高考數學一輪復習 第二章 第10課時 函數與方程課件 理.ppt

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,,第二章 函數與基本初等函數,1．結合二次函數的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數，了解函數的零點與方程根的聯系． 2．根據具體函數的圖像，能夠用二分法求相應方程的近似解．,請注意 1．函數y＝f(x)的零點即方程f(x)＝0的實根，易誤認為函數圖像與x軸的交點． 2．由函數y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點不一定能推出f(a)·f(b)0，如圖所示． 所以f(a)·f(b)0是y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上有零點的充分不必要條件．,,1．函數零點的概念 零點不是點！ (1)從“數”的角度看：即是使f(x)＝0的實數x； (2)從“形”的角度看：即是函數f(x)的圖像與x軸交點的橫坐標． 2．函數零點與方程根的關系 方程f(x)＝0有實數根?函數y＝f(x)的圖像與 有交點?函數y＝f(x)有 ．,x軸,零點,3．函數零點的判斷 如果函數y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 .那么，函數y＝f(x)在區(qū)間________內有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． 4．二分法的定義 對于在[a，b]上連續(xù)不斷，且 的函數y＝f(x)，通過不斷地把函數f(x)的 所在的區(qū)間 ，使區(qū)間的兩端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．,f(a)·f(b)0,(a，b),f(a)·f(b)0,零點,一分為二,5．用二分法求函數f(x)零點近似值 (1)確定區(qū)間[a，b]，驗證 ，給定精確度ε； (2)求區(qū)間(a，b)的中點x1； (3)計算f(x1)； ①若 ，則x1就是函數的零點； ②若 ，則令b＝x1，(此時零點x0∈(a，x1))； ③若 ，則令a＝x1，(此時零點x0∈(x1，b))． (4)判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(2)－(4)．,f(a)·f(b)0,f(x1)＝0,f(a)·f(x1)0,f(x1)·f(b)0,1．判斷下列說法是否正確(打“√”或“×”)． (1)函數的零點就是函數的圖像與x軸的交點． (2)若函數y＝f(x)，x∈D在區(qū)間(a，b)?D內有零點(函數圖像連續(xù)不斷)，則f(a)·f(b)0. (3)二次函數y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac0時沒有零點． (4)函數y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實根． 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√,2．方程2－x＋x2＝3的實數解的個數為( ) A．2 B．3 C．1 D．4 答案 A 解析 構造函數y＝2－x與y＝3－x2，在同一坐標系中作出它們的圖像，可知有兩個交點，故方程2－x＋x2＝3的實數解的個數為2.故選A.,答案 C,4．下列函數圖像與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是( ) 答案 C 解析 A，B圖中零點兩側不異號，D圖不連續(xù)．故選C.,,5．若在二次函數f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c0，則函數的零點個數是________． 答案 2,例1 (1)(2013·天津理)函數f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點個數為( ) A．1 B．2 C．3 D．4,題型一 零點的個數及求法,【答案】 B,(2)函數f(x)＝xcos2x在區(qū)間[0,2π]上的零點的個數為( ) A．2 B．3 C．4 D．5,【答案】 D,探究1 函數零點個數的判定有下列幾種方法： (1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有幾個解就有幾個零點． (2)零點存在性定理：利用該定理不僅要求函數在[a，b]上是連續(xù)的曲線，且f(a)·f(b)0，還必須結合函數的圖像和性質(如單調性)才能確定函數有多少個零點． (3)畫兩個函數圖像，看其交點的個數有幾個，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．,函數f(x)＝2x＋x3－2在區(qū)間(0,1)內的零點個數是________． 【解析】 f′(x)＝2xln2＋3x2，在(0,1)上f′(x)0恒成立，∴f(x)在(0,1)上單調遞增． 又∵f(0)＝－10， ∴f(x)在區(qū)間(0,1)上存在一個零點． 