2019年高中數學 模塊綜合測評(一)新人教B版必修2.doc

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2019年高中數學 模塊綜合測評(一)新人教B版必修2 一、選擇題：本大題共10小題，共50分． 1．過點(－1,3)且垂直于直線x－2y＋3＝0的直線方程是 A．x－2y＋7＝0　　　　 B．2x＋y－1＝0 C．x－2y－5＝0 D．2x＋y－5＝0 解析：設所求直線方程為－2x－y＋m＝0，則－2×(－1)－3＋m＝0，所以m＝1，即－2x－y＋1＝0，故直線方程為2x＋y－1＝0. 答案：B 2．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 A. B．3π C. D．6π 解析：顯然由三視圖我們易知原幾何體為一個圓柱體的一部分，并且由正視圖知是一個的圓柱體，底面圓的半徑為1，圓柱體的高為4，則V＝×π×12×4＝3π. 答案：B 3．長方體一個頂點上的三條棱長分別為3、4、5，若它的八個頂點都在同一個球面上，則這個球的表面積是 A．20π B．25π C．50π D．200π 解析：設長方體的體對角線長為l，球半徑為R，則所以R＝，所以S球＝4πR2＝50π. 答案：C 4．在空間直角坐標系中，O為坐標原點，設A，B，C，則 A．OA⊥AB B．AB⊥AC C．AC⊥BC D．OB⊥OC 解析：|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝，因為|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，所以AC⊥BC. 答案：C 5．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的是 A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β C．若m∥α，m∥β，則α∥β D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n 解析：A中還可能m，n相交或異面，所以A不正確；B、C中還可能α，β相交，所以B、C不正確．很明顯D正確． 答案：D 6．若P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程為 A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 解析：設圓心為C(1,0)，則AB⊥CP，∵kCP＝－1，∴kAB＝1，∴y＋1＝x－2，即x－y－3＝0. 答案：A 7．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點D是側面BB1C1C的中心，則AD與平面BB1C1C所成角的大小是 A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：過A作AE⊥BC于點E，則易知AE⊥面BB1C1C，則∠ADE即為所求，又tan∠ADE＝＝，故∠ADE＝60°. 答案：C 8．過點M(－2,4)作圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝25的切線l，且直線l1：ax＋3y＋2a＝0與l平行，則l1與l間的距離是 A. B. C. D. 解析：因為點M(－2,4)在圓C上，所以切線l的方程為(－2－2)(x－2)＋(4－1)(y－1)＝25，即4x－3y＋20＝0. 因為直線l與直線l1平行，所以－＝，即a＝－4，所以直線l1的方程是－4x＋3y－8＝0，即4x－3y＋8＝0.所以直線l1與直線l間的距離為＝. 答案：D 9．當a為任意實數時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以C為圓心，半徑為的圓的方程為 A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 解析：令a＝0，a＝1，得方程組 解得所以C(－1,2)． 則圓C的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5， 即x2＋y2＋2x－4y＝0. 答案：C 10．設P(x，y)是圓x2＋(y＋4)2＝4上任意一點，則的最小值為 A.＋2 B.－2 C．5 D．6 解析：如圖，設A(1,1)，＝|PA|，則|PA|的最小值為|AC|－r＝－2. 答案：B 第Ⅱ卷(非選擇題，共70分) 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分． 11．如圖所示，Rt△A′B′C′為水平放置的△ABC的直觀圖，其中A′C′⊥B′C′，B′O′＝O′C′＝1，則△ABC的面積為__________． 