高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第一篇專題突破專題四數(shù)列第1講等差數(shù)列等比數(shù)列課件理.ppt

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第1講 等差數(shù)列、等比數(shù)列,考情分析,總綱目錄,考點(diǎn)一 等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算 (1)通項(xiàng)公式: 等差數(shù)列:an=a1+(n-1)d; 等比數(shù)列:an=a1qn-1(q≠0). (2)求和公式: 等差數(shù)列:Sn= =na1+ d; 等比數(shù)列:當(dāng)q=1時(shí),Sn=na1;當(dāng)q≠1時(shí),Sn= = .,典型例題 (1)(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,4,5分)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4+a5= 24,S6=48,則{an}的公差為 ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 (2)(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,17,12分)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,等比數(shù) 列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (i)若a3+b3=5,求{bn}的通項(xiàng)公式; (ii)若T3=21,求S3.,解析 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,S6= =48,則a1+a6=16=a2+a5, 又a4+a5=24,所以a4-a2=2d=24-16=8,得d=4,故選C. (2)設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q, 則an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.① (i)由a3+b3=5得2d+q2=6.② 聯(lián)立①和②解得 (舍去)或 因此{(lán)bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n-1. (ii)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4. 當(dāng)q=-5時(shí),由①得d=8,則S3=21. 當(dāng)q=4時(shí),由①得d=-1,則S3=-6.,答案 (1)C,方法歸納 等差(比)數(shù)列的運(yùn)算策略 在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí),若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯,則 均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解,但要注意消元法及整體代入的運(yùn) 用,以減少計(jì)算量.,跟蹤集訓(xùn) 1.(2017福州綜合質(zhì)量檢測(cè))設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a2=-d,若ak是a6 與ak+6的等比中項(xiàng),則k= ( ) A.5 B.6 C.9 D.11,答案 C 因?yàn)閍k是a6與ak+6的等比中項(xiàng), 所以 =a6ak+6, 又等差數(shù)列{an}的公差d≠0,且a2=-d, 所以[a2+(k-2)d]2=(a2+4d)[a2+(k+4)d], 所以(k-3)2=3(k+3),解得k=9或k=0(舍去),故選C.,2.(2017昆明教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2,Sn,an成等差 數(shù)列,則S17= ( ) A.0 B.2 C.-2 D.34,答案 B 由2,Sn,an成等差數(shù)列,得2Sn=an+2,① 2Sn+1=an+1+2,② ②-①,整理得 =-1, 又2a1=a1+2,所以a1=2, 所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2,公比為-1的等比數(shù)列, 所以S17= =2,故選B.,3.(2017湖北七市(州)聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n+1+a,數(shù)列 {bn}滿足bn=2-log2 . (1)求常數(shù)a的值; (2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.,解析 (1)當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=22+a=4+a, 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n+1+a-(2n+a)=2n, ∵{an}為等比數(shù)列,∴ =a1·a3,即(22)2=(4+a)·23,解得a=-2. (2)由(1)知an=2n,則bn=2-log223n=2-3n, ∵bn+1-bn=-3對(duì)一切n∈N*都成立, ∴{bn}是以-1為首項(xiàng),-3為公差的等差數(shù)列,即b1=-1,d=-3, ∴Tn=nb1+ d= .,考點(diǎn)二 等差、等比數(shù)列的判定與證明 1.證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法 (1)利用定義證明an+1-an(n∈N*)為一常數(shù); (2)利用等差中項(xiàng),即證明2an=an-1+an+1(n≥2).,2.證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法 (1)利用定義證明 (n∈N*)為一常數(shù); (2)利用等比中項(xiàng),即證明 =an-1an+1(n≥2).,典型例題 (2017貴州適應(yīng)性考試)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n. (1)求a2,a3; (2)證明數(shù)列 是等差數(shù)列,并求{an}的通項(xiàng)公式. 解析 (1)由已知得a2-2a1=4, 則a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6. 由2a3-3a2=12得2a3=12+3a2,所以a3=15. (2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),得 =2,即 - =2, 所以數(shù)列 是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列. 則 =1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.,方法歸納 (1)判定一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列,可以利用通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式,但 不能將其作為證明方法; (2) =q和 =an-1an+1(n≥2)都是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的必要不充分條 件,判定時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零.,跟蹤集訓(xùn) 1.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且S3,S9,S6成等差數(shù)列,下列結(jié)論正確 的是 ( ) A.a1,a7,a4成等差數(shù)列 B.a1,a7,a4成等比數(shù)列 C.a1,2a7,a4成等差數(shù)列 D.a1,2a7,a4成等比數(shù)列,答案 A 顯然q=1時(shí)不合題意,依題意得S3+S6=2S9, 即 (1-q3)+ (1-q6)= (1-q9)?1+q3=2q6?a1+a1q3=2a1q6?a1+a4=2a 7, ∴a1,a7,a4成等差數(shù)列.,2.