【答案】 1,思考題1,題型二 求零點所在區(qū)間,【答案】 D,探究2 此類題的解法是將f(x)＝0，拆成f(x)＝g(x)－h(huán)(x)＝0，畫出h(x)與g(x)的圖像，從而確定方程g(x)＝h(x)的根所在的區(qū)間．,設f(x)＝lnx＋x－2，則函數f(x)的零點所在的區(qū)間為( ) A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4),思考題2,,【解析】 函數f(x)的零點所在的區(qū)間轉化為函數g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2圖像交點的橫坐標所在的范圍．作圖如圖所示： 可知f(x)的零點所在的區(qū)間為(1,2)． 【答案】 B,題型三 零點性質的應用,探究3 已知函數有零點(方程有根)求參數值常用的方法和思路： (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數范圍； (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決； (3)數形結合：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖像，然后觀察求解．,若函數f(x)＝ax－x－a(a0，且a≠1)有兩個零點，求實數a的取值范圍． 【解析】 函數f(x)＝ax－x－a(a0且a≠1)有兩個零點，即方程ax－x－a＝0有兩個根，即函數y＝ax與函數y＝x＋a的圖像有兩個交點．,思考題3,當01時，圖像如圖②所示，此時有兩個交點． ∴實數a的取值范圍為(1，＋∞)． 【答案】 (1，＋∞),,例4 (1)用二分法研究函數f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次經計算f(0)0，可得其中一個零點x0∈________，第二次應計算________．,題型四 二分法,【答案】 (0,0.5) f(0.25),(2)在用二分法求方程x3－2x－1＝0的一個近似解時，現在已經將根鎖定在區(qū)間(1,2)內，則下一步可斷定該根所在的區(qū)間為________．,探究4 利用二分法求近似解需注意的問題： (1)在第一步中：①區(qū)間長度盡量小；②f(a)，f(b)的值比較容易計算且f(a)·f(b)0； (2)根據函數的零點與相應方程根的關系，求函數的零點與相應方程的根是等價的．,在用二分法求方程x2＝2的正實數根的近似解(精確度0.001)時，若我們選取初始區(qū)間是[1.4,1.5]，則要達到精確度要求至少需要計算的次數是________．,思考題4,【答案】 7,1．函數零點的性質： (1)若函數f(x)的圖像在x＝x0處與x軸相切，則零點x0通常稱為不變號零點； (2)若函數f(x)的圖像在x＝x0處與x軸相交，則零點x0通常稱為變號零點．,2．函數零點的求法： 求函數y＝f(x)的零點： (1)(代數法)求方程f(x)＝0的實數根(常用公式法、因式分解、直接求解等)； (2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數y＝f(x)的圖像聯系起來，并利用函數的性質找出零點； (3)二分法(主要用于求函數零點的近似值，所求零點都是指變號零點)．,3．有關函數零點的重要結論： (1)若連續(xù)不斷的函數f(x)是定義域上的單調函數，則f(x)至多有一個零點； (2)連續(xù)不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號； (3)連續(xù)不斷的函數圖像通過一重零點時(不是二重零點)，函數值變號；通過二重零點時，函數值可能不變號．,答案 C,答案 B,3．(2015·唐山一中模擬)設f(x)＝3x－x2，則在下列區(qū)間中，使函數f(x)有零點的區(qū)間是( ) A．[0,1] B．[1,2] C．[－2，－1] D．[－1,0] 答案 D 解析 函數f(x)在區(qū)間[a，b]上有零點，需要f(x)在此區(qū)間上的圖像連續(xù)且兩端點函數值異號，即f(a)f(b)≤0，把選擇項中的各端點值代入驗證可得答案D.,答案 B,,5．如果函數f(x)＝ax＋b(a≠0)有一個零點是2，那么函數g(x)＝bx2－ax的零點是________．,二次函數的零點問題 例1 若二次函數f(x)＝x2－2ax＋4在(1，＋∞)內有兩個零點，求實數a的取值范圍．,例2 m為何值時，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4. (1)有且僅有一個零點； (2)有兩個零點且均比－1大． 【解析】 (1)f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且僅有一個零點?方程f(x)＝0有兩個相等實根?Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.,【答案】 (1)m＝4或m＝－1 (2)(－5，－1),【講評】 對于二次函數零點問題常轉化為二次方程根的分布問題來解決，結合二次函數的圖像從判別式，韋達定理、對稱軸、端點函數值、開口方向等方面去考慮使結論成立的所有條件，這里涉及到三個“二次問題”的全面考慮和“數形結合思想”的靈活運用．,