高中數(shù)學 2.1.1 離散型隨機變量課件 新人教A版選修2-3 .ppt

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第二章 隨機變量及其分布 2.1 離散型隨機變量及其分布列 2.1.1 離散型隨機變量,1.隨機變量 (1)定義:在一個對應關系下,隨著_________變化而變化的量稱 為隨機變量. (2)表示:隨機變量常用字母__________等表示. 2.離散型隨機變量 如果隨機變量X的所有可能的取值都能_____________,則稱X為 離散型隨機變量.,試驗結(jié)果,X,Y,ξ,η,一一列舉出來,1.判一判(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)離散型隨機變量的取值是任意的實數(shù). ( ) (2)隨機變量的取值可以是有限個,也可以是無限個. ( ) (3)離散型隨機變量是指某一區(qū)間內(nèi)的任意值. ( ),【解析】(1)錯誤.離散型隨機變量的取值是指試驗的結(jié)果對應的實數(shù). (2)正確.隨機變量的取值可以是有限個,如取值為1,2,…,n;也可以是無限個,如1,2,…,n,…. (3)錯誤.離散型隨機變量的取值都能一一列出,不可以是某一區(qū)間內(nèi)的任意值. 答案:(1)× (2)√ (3)×,2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)在考試中,需回答三個問題,考試規(guī)則規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分,則這名同學回答這三個問題的總得分ξ的所有可能取值是 . (2)同時拋擲5枚硬幣,得到硬幣反面向上的個數(shù)為ξ,則ξ的所有可能取值的集合為 . (3)在8件產(chǎn)品中,有3件次品,5件正品,從中任取一件取到次品就停止,抽取次數(shù)為X,則X=3表示的試驗是 .,【解析】(1)可能有回答全對,兩對一錯,兩錯一對,全錯四種結(jié)果,相應得分為300分,100分,-100分,-300分. 答案:300,100,-100,-300 (2)當硬幣全部為正面向上時,ξ=0,硬幣反面向上的個數(shù)還可能有1個,2個,3個,4個,也可能都反面向上,即5個. 答案:{0,1,2,3,4,5} (3)由隨機試驗可知X=3表示抽取3次,前兩次均是正品,第3次是次品. 答案:共抽取3次,前兩次均是正品,第3次是次品,【要點探究】 知識點 隨機變量及離散型隨機變量 1.對隨機變量的兩點認識 (1)隨機變量是用來表示不同試驗結(jié)果的量.,(2)試驗結(jié)果和實數(shù)之間的對應關系產(chǎn)生了隨機變量,隨機變量每取一個確定的值對應著試驗的不同結(jié)果,試驗的結(jié)果對應著隨機變量的值,即隨機變量的取值實質(zhì)上是試驗結(jié)果所對應的數(shù).但這些數(shù)是預先知道的可能值,而不知道究竟是哪一個值,這便是“隨機”的本源.,2.離散型隨機變量的特征 (1)可用數(shù)值表示. (2)試驗之前可以判斷其出現(xiàn)的所有值. (3)在試驗之前不能確定取何值. (4)試驗結(jié)果能一一列出.,【微思考】 (1)隨機變量是特殊的函數(shù)嗎? 提示:隨機變量是把試驗結(jié)果映射為實數(shù),而函數(shù)是定義在兩個非空數(shù)集之上的,因此隨機變量應為特殊的映射,而非函數(shù). (2)隨機變量的判斷依據(jù)是什么? 提示:隨機變量的判斷依據(jù)是變量的取值是否具有可變性.,【即時練】 判斷下列各個量,哪些是隨機變量,哪些不是隨機變量,并說明理由. (1)北京國際機場候機廳中2015年5月1日的旅客數(shù)量. (2)2015年5月1日到10月1日期間某城市所查酒駕的人數(shù). (3)2015年6月1日濟南到北京的某次動車到北京站的時間. (4)體積為1000cm3的球半徑長.,【解析】(1)旅客人數(shù)可能是0,1,2,…,出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的,因此是隨機變量. (2)所查酒駕的人數(shù)可能是0,1,2,…,出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的,因此是隨機變量. (3)動車到達的時間可在某一區(qū)間內(nèi)任取一值,是隨機的,因此是隨機變量. (4)球的體積為1000cm3時,球的半徑為定值,不是隨機變量.,【題型示范】 類型一 離散型隨機變量的判定 【典例1】 (1)下列變量中,不是離散型隨機變量的是 ( ) A.