解析：由直觀圖畫法規(guī)則將△A′B′C′還原為△ABC，如圖所示，則有BO＝OC＝1，AO＝2. ∴S△ABC＝BC·AO ＝×2×2 ＝2. 答案：2 12．經過點P(1,2)的直線，且使A(2,3)，B(0，－5)到它的距離相等的直線方程為__________． 解析：x＝1顯然符合條件；當A(2,3)，B(0，－5)在所求直線同側時，所求直線與AB平行， ∵kAB＝4，∴y－2＝4(x－1)， 即4x－y－2＝0. 答案：4x－y－2＝0或x＝1 13．與x軸相切并和圓x2＋y2＝1外切的圓的圓心的軌跡方程是__________． 解析：設M(x，y)為所求軌跡上任一點，則由題意知1＋|y|＝，化簡得x2＝2|y|＋1. 答案：x2＝2|y|＋1 14．圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0關于直線l1：x－y＋4＝0與直線l2：x＋3y＝0都對稱，則D＝__________，E＝__________. 解析：由題設知直線l1，l2的交點為已知圓的圓心． 由得 所以－＝－3，D＝6，－＝1，E＝－2. 答案：6；－2 三、解答題：本大題共4小題，滿分50分． 15．(12分)直線l經過點P(2，－5)，且到點A(3，－2)和B(－1,6)的距離之比為1∶2，求直線l的方程． 解：∵直線l過P(2，－5)， ∴可設直線l的方程為y＋5＝k·(x－2)， 即kx－y－2k－5＝0.(2分) ∴A(3，－2)到直線l的距離為 d1＝＝. B(－1,6)到直線l的距離為 d2＝＝.(6分) ∵d1∶d2＝1∶2，∴＝. 化簡得k2＋18k＋17＝0.(10分) 解得k1＝－1，k2＝－17. ∴所求直線方程為x＋y＋3＝0或17x＋y－29＝0.(12分) 16．(12分)如圖所示，已知四棱錐P－ABCD的底面是邊長為a的菱形，且∠ABC＝120°，PC⊥平面ABCD，PC＝a，E為PA的中點． (1)求證：平面EBD⊥平面ABCD； (2)求點E到平面PBC的距離． (1)證明：如圖所示，連接AC，設AC∩BD＝O，連接OE，在△PAC中，E為PA的中點，O為AC的中點， ∴OE∥PC.(2分) 又PC⊥平面ABCD， ∴OE⊥平面ABCD. 又OE?平面EBD， ∴平面EBD⊥平面ABCD.(4分) (2)解：∵OE∥PC，PC?面PBC，而OE?面PBC，∴OE∥面PBC， ∴E到平面PBC的距離等于O到平面PBC的距離． 過O在底面ABCD內作OG⊥BC于G，又平面PBC⊥面ABCD，且面PBC∩面ABCD＝BC， ∴OG⊥面PBC，即線段OG的長度為點O到平面PBC的距離．(8分) 在菱形ABCD中， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝60°， ∴△BCD為正三角形，且BC＝a，由余弦定理可得AC＝a， ∴OB＝，OC＝a.(10分) 在Rt△BOC中，OG·BC＝OB·OC， 即OG·a＝·a， ∴OG＝a. 即E到平面PBC的距離為a.(12分) 17．(12分)已知圓C和y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2，求圓C的方程． 解：設C的坐標為(3a，a)，則圓C的半徑為r＝|3a|.C到y(tǒng)＝x的距離d＝＝|a|. 由題意有：r2－d2＝()2，得a＝±1. 故C(3,1)或C(－3，－1)． 所以圓C的方程為：(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 18．(14分)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，點O、E分別是A1C1、AA1的中點，AO⊥平面A1B1C1.已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2. (1)證明：OE∥平面AB1C1； (2)求異面直線AB1與A1C所成的角； (3)求A1C1與平面AA1B1所成角的正弦值． (1)證明：∵點O、E分別是A1C1、AA1的中點， ∴OE∥AC1， 又∵EO?平面AB1C1，AC1?平面AB1C1， ∴OE∥平面AB1C1.(4分) (2)解：∵AO⊥平面A1B1C1， ∴AO⊥B1C1， 又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO＝O， ∴B1C1⊥平面A1C1CA， ∴A1C⊥B1C1. 又∵AA1＝AC， ∴四邊形A1C1CA為菱形， ∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1＝C1， ∴A1C⊥平面AB1C1， ∴AB1⊥A1C，即異面直線AB1與A1C所成的角為90°.(9分) (3)解：設點C1到平面AA1B1的距離為d， ∴A1C1與平面AA1B1所成角的正弦值為. (14分)