高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章 推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù) 12.1 歸納與類比課件 文 北師大版.ppt

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第十二章 推理與證明、 算法初步與復(fù)數(shù),12.1 歸納與類比,考綱要求:1.了解合情推理的含義,能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類比推理,體會(huì)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 2.了解演繹推理的含義,了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異. 3.掌握演繹推理的“三段論”,能運(yùn)用“三段論”進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的演繹推理.,1.合情推理,,,,,,,,,,,,,,,,,1.合情推理 (1)歸納推理:根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性,推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性.我們將這種推理方式稱為歸納推理.簡(jiǎn)言之,歸納推理是由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理. 歸納推理的基本模式:a,b,c∈M且a,b,c具有某屬性, 結(jié)論:任意d∈M,d也具有某屬性. (2)類比推理:由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征,在此基礎(chǔ)上,根據(jù)一類對(duì)象的其他特征,推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征,我們把這種推理過程稱為類比推理.簡(jiǎn)言之,類比推理是由 特殊到特殊的推理. 類比推理的基本模式:A:具有屬性a,b,c,d;B:具有屬性:a',b',c';結(jié)論:B具有屬性d'.(a,b,c,d與a',b',c',d'相似或相同),,,,,,,,,,,(3)合情推理:根據(jù)實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果、個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺、已有的事實(shí)和正確的結(jié)論(定義、公理、定理等),推測(cè)出某些結(jié)果的推理方式.歸納推理和類比推理是最常見的合情推理. 2.演繹推理 (1)定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之,演繹推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段論”是最常見的一種演繹推理形式,包括: ①大前提——已知的一般原理; ②小前提——所研究的特殊情況; ③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況作出的判斷.,,,,2,3,4,1,6,5,1.下列結(jié)論正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”. (1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確,類比推理得到的結(jié)論一定正確. ( ) (2)歸納推理與類比推理都是由特殊到一般的推理. ( ) (3)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì),這是一種合情推理. ( ) (4)演繹推理是由特殊到一般再到特殊的推理. ( ) (5)在演繹推理中,只要符合演繹推理的形式,結(jié)論就一定正確. ( ),×,×,√,×,×,2,3,4,1,6,5,2.下面幾種推理過程是演繹推理的是( ) A.兩條直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ),如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角,則∠A+∠B=180° B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有52人,由此得高三所有班人數(shù)超過50人 C.由平面三角形的性質(zhì),推測(cè)空間四邊形的性質(zhì) D.在數(shù)列{an}中,a1=1,an= (n≥2,n∈N+),由此歸納出{an}的通項(xiàng)公式,答案,2,3,4,1,6,5,3.給出下面類比推理命題(其中Q為有理數(shù)集,R為實(shí)數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集): ①“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“若a,b∈C,則a-b=0?a=b”; ②“若a,b,c,d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“若a,b,c,d∈Q,則a+b =c+d ?a=c,b=d”; ③若“a,b∈R,則a-b0?ab”類比推出“若a,b∈C,則a-b0?ab”.其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3,答案,解析,2,3,4,1,6,5,答案,解析,4.數(shù)列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( ) A.28 B.32 C.33 D.27,2,3,4,1,6,5,答案,解析,2,3,4,1,6,5,6.(2015陜西,文16)觀察下列等式 …… 據(jù)此規(guī)律,第n個(gè)等式可為 .,答案,解析,2,3,4,1,6,5,自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.合情推理包括歸納推理和類比推理,其結(jié)論是猜想,不一定正確,若要確定其正確性,則需要證明. 2.在進(jìn)行類比推理時(shí),要從本質(zhì)上去類比,只從一點(diǎn)表面現(xiàn)象去類比,就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤. 3.應(yīng)用三段論解決問題時(shí),要明確什么是大前提、小前提,如果前提與推理形式是正確的,結(jié)論必定是正確的.若大前提或小前提錯(cuò)誤,盡管推理形式是正確的,則所得結(jié)論也是錯(cuò)誤的. 4.合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理;演繹推理是證明結(jié)論的推理.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1歸納推理 例1如圖是按一定規(guī)律排列的三角形等式表,現(xiàn)將等式從左至右,從上至下依次編上序號(hào),即第一個(gè)等式為20+21=3,第二個(gè)等式為20+22=5,第三個(gè)等式為21+22=6,第四個(gè)等式為20+23=9,第五個(gè)等式為21+23=10,……,依此類推,則第99個(gè)等式為( ) 20+21=3 20+22=5 21+22=6 20+23=9 21+23=10 22+23=12 20+24=17 21+24=18 22+24=20 23+24=24 …… A.27+213=8 320 B.27+214=16 512 C.28+214=16 640 D.28+213=8 448,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:如何進(jìn)行歸納推理? 