高考數(shù)學一輪復習 第五章 平面向量 5.1 平面向量的概念及線性運算課件 文 北師大版.ppt

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第五章 平面向量,5.1 平面向量的概念及線性運算,考綱要求:1.了解向量的實際背景. 2.理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義. 3.理解向量的幾何表示. 4.掌握向量加法、減法的運算,理解其幾何意義. 5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義. 6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.,1.向量的有關(guān)概念 (1)向量:在數(shù)學中,我們把既有大小,又有方向的量統(tǒng)稱為向量. (2)向量的幾何表示:以A為起點,B為終點的向量記作 . (3)零向量:長度為零的向量稱為零向量,記作0. (4)單位向量:長度為單位1的向量叫作單位向量. (5)相等向量:我們規(guī)定,長度相等且方向相同的向量,叫作相等向量. (6)向量平行(或共線):如果表示兩個向量的有向線段所在的直線平行或重合,則稱這兩個向量平行或共線.a與b平行或共線,記作a∥b.規(guī)定,零向量與任一向量平行. (7)相反向量:把與a長度相等、方向相反的向量,叫作a的相反向量.記作-a.規(guī)定,零向量的相反向量仍是零向量.,,,,,,,,,,,2.向量的線性運算,,,,,3.向量共線的判定定理和性質(zhì)定理 (1)a是一個非零向量,若存在一個實數(shù)λ,使得b=λa,則向量b與非零向量a共線. (2)向量b與非零向量a共線,則存在一個實數(shù)λ,使得b=λa. 即b=λa(a≠0,λ∈R)?a∥b.,,,,,,,,,1,2,3,4,5,1.下列結(jié)論正確的打“√”,錯誤的打“×”. (1)向量與有向線段是一樣的,因此可以用有向線段表示向量. ( ) (3)若兩個向量共線,則其方向必定相同或相反. ( ) (4)在平行四邊形ABCD中,一定有 ,若 ,則A,B,C,D四點構(gòu)成平行四邊形. ( ) (5)若a∥b,b∥c,則a∥c. ( ),×,√,×,×,×,1,2,3,4,5,2.(2015東北四市聯(lián)考)在四邊形ABCD中,若 ,則四邊形ABCD一定是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四邊形,答案,解析,1,2,3,4,5,3.已知 ,且四邊形ABCD為平行四邊形,則( ) A.a-b+c-d=0 B.a-b+c+d=0 C.a+b-c-d=0 D.a+b+c+d=0,答案,解析,1,2,3,4,5,4.在△ABC中,D是BC的中點,則 表示為 .,答案,解析,1,2,3,4,5,5.設向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實數(shù)λ= .,答案,解析,1,2,3,4,5,自測點評 1.向量常用有向線段表示,但向量與有向線段是兩個不同的概念,有向線段由起點、終點唯一確定,而向量是由大小和方向來確定的.向量不能比較大小,但它們的?？梢员容^大小. 2.零向量的方向是任意的,它與任何向量都平行(共線). 3.向量共線與線段共線不同,前者可以不在同一直線上,而后者必須在同一直線上.同樣,兩個平行向量與兩條平行直線也是不同的,因為兩個平行向量可以移到同一直線上.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1辨析平面向量的有關(guān)概念 例1(1)對于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的 ( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)給出下列命題: ①若|a|=|b|,則a=b或a=-b;②若A,B,C,D是不共線的四點,則 是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件;③若兩個向量相等,則它們的起點相同,終點相同;④a=b的充要條件是|a|=|b|,且a∥b. 其中真命題的序號是 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:學習了向量的概念后,你對向量有怎樣的認識? 解題心得:對于向量的概念應注意以下幾條: (1)向量的兩個特征:大小和方向.向量既可以用有向線段和字母表示,也可以用坐標表示; (2)相等向量不僅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量則未必是相等向量; (3)向量與數(shù)量不同,數(shù)量可以比較大小,向量則不能,所以向量只有相等與不相等,不可以比較大小.,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練1 (1)設a0為單位向量,①若a為平面內(nèi)的某個向量,則a=|a|a0;②若a與a0平行,則a=|a|a0;③若a與a0平行,且|a|=1,則a=a0.上述命題中,假命題的個數(shù)為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)給出下列命題: ①兩個具有公共終點的向量,一定是共線向量; ②兩個向量不能比較大小,但它們的模能比較大小; ③若λa=0(λ為實數(shù)),則λ必為零; ④已知λ,μ為實數(shù),若λa=μb,則a與b共線. 