高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.4 課時(shí)2 不等式的證明課件 理.ppt

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,§14.4 不等式選講,課時(shí)1 不等式的證明,,,內(nèi)容索引,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),題型分類(lèi) 深度剖析,思想方法 感悟提高,練出高分,,,,,基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí),1.不等式證明的方法 (1)比較法： ①作差比較法： 知道ab?a－b0，ab只要證明 即可，這種方法稱(chēng)為作差比較法. ②作商比較法： 由ab0? 1且a0，b0，因此當(dāng)a0，b0時(shí)，要證明ab，只要證明 即可，這種方法稱(chēng)為作商比較法.,a－b0,,知識(shí)梳理,1,,答案,(2)綜合法： 從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過(guò)推理論證，最終推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法叫綜合法.即“ ”的方法. (3)分析法： 從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個(gè)已成立的不等式(已知條件、定理等)，從而得出要證的不等式成立，這種證明方法叫分析法.即“ ”的方法.,由因?qū)Ч?執(zhí)果索因,,答案,(4)反證法和放縮法： ①先假設(shè)要證的命題不成立，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說(shuō)明假設(shè)不正確，從而證明原命題成立，這種方法叫做反證法. ②在證明不等式時(shí)，有時(shí)要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，此利于化簡(jiǎn)并使它與不等式的另一邊的關(guān)系更為明顯，從而得出原不等式成立，這種方法稱(chēng)為放縮法.,(5)數(shù)學(xué)歸納法： 一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí)，可以用以下兩個(gè)步驟： ①證明當(dāng)n＝n0時(shí)命題成立； ②假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈N*，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明n＝k＋1時(shí)命題也成立. 在完成了這兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法.,2.幾個(gè)常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc時(shí)，等號(hào)成立). ②柯西不等式的向量形式：設(shè)α，β為平面上的兩個(gè)向量，則|α||β|≥|α·β|，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)α，β共線時(shí)成立.,(ac＋bd)2,,答案,(2)算術(shù)—幾何平均不等式,,答案,解 根據(jù)柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，,,考點(diǎn)自測(cè),2,,解析答案,1,2,3,≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.,,解析答案,1,2,3,解 ∵x0，y0，,,1,2,3,解析答案,返回,,題型分類(lèi) 深度剖析,證明 因?yàn)閤0，y0，x－y0，,,,題型一 用綜合法與分析法證明不等式,,解析答案,只需證明(a＋b＋c)2≥3. 即證：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1， 故需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca). 即證：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.,所以原不等式成立.,,解析答案,思維升華,,用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч保梅治龇ㄗC明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法.綜合法往往是分析法的逆過(guò)程，表述簡(jiǎn)單、條理清楚，所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往用分析法找思路，用綜合法寫(xiě)步驟，由此可見(jiàn)，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開(kāi)闊視野.,思維升華,設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：,證明 由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1. 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練1,,解析答案,證明 當(dāng)|a＋b|＝0時(shí)，不等式顯然成立. 當(dāng)|a＋b|≠0時(shí)，,,,題型二 放縮法證明不等式,,解析答案,思維升華,,(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的推證技巧. 常見(jiàn)的放縮變換有：,②利用函數(shù)的單調(diào)性；,(2)在用放縮法證明不等式時(shí)，“放”和“縮”均需把握一個(gè)度.,思維升華,證明 由2n≥n＋kn(k＝1,2，…，n)，,…,跟蹤訓(xùn)練2,∴原不等式成立.,,解析答案,例3 已知x，y，z均為實(shí)數(shù).,≤(12＋12＋12)(3x＋1＋3y＋2＋3z＋3)＝27.,,,題型三 柯西不等式的應(yīng)用,,解析答案,(2)若x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.,,解析答案,思維升華,,(1)使用柯西不等式證明的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個(gè)式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時(shí)，就可使用柯西不等式進(jìn)行證明.,思維升華,跟蹤訓(xùn)練3,,解析答案,返回,證明 由柯西不等式及題意得，,,返回,,思想方法 感悟提高,證明不等式的方法和技巧： (1)如果已知條件與待證明的結(jié)論直接聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”等方式給出或否定性命題、唯一性命題，則考慮用反證法；如果待證不等式與自然數(shù)有關(guān)，則考慮用數(shù)學(xué)歸納法等. (2)在必要的情況下，可能還需要使用換元法、構(gòu)造法等技巧簡(jiǎn)化對(duì)問(wèn)題的表述和證明.尤其是對(duì)含絕對(duì)值不等式的解法或證明，其簡(jiǎn)化的基本思路是去絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的不等式(組)求解.多以絕對(duì)值的幾何意義或“找零點(diǎn)、分區(qū)間、逐個(gè)解、并起來(lái)”為簡(jiǎn)化策略，而絕對(duì)值三角不等式，往往作為不等式放縮的依據(jù).,(3)在使用基本不等式時(shí)，等號(hào)成立的條件是一直要注意的事情，特別是連續(xù)使用時(shí)，要求分析每次使用時(shí)等號(hào)是否成立. (4)柯西不等式使用的關(guān)鍵是出現(xiàn)其結(jié)構(gòu)形式，也要注意等號(hào)成立的條件.,,返回,,練出高分,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,1.已知x＋y＝1，求2x2＋3y2的最小值.,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,解 由柯西不等式可得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,又a＋b＋c0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,6.已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值.,解 由柯西不等式得 (4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2， ∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(2a＋2b＋c－1)2. ∵2a＋2b＋c＝8，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,證明：(1)a＋b≥2； (2)a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時(shí)成立.,(2)假設(shè)a2＋a＜2與b2＋b＜2同時(shí)成立， 則由a2＋a＜2及a＞0得0＜a＜1； 同理，0＜b＜1，從而ab＜1，這與ab＝1矛盾. 故a2＋a＜2與b2＋b＜2不可能同時(shí)成立.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,9.(1)關(guān)于x的不等式|x－3|＋|x－4|a的解集不是空集，求a的取值范圍；,解 ∵|x－3|＋|x－4|≥|(x－3)－(x－4)|＝1，且|x－3|＋|x－4|1，即a的取值范圍是(1，＋∞).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,解 由柯西不等式，得,即25×1≥(x＋y＋z)2. ∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5. ∴x＋y＋z的取值范圍是[－5,5].,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,10.已知a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞).,解 因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,(2)求證：(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,返回,證明 方法一 由a，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1， x1，x2∈(0，＋∞)，及柯西不等式可得：,所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,解析答案,方法二 因?yàn)閍，b∈(0，＋∞)，a＋b＝1，x1，x2∈(0，＋∞)， 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1),≥x1x2(a2＋b2)＋ab(2x1x2)＝x1x2(a2＋b2＋2ab) ＝x1x2(a＋b)2＝x1x2， 當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2時(shí)，取得等號(hào). 所以(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)≥x1x2.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,,返回,