解題心得:歸納推理是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象,因而在進(jìn)行歸納推理時(shí),首先觀察題目給出的特殊數(shù)或式的變化規(guī)律(如本例中,要觀察各行出現(xiàn)的等式個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,每個(gè)等式左邊第一個(gè)指數(shù)和第二個(gè)指數(shù)的變化規(guī)律);然后用這種規(guī)律試一試這些特殊的數(shù)或式是否符合觀察得到的規(guī)律,如果不符合,應(yīng)繼續(xù)尋找規(guī)律,如果符合,則可運(yùn)用此規(guī)律推出一般結(jié)論.,,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1 (1)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10,…,第n個(gè)三角形數(shù)為 記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式: 可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(10,24)= .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)觀察下列等式: 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, …… 照此規(guī)律,第n個(gè)等式為 .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)2類比推理 例2(1)已知在正△ABC中,若點(diǎn)P是正△ABC的邊BC上一點(diǎn),且點(diǎn)P到另兩邊的距離分別為h1,h2,正△ABC的高為h,由面積相等可以得到h=h1+h2;則在正四面體A-BCD中,若點(diǎn)P是正四面體A-BCD的平面BCD上一點(diǎn),且P到另三個(gè)面的距離分別為h1,h2,h3,正四面體A-BCD的高為h,則( ) A.hh1+h2+h3 B.h=h1+h2+h3 C.hh1+h2+h3 D.h1,h2,h3與h的關(guān)系不定,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)(2015貴州六校聯(lián)考)在平面幾何中,△ABC的內(nèi)角C的平分線CE分AB所成線段的比為 .把這個(gè)結(jié)論類比到空間:在三棱錐A-BCD中(如圖),平面DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E,則得到類比的結(jié)論是 .,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:如何進(jìn)行類比推理? 解題心得:在進(jìn)行類比推理時(shí),不僅要注意形式的類比,還要注意方法的類比,且要注意以下兩點(diǎn):(1)找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素,如:三角形對(duì)應(yīng)三棱錐,圓對(duì)應(yīng)球,面積對(duì)應(yīng)體積,平面對(duì)應(yīng)空間,低維對(duì)應(yīng)高維,等差數(shù)列對(duì)應(yīng)等比數(shù)列等等;(2)找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如:兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直,邊相等對(duì)應(yīng)面積相等,加對(duì)應(yīng)乘,乘對(duì)應(yīng)乘方,減對(duì)應(yīng)除,除對(duì)應(yīng)開方等等.,,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2 (1)(2015西安模擬)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列{bn} 也為等差數(shù)列.類比這一性質(zhì)可知,若正項(xiàng)數(shù)列{cn}是等比數(shù)列,且{dn}也是等比數(shù)列,則dn的表達(dá)式應(yīng)為( ),答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,(2)在平面幾何里,“若△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,內(nèi)切圓半徑為r,則三角形面積為S△ABC= (a+b+c)r”,拓展到空間,類比上述結(jié)論,“若四面體A-BCD的四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,內(nèi)切球的半徑為r,則四面體的體積為 ”.,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)3演繹推理,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:三段論推理的依據(jù)是什么? 解題心得:三段論的依據(jù)及應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn): (1)演繹推理的一般模式為三段論,三段論推理的依據(jù)是:如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性質(zhì)P. (2)應(yīng)用三段論的注意點(diǎn):解決問題時(shí),首先應(yīng)該明確什么是大前提,小前提,然后再找結(jié)論.,,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3 如圖所示,D,E,F分別是BC,CA,AB上的點(diǎn),∠BFD=∠A,且DE∥BA.求證:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和結(jié)論,并最終把推理過程用簡(jiǎn)略的形式表示出來).,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.合情推理與演繹推理的區(qū)別 (1)歸納是由特殊到一般的推理; (2)類比是由特殊到特殊的推理; (3)演繹推理是由一般到特殊的推理; (4)從推理的結(jié)論來看,合情推理的結(jié)論不一定正確,有待證明;而演繹推理若前提和推理形式正確,得到的結(jié)論一定正確. 2.數(shù)學(xué)研究中,在得到一個(gè)新結(jié)論前,合情推理能幫助猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)結(jié)論.在證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前,合情推理常常能為證明提供思路與方向.數(shù)學(xué)結(jié)論的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行. 3.“三段論”式的演繹推理一定要保證大前提正確,且小前提是大前提的子集關(guān)系,這樣經(jīng)過正確推理,才能得出正確結(jié)論.,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.演繹推理常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題,注意推理過程的嚴(yán)密性,書寫格式的規(guī)范性. 2.合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)不能憑空想象,要有猜想或拓展依據(jù).,