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,17,12分)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S2=2,S3 =-6. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)求Sn,并判斷Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差數(shù)列.,解析 (1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)可得 解得q=-2,a1=-2.故{an}的通項(xiàng)公式為an=(-2)n. (2)由(1)可得Sn= =- +(-1)n· . 由于Sn+2+Sn+1=- +(-1)n· =2 =2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差數(shù)列.,考點(diǎn)三 等差、等比數(shù)列的性質(zhì),典型例題 (1)(2017云南11校跨區(qū)調(diào)研)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng) 和,若a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=8,則S12= ( ) A.40 B.60 C.32 D.50 (2)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,(n+1)SnnSn+1(n∈N*).若 -1,則 ( ) A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8 C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最小值是S7,解析 (1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知,數(shù)列S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比數(shù)列,即 數(shù)列4,8,S9-S6,S12-S9是等比數(shù)列,則S9-S6=16,S12-S9=32,因此S12=4+8+16+32 =60,故選B. (2)由(n+1)Sn0,a70, 所以數(shù)列{an}的前7項(xiàng)為負(fù)值,即Sn的最小值是S7,故選D.,答案 (1)B (2)D,方法歸納 應(yīng)用數(shù)列性質(zhì)解題的方法 (1)解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系及項(xiàng)的序號(hào)之間的關(guān) 系,從這些特點(diǎn)入手選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解. (2)應(yīng)牢固掌握等差、等比數(shù)列的性質(zhì),特別是等差數(shù)列中,“若m+n=p+ q,則am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*)”這一性質(zhì)與求和公式Sn= 的綜合 應(yīng)用.,跟蹤集訓(xùn) 1.(2017太原模擬試題)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,2(a1+a3+a5)+3(a 8+a10)=36,則S11= ( ) A.66 B.55 C.44 D.33,答案 D 因?yàn)閍1+a5=2a3,a8+a10=2a9, 所以2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=6a3+6a9=36, 所以a3+a9=6, 所以S11= = =33,故選D.,2.一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列{an},全部各項(xiàng)之和為偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍, 前3項(xiàng)之積為64,則a1= ( ) A.11 B.12 C.13 D.14,答案 B 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,全部奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)之和分別記為S 奇、S偶,由題意知,S奇+S偶=4S偶,即S奇=3S偶.因?yàn)閿?shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為偶數(shù),所以 q= = . 又a1(a1q)(a1q2)=64,所以 q3=64,故a1=12.,3.在數(shù)列{an}中,a1=5,(an+1-2)(an-2)=3(n∈N*),則該數(shù)列的前2 016項(xiàng)的和 是 .,答案 8 064,解析 因?yàn)?an+1-2)(an-2)=3,所以(an+2-2)(an+1-2)=3,因此an+2-2=an-2,即an+2= an,所以數(shù)列{an}是以2為周期的數(shù)列.又a1=5,因此(a2-2)(a1-2)=3,故a2=3,a1 +a2=8.注意到2 016=2×1 008,因此該數(shù)列的前2 016項(xiàng)的和等于1 008(a1+ a2)=8 064.,1.(2017貴州適應(yīng)性考試)已知數(shù)列{an}滿足an= an+1,若a3+a4=2,則a4+a5= ( ) A. B.1 C.4 D.8,隨堂檢測(cè),答案 C 解法一:因?yàn)閍n= an+1,a3+a4=2,所以an≠0,可得 =2,所以{an} 為等比數(shù)列,由an=amqn-m,得a3+a3×24-3=2,解得a3= ,所以an=a3qn-3= ×2n-3,由 此可得a4=a3×2= ,a5=a3×22= ,所以a4+a5= + = =4. 解法二:已知an= an+1,可得an+1=2an, 所以a4+a5=2a3+2a4=2(a3+a4)=2×2=4.,2.已知等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若點(diǎn)(n,Sn)在函數(shù)y=2x+1+m 的圖象上,則m= ( ) A.-2 B.2 C.-3 D.3,答案 A 易知q≠1,Sn= = - qn= - qn+1,又點(diǎn)(n, Sn)在函數(shù)y=2x+1+m的圖象上, 所以Sn=2n+1+m,所以q=2, 解得m=-2.,3.(2017北京,10,5分)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1=b1=-1,a4=b4= 8,則 = .,答案 1,解析 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q. ∵a1=b1=-1,a4=b4=8, ∴ ∴ ∴a2=2,b2=2.∴ = =1.,4.(2017廣西三市第一次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n-1(n ∈N*). (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)設(shè)bn=log4an+1,求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.,解析 (1)當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1. 當(dāng)n=1時(shí),a1=2-1=1,滿足an=2n-1, ∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1(n∈N*). (2)由(1)得,bn=log4an+1= , 則bn+1-bn= - = , ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公差d= 的等差數(shù)列, ∴Tn=nb1+ d= .,