diào)性求解. (2)推算出{xn}的周期,利用周期性簡化計算.,【規(guī)范解答】(1)選C.因為數(shù)列{an}的通項公式為 an= 所以f(n)=an-an-1= f(n)是關于 (n∈N*)的二次函數(shù),且二次項系數(shù)為負,自變 量 0, 從而對應圖象是開口向下的拋物線上的一群孤立點, 所以數(shù)列先增后減,故有最大項和最小項,選C.,(2)選D.由題意x1=1,x2=a,x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4= |1-a-a|=|1-2a|,又x4=x1,所以|1-2a|=1,又因為a≠0, 所以a=1. 所以此數(shù)列為:1,1,0,1,1,0,…,其周期為3. 所以S2015=S671×3+2=671×2+2=1344.,【通關錦囊】,【通關題組】 1.(2013·新課標全國卷Ⅰ)設△AnBnCn的三邊長分別為an,bn,cn,△AnBnCn的面積為Sn,n=1,2,3,…,若b1c1,b1+c1=2a1,an+1=an,bn+1= ,cn+1= ,則( ) A.{Sn}為遞減數(shù)列 B.{Sn}為遞增數(shù)列 C.{S2n-1}為遞增數(shù)列,{S2n}為遞減數(shù)列 D.{S2n-1}為遞減數(shù)列,{S2n}為遞增數(shù)列,【解析】選B.因為an+1=an,bn+1= ,cn+1= , 所以an=a1,bn+1+cn+1= = (bn+cn)+an= (bn+cn)+a1, bn+1+cn+1-2a1= (bn+cn-2a1),注意到b1+c1=2a1,所以bn+cn=2a1. 于是△AnBnCn中,邊長BnCn=a1為定值,另兩邊的長度之和為 bn+cn=2a1為定值. 因為bn+1-cn+1= 所以bn-cn= (b1-c1),當n→+∞時,有bn-cn→0,即bn→cn,于是 △AnBnCn的邊BnCn上的高hn隨n的增大而增大,于是其面積 Sn= |BnCn|hn= a1hn,所以{Sn}為遞增數(shù)列.,2.(2013·溫州模擬)已知數(shù)列{an},若a1=b(b0),an+1= (n∈N*),則能使an=b成立的n的值可能是( ) A.14 B.15 C.16 D.17,【解析】選C.因為an+1= ,所以an= , 代入上式得an+1= =-1+an-2+1=an-2. 所以周期T=3,因為a1=b,所以a16=a3×5+1=a1=b.,3.(2014·紹興模擬)已知數(shù)列{an}中,an= (n∈N*,a∈R,且a≠0). (1)若a=-7,求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值. (2)若對任意的n∈N*,都有an≤a6成立,求a的取值范圍.,【解析】(1)因為an= (n∈N*,a∈R,且a≠0), 又因為a=-7,所以an=1+ 結(jié)合函數(shù)f(x)=1+ 的單調(diào)性,可知1a1a2a3a4,a5a6a7…an1(n∈N*). 所以數(shù)列{an}中的最大項為a5=2,最小項為a4=0.,(2)an= 因為對任意的n∈N*,都有an≤a6成立, 結(jié)合函數(shù)f(x)=1+ 的單調(diào)性, 所以5 6,所以-10a-8.,【加固訓練】 1.對于數(shù)列{an},“an+1|an|(n=1,2,…)”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的( ) A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,【解析】選B. 方法一:由an+1|an|(n=1,2,…)知{an}從第二項起均為正項, 且a1|an|(n=1,2,…),如-2, -1,0,1,2,…. 所以“an+1|an|(n=1,2,…)”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.,方法二:因為an+1|an|(n=1,2,3,…), 所以若a1≥0,則an≥0(n=1,2,3,…),此時an+1an,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列. 若a1an,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列. 但是,數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,不能得到an+1|an|,如-3,-2,1,2,3,… 所以“an+1|an|(n=1,2,…)”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.,2.已知數(shù)列{an}滿足a1=33,an+1-an=2n,則 的最小值為( ) A. B. C.10 D.21 【解析】選B.因為an+1-an=2n,所以an-an-1=2(n-1), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =(2n-2)+(2n-4)+…+2+33=n2-n+33(n≥2), 又a1=33適合上式,所以an=n2-n+33, 所以,令f(x)=x+ -1(x0),則f'(x)=1- , 令f'(x)=0得x= .所以當0 時,f'(x)0, 即f(x)在區(qū)間(0, )上遞減;在區(qū)間( ,+∞)上遞增, 又5f(6),所以當n=6時, 有最小值 .,3.已知數(shù)列{an}. (1)若an=n2-5n+4, ①數(shù)列中有多少項是負數(shù)? ②n為何值時,an有最小值?并求出最小值. (2)若an=n2+kn+4且對于n∈N*,都有an+1an,求實數(shù)k的取值范圍.,【解析】(1)①由n2-5n+4an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列,又因為通項公式 an=n2+kn+4,可以看作是關于n的二次函數(shù),考慮到n∈N*,所以 ,即得k-3.,【易錯誤區(qū)12】 an與Sn關系問題的易錯點 【典例】(2013·新課標全國卷Ⅰ)若數(shù)列{an}的前n項和 Sn= ,則{an}的通項公式是an= . 