從5張已編號的卡片(從1號到5號)中任取一張,被取出的號數(shù)ξ B.連續(xù)不斷射擊,首次命中目標所需要的射擊次數(shù)η C.某工廠加工的某種鋼管內(nèi)徑與規(guī)定的內(nèi)徑尺寸之差ξ1 D.電話號碼“110”每分鐘被呼叫的次數(shù)η1,(2)指出下列隨機變量是否是離散型隨機變量,并說明理由. ①湖南矮寨大橋橋面一側(cè)每隔30米有一路燈,將所有路燈進行編號,隨機選某一路燈,其編號X; ②在一次數(shù)學競賽中,設一、二、三等獎,小明同學參加競賽獲得的獎次X; ③一天內(nèi)氣溫的變化值X.,【解題探究】1.題(1)A項中對應的試驗結(jié)果是什么? 2.判斷離散型隨機變量的關鍵是什么? 【探究提示】1.可能的試驗結(jié)果是1,2,3,4,5. 2.關鍵是判斷離散型隨機變量的所有取值是否可以一一列出.,【自主解答】(1)選C.從5張已編號的卡片(從1號到5號)中任取一張,被取出的號數(shù)ξ的可能取值為1,2,3,4,5,故A是離散型隨機變量;連續(xù)不斷射擊,首次命中目標所需要的射擊次數(shù)η的可能取值為1,2,3,4,5,…,故B是離散型隨機變量;某工廠加工的某種鋼管內(nèi)徑與規(guī)定的內(nèi)徑尺寸之差ξ1,其取值不能夠一一列出,故C不是離散型隨機變量;電話號碼“110”每分鐘被呼叫的次數(shù)η1的可能取值為0,1,2,3,4,5,…,故D是離散型隨機變量.,(2)①橋面上的路燈是可數(shù)的,編號X可以一一列出,是離散型隨機變量; ②小明獲獎等次X可以一一列出,是離散型隨機變量; ③一天內(nèi)的氣溫變化值X,可以在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)取值,不能一一列出,不是離散型隨機變量.,【方法技巧】判斷離散型隨機變量的方法 判斷一個隨機變量是否是離散型隨機變量的關鍵是判斷隨機變量的所有取值是否可以一一列出,具體方法如下: (1)明確隨機試驗的所有可能結(jié)果. (2)將隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化. (3)確定試驗結(jié)果所對應的實數(shù)是否可以一一列出,如能一一列出,則該隨機變量是離散型隨機變量,否則不是.,【變式訓練】一個袋中裝有5個白球和5個黑球,從中任取3個,其中所含白球的個數(shù)為ξ. (1)列表說明可能出現(xiàn)的結(jié)果與對應的ξ的值. (2)若規(guī)定抽取的3個球中,每抽到一個白球加5分,抽到黑球不加分,且最后結(jié)果都加上6分,求最終得分η的可能取值,并判定η是否為離散型隨機變量.,【解析】(1)列表如下: (2)由題意可得:η=5ξ+6,而ξ可能的取值范圍為{0,1,2,3},所以η對應的各值是:5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故η的可能取值為6,11,16,21.顯然,η為離散型隨機變量.,【補償訓練】判斷下列各個變量是否是隨機變量,若是,是否是離散型隨機變量. (1)某信息臺一天接到的咨詢電話個數(shù). (2)從10張已編好號碼的卡片(從1號到10號)中任取一張,被抽出卡片的號數(shù). (3)某林場的樹木最高達30m,在此林場中任取一棵樹木的高度. (4)體積為27cm3的正方體的棱長.,【解析】(1)接到的咨詢電話的個數(shù)可能是0,1,2,3,…,出現(xiàn)哪一個結(jié)果是隨機的,因此是隨機變量,并且是離散型隨機變量. (2)抽出卡片的號數(shù)是不確定的,是隨機變量.