其中錯誤命題的個數(shù)為( ) A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點2平面向量的線性運算 例2(1)設D為△ABC所在平面內(nèi)一點, ,則( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)設D,E,F分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點,則 =( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:在幾何圖形中,用已知向量表示未知向量的一般思路是什么?向量的線性運算與代數(shù)多項式的運算有怎樣的聯(lián)系? 解題心得:1.進行向量運算時,要盡可能地將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量,三角形的中位線及相似三角形對應邊成比例等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來. 2.向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算,實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在線性運算中同樣適用.,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練2 (1)設M為平行四邊形ABCD對角線的交點,O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點,則 等于( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點3向量共線定理及其應用 例3設兩個非零向量a與b不共線. (1)若 求證:A,B,D三點共線; (2)試確定實數(shù)k,使ka+b和a+kb共線.,答案,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:如何用向量的方法證明三點共線? 解題心得:1.證明三點共線問題,可用向量共線解決,但應注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向量共線且有公共點時,才能得出三點共線. 2.向量a,b共線是指存在不全為零的實數(shù)λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立;若λ1a+λ2b=0,當且僅當λ1=λ2=0時成立,則向量a,b不共線.,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練3 (1)已知向量a,b不共線,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c與d同向,則實數(shù)λ的值為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)設a,b是兩個不共線向量, .若A,B,D三點共線,則實數(shù)p= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(3)已知a,b是不共線的向量, ,當A,B,C三點共線時,λ,μ滿足的條件為 .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.平面向量的重要結(jié)論: (1)若存在非零實數(shù)λ,使得 ,則A,B,C三點共線. (2)相等向量具有傳遞性,非零向量的平行具有傳遞性; (3)向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量,平行向量與起點無關(guān). 2.用已知向量表示另外一些向量是用向量解題的基本功.要在所表達的圖形上多思考,多聯(lián)系相關(guān)的幾何圖形,比如平行四邊形、菱形、三角形等,可多記憶一些有關(guān)的結(jié)論. 3.向量共線的充要條件常用來證明平面幾何中的三點共線和兩條直線平行等問題.但向量平行與直線平行是有區(qū)別的,直線平行不包括重合的情形.證明三點共線或兩直線平行時,可先探索有關(guān)向量滿足b=λa(a≠0),再看兩個向量有無公共點,有則共線,無則平行.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.兩向量起點相同,終點相同,則兩向量相等;但兩相等向量,不一定有相同的起點和終點. 2.零向量和單位向量是兩個特殊的向量.它們的模確定,但方向不確定. 3.注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行間的關(guān)系.向量 是共線向量,但A,B,C,D四點不一定在一條直線上. 4.向量共線的充要條件中要注意“a≠0”,否則λ可能不存在,也可能有無數(shù)個.,易錯警示——都是零向量“惹的禍” 典例(1)下列命題正確的是 . ①向量a,b共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)λ,使b=λa; ②在△ABC中, ③不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|中兩個等號不可能同時成立; ④只有方向相同或相反的向量是平行向量; ⑤若向量a,b不共線,則向量a+b與向量a-b必不共線. (2)下列敘述錯誤的是 . ①若非零向量a與b方向相同或相反,則a+b與a,b之一的方向相同; ②|a|+|b|=|a+b|?a與b方向相同; ③ ④若λa=λb,則a=b.,答案:(1)⑤ (2)①②③④ 解析:(1)∵向量a與b不共線,∴向量a,b,a+b與a-b均不為零向量. 若a+b與a-b平行,則存在實數(shù)λ使a+b=λ(a-b),即(λ-1)a=(1+λ)b, λ無解,故假設不成立,即a+b與a-b不共線. (2)對于①,當a+b=0時,其方向任意,它與a,b的方向都不相同;對于②,當a,b之一為零向量時結(jié)論不成立;對于③,由于兩個向量之和仍是一個向量,所以 ;對于④,當λ=0時,不管a,b的大小與方向如何,都有λa=λb,此時不一定有a=b.,,