【解析】由Sn= 得, 當n≥2①時,Sn-1= 所以當n≥2①時,an=Sn-Sn-1= an- an-1, 化簡得an=-2an-1,,即 =-2. 又n=1②時,S1=a1= a1+ ,a1=1, 所以數(shù)列{an}是首項a1=1,公比q=-2的等比數(shù)列. 所以an=(-2)n-1. 答案:(-2)n-1,【誤區(qū)警示】 1.①處未考慮到是n≥2時才成立的情況. 2.②處忽略n=1時的情況導致解析不完整.,【規(guī)避策略】 1.重視分類討論思想的應用,分n=1和n≥2兩種情況討論;特別 注意an=Sn-Sn-1中需n≥2. 2.由Sn-Sn-1=an推得an,要檢驗n=1時的情況,當n=1時,a1也適合 “an式”,則需統(tǒng)一“合寫”;當n=1時,a1不適合“an式”,則數(shù) 列的通項公式應分段表示(“分寫”),即an=,【類題試解】 1.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n-2,n∈N*,則( ) A.{an}是遞增的等比數(shù)列 B.{an}是遞增數(shù)列,但不是等比數(shù)列 C.{an}是遞減的等比數(shù)列 D.{an}不是等比數(shù)列,也不單調(diào),【解析】選B.根據(jù)題意,由于數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n-2,n∈N*,那么可知當n=1時,則有首項為1,當n≥2時,an=Sn-Sn-1= 3n-3n-1=2×3n-1,n∈N*,故可知數(shù)列是遞增數(shù)列,但不是等比數(shù)列,故答案為B.,2.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,…),則 an= . 【解析】因為an+1= Sn, 所以an= Sn-1(n≥2), 所以an+1-an= (Sn-Sn-1)= an(n≥2). 所以an+1= an(n≥2). 又a1=1,a2= S1= a1= , 所以an= (n≥2).,所以an= 答案:,【創(chuàng)新體驗】數(shù)列的新定義問題 【典例】(2013·湖南高考)對于E={a1,a2,…,a100}的子集X={ },定義X的“特征數(shù)列”為x1,x2,…,x100,其中 其余項均為0,例如:子集{a2,a3}的“特征數(shù)列”為0,1,1,0,0,…,0. (1)子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”的前3項和等于 .,(2)若E的子集P的“特征數(shù)列”為p1,p2,…,p100滿足p1=1,pi+pi+1=1,1≤i≤99. E的子集Q的“特征數(shù)列”為q1,q2,…,q100滿足q1=1,qj+qj+1+qj+2=1,1≤j≤98, 則P∩Q的元素個數(shù)為 .,【審題視點】,【解析】(1)子集{a1,a3,a5}的“特征數(shù)列”的前三項是1,0,1,故和為2. (2)根據(jù)題設條件,子集P的“特征數(shù)列”是1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,… 子集Q的“特征數(shù)列”是1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,… 發(fā)現(xiàn)p1=q1=1,p7=q7=1,…,p6i-5=q6i-5=1,于是令6n-5=97, 得n=17,所以P∩Q的元素個數(shù)為17. 答案:(1)2 (2)17,【創(chuàng)新點撥】 1.高考考情:以數(shù)列為背景的新定義問題是高考命題創(chuàng)新型試題的一個熱點,考查頻次較高. 2.命題形式:常見的有新定義、新規(guī)則等.,【備考指導】 1.準確轉(zhuǎn)化:解決數(shù)列新定義問題時,一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義,緊抓題目所給定義轉(zhuǎn)化成題目要求的形式,切忌同已有概念或定義相混淆. 2.方法選取:對于數(shù)列新定義問題,搞清定義是關鍵,仔細認真地從前幾項(特殊處、簡單處)體會題意,從而找到恰當?shù)慕鉀Q方法.,【新題快遞】 1.定義:若數(shù)列{An}滿足An+1=An2,則稱數(shù)列{An}為“平方遞推數(shù)列”.已知數(shù)列{an}中,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=2x2+2x的圖象上,其中n為正整數(shù).證明:數(shù)列{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”.,【思路點撥】仔細審題,搞清題中所給的定義,結(jié)合新的定義進行推理與證明. 【證明】由條件得:an+1=2an2+2an, 所以2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2, 所以{2an+1}是“平方遞推數(shù)列”.,2.設函數(shù)f(x)定義如表: 定義數(shù)列{an}:a0=2,an+1=f(an),n∈N. (1)求a1-a2+a3-a4+…+a2013-a2014. (2)若a1+a2+a3+…+an=1000,求n的值.,【解析】(1)由題意知a1=f(a0)=f(2)=4, a2=f(a1)=f(4)=5, a3=f(a2)=f(5)=1, a4=f(a3)=f(1)=3, a5=f(a4)=f(3)=2, a6=f(a5)=f(2)=4,…,數(shù)列{an}為周期數(shù)列,最小正周期為5,而a1-a2+a3-a4+…+a9-a10=0, a2011=a1=4, a2012=a2=5, a2013=a3=1, a2014=a4=3, 所以原式=a1-a2+a3-a4+…-a2008+a2009-a2010+a2011-a2012+a2013-a2014=0+4-5+1-3=-3.,(2)因為一個周期內(nèi)的和為15, 又1000=15×66+10, a1+a2+a3=10, 所以n=66×5+3=333.,