被抽取的卡片號數(shù)可以一一列出,符合離散型隨機變量的定義,是離散型隨機變量. (3)林場樹木的高度是一個隨機變量,它可能取(0,30]內(nèi)的一切值,無法一一列出,不是離散型隨機變量. (4)體積為27cm3的正方體的棱長為3cm,為定值,不是隨機變量.,類型二 用隨機變量表示隨機試驗的結(jié)果 【典例2】 (1)拋擲一顆骰子,設正面向上的點數(shù)為X,那么X為偶數(shù)表示的隨機試驗結(jié)果是 . (2)寫出下列隨機變量可能取的值,并說明這些值所表示的隨機試驗的結(jié)果. ①袋中有大小相同的紅球10個,白球5個,從袋中每次任取1個球,取后不放回,直到取出的球是白球為止,所需要的取球次數(shù). ②從標有數(shù)字1,2,3,4,5,6的6張卡片中任取2張,所取卡片上的數(shù)字之和.,【解題探究】 1.題(1)中點數(shù)X是偶數(shù)時X的取值有哪些? 2.題(2)②中任取的2張卡片與取出的次序有關系嗎? 【探究提示】1.X=2,4,6. 2.與取出的次序沒有關系.,【自主解答】(1)拋擲一顆骰子,可能出現(xiàn)的點數(shù)是1,2,3,4,5,6,X為偶數(shù)表示的隨機試驗結(jié)果為向上的面出現(xiàn)2,4,6點. 答案:向上的面出現(xiàn)2,4,6點 (2)①設所需的取球次數(shù)為X,則X=1,2,3,4,…,10,11,X=i表示前(i-1)次取到的均是紅球,第i次取到白球,這里i=1,2,3,4,…,11. ②設所取卡片上的數(shù)字之和為X,則X=3,4,5,…,11. X=3,表示“取出標有1,2的兩張卡片”;,X=4,表示“取出標有1,3的兩張卡片”; X=5,表示“取出標有2,3或1,4的兩張卡片”; X=6,表示“取出標有2,4或1,5的兩張卡片”; X=7,表示“取出標有3,4或2,5或1,6的兩張卡片”; X=8,表示“取出標有2,6或3,5的兩張卡片”; X=9,表示“取出標有3,6或4,5的兩張卡片”; X=10,表示“取出標有4,6的兩張卡片”; X=11,表示“取出標有5,6的兩張卡片”.,【延伸探究】若本題(2)②中條件不變,所取卡片上的數(shù)字之差的絕對值為隨機變量ξ,請問ξ有哪些取值?其中ξ=4表示什么含義? 【解題指南】由1,2,3,4,5,6這6個數(shù)兩兩相減,取其絕對值. 【解析】ξ的所有可能取值有:1,2,3,4,5,共5個. ξ=4表示“取出標有1,5或2,6的兩張卡片”.,【方法技巧】解答用隨機變量表示隨機試驗的結(jié)果問題的關鍵點和注意點 (1)關鍵點:解決此類問題的關鍵是明確隨機變量的所有可能取值,以及取每一個值對應的意義,即一個隨機變量的取值對應一個或多個隨機試驗的結(jié)果. (2)注意點:解答過程中不要漏掉某些試驗結(jié)果.,【變式訓練】寫出下列隨機變量的可能值,并說明隨機變量的取值表示的事件. 在含有5件次品的200件產(chǎn)品中任意抽取4件,其中次品件數(shù)X是一個隨機變量.,【解析】隨機變量X的可能取值為0,1,2,3,4. X=0,表示“抽取0件次品”; X=1,表示“抽取1件次品”; X=2,表示“抽取2件次品”; X=3,表示“抽取3件次品”; X=4,表示“抽取4件次品”.,【易錯誤區(qū)】對隨機變量的試驗結(jié)果表述不全致誤 【典例】一個木箱中裝有6個大小相同的籃球,編號為1,2,3,4, 5,6,現(xiàn)隨機抽取3個籃球,以ξ表示取出的籃球的最大號碼,則 ξ的試驗結(jié)果有 種.,【解析】從6個球中選出3個球, 當ξ=3①時,另兩個球從1,2中選取,有一種抽法; 當ξ=4②時,另兩個球從1,2,3中選取,有 =3種; 當ξ=5③時,另兩個球從1,2,3,4中選取,有 =6種; 當ξ=6時,另兩個球從1,2,3,4,5中選取,有 =10種. 所以,ξ的試驗結(jié)果共有1+3+6+10=20種. 答案：20,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.正確提取條件信息 對題目中給出的條件作出正確判斷是解決數(shù)學問題的關鍵,如本例中“以ξ表示取出的籃球的最大號碼”指的是“隨機抽取3個籃球”中的最大號碼,而不是ξ=6. 2.考慮問題要全面 對于問題的解答要全面考慮,尤其在解答隨機變量的可能取值時,注意不要漏解,如本例中僅考慮了ξ=6時的情形,卻忽略了ξ=3,ξ=4,ξ=5的情況.,【類題試解】一用戶在打電話時忘記了號碼的最后三個數(shù)字,只記得最后三個數(shù)字兩兩不同,且都大于5,于是他隨機撥最后三個數(shù)字(兩兩不同),設他撥到所要號碼時撥打的次數(shù)為ξ,則隨機變量ξ的可能取值共有 種. 【解析】后三個數(shù)字兩兩不同且都大于5的電話號碼共有 =24種. 答案:24,