高考數(shù)學一輪復習 第五章 平面向量 5.3 平面向量的數(shù)量積課件 文 北師大版.ppt

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5.3 平面向量的數(shù)量積,考綱要求:1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義. 2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系. 3.掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算. 4.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系.,1.兩向量的夾角與垂直 (1)夾角:已知兩個非零向量a和b,如圖,作 ,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a與b的夾角. ①范圍:向量a與b的夾角的范圍是0°≤θ≤180°. ②當θ=0°時,a與b同向. ③當θ=180°時,a與b反向.,(2)垂直:如果a與b的夾角是90°,則稱a與b垂直,記作a⊥b.規(guī)定零向量可與任一向量垂直.,,,,2.投影的概念:|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影. 3.向量的數(shù)量積 (1)定義:已知兩個向量a和b,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cos θ叫作a與b的數(shù)量積(或內積),記作 a·b,即a·b=|a||b|cos θ,由定義可知零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0·a=0. (2)數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的射影|b|cos θ的乘積,或b的長度|b|與a在b方向上的射影|a|cos θ的乘積.,,,5.平面向量數(shù)量積的運算律 (1)a·b=b·a(交換律); (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(結合律); (3)a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).,1,2,3,4,5,1.下列結論正確的打“√”,錯誤的打“×”. (1)向量在另一個向量方向上的投影也是向量. ( ) (2)若a·b0,則a和b的夾角為銳角;若a·b0,則a和b的夾角為鈍角. ( ) (3)若a·b=0,則a=0或b=0. ( ) (4)(a·b)·c=a·(b·c). ( ) (5)若a·b=a·c(a≠0),則b=c. ( ),×,×,×,×,×,1,2,3,4,5,答案,解析,2.(2015課標全國Ⅱ,文4)向量a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)·a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2,3.(2015廣東,文9)在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形, =( ) A.5 B.4 C.3 D.2,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,答案,解析,4.(2015福建,文7)設a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,則實數(shù)k的值等于( ),1,2,3,4,5,答案,解析,5.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a與b的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是 .,1,2,3,4,5,自測點評 1.由于|a||b|cos θ和|b|cos θ都是數(shù)量,所以a·b和b在a方向上的投影都是一個數(shù)量,而不是向量. 2.對于兩個非零向量a與b,由于當θ=0°時,a·b0,所以a·b0是兩個向量a,b夾角為銳角的必要而不充分條件;a·b=0也不能推出a=0或b=0,因為a·b=0時,有可能a⊥b. 3.在實數(shù)運算中,若a,b∈R,則|ab|=|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),則b=c.但對于向量a,b卻有|a·b|≤|a|·|b|;若a·b=a·c(a≠0),則b=c不一定成立,原因是a·b=|a||b|cos θ,當cos θ=0時,b與c不一定相等. 4.向量數(shù)量積的運算不滿足乘法結合律,即(a·b)·c不一定等于a·(b·c),這是由于(a·b)·c表示一個與c共線的向量,而a·(b·c)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1平面向量數(shù)量積的運算 例1(1)(2015云南統(tǒng)一檢測)設向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b與2a-b平行,那么a與b的數(shù)量積等于( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)已知正方形ABCD的邊長為1,點E是AB邊上的動點,則 的值為 ; 的最大值為 .,答案:1 1,解析: (方法一)如圖,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:求向量數(shù)量積的運算有幾種形式? 解題心得:1.求兩個向量的數(shù)量積有三種方法: (1)當易知向量的模和夾角時,利用定義求解,即a·b=|a||b|cos; (2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2. (3)利用數(shù)量積的幾何意義.數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積. 2.解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運算問題時,可先利用向量的加減運算或數(shù)量積的運算律化簡再運算.但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關系是相等還是互補.,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練1 (1)設向量a,b滿足|a+b|= ,|a-b|= ,則a·b=( ) A.1 B.2 C.3 D.5,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)已知a=(1,2),2a-b=(3,1),則a·b=( ) A.2 B.3 C.4 D.5,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(3)已知兩個單位向量e1,e2的夾角為 ,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,則b1·b2= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點2平面向量的模及應用,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)(2015湖南,文8)已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且AB⊥BC,若點P的坐標為(2,0),則 的最大值為( ) A.6 B.7 C.8 D.9,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:求向量的模及求向量模的最值有哪些方法? 解題心得:1.求向量的模的方法: (1)公式法,利用|a|= 及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的運算轉化為數(shù)量積運算; (2)幾何法,利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用余弦定理等方法求解. 2.求向量模的最值(或范圍)的方法:(1)求函數(shù)最值法,把所求向量的模表示成某個變量的函數(shù)再求; (2)數(shù)形結合法,弄清所求的模表示的幾何意義,結合動點表示的圖形求解.,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練2 (1)已知向量a,b均為單位向量,它們的夾角為 ,則|a+b|=( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,考點3平面向量的夾角與平面向量的垂直,答案,解析,例3(1)(2015重慶,文7)已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),則a與b的夾角為( ),考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,(2)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c與a的夾角等于c與b的夾角,則m= .,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,思考:兩向量數(shù)量積的正負與兩向量的夾角有怎樣的關系?兩向量的垂直與其數(shù)量積有何關系? 解題心得:1.若a,b為非零向量, (夾角公式),a⊥b?a·b=0. 2.數(shù)量積大于0說明不共線的兩向量的夾角為銳角,數(shù)量積等于0說明不共線的兩向量的夾角為直角,數(shù)量積小于0且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.,,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,對點訓練3 (1)若平面向量a與平面向量b的夾角等于 ,|a|=2,|b|=3,則2a-b與a+2b的夾角的余弦值等于( ),答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,答案,解析,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.平面向量的坐標表示與向量表示的比較: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a與b的夾角.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,2.計算數(shù)量積的三種方法:定義、坐標運算、數(shù)量積的幾何意義,要靈活選用,與圖形有關的不要忽略數(shù)量積幾何意義的應用. 3.利用向量垂直或平行的條件構造方程或函數(shù)是求參數(shù)或最值問題常用的方法與技巧.,考點1,考點2,考點3,知識方法,易錯易混,1.根據(jù)兩個非零向量夾角為銳角或鈍角與數(shù)量積的正、負進行轉化時,不要遺漏共線的情況. 2.|a·b|≤|a|·|b|當且僅當a∥b時等號成立.這是因為|a·b|=|a|·|b|·|cos θ|,而|cos θ|≤1.,思想方法——函數(shù)思想與數(shù)形結合思想在數(shù)量積中的應用 典例1設e1,e2為單位向量,非零向量b=xe1+ye2,x,y∈R.若e1,e2的夾角為 的最大值等于 . 答案:2,,典例2若平面向量α,β滿足|α|=1,|β|≤1,且以向量α,β為鄰邊的平行四邊形的面積為 ,則α與β的夾角θ的取值范圍是 .,,,