高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 第3節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系課件.ppt

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第七章 立體幾何與空間向量,第3節(jié) 空間點、直線、平面 之間的位置關(guān)系,,1．理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義． 2．了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理． 3．能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題．,[要點梳理] 1．平面的基本性質(zhì)及推論 (1)平面的基本性質(zhì)： 基本性質(zhì)1：如果一條直線上的_______在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)．,兩點,基本性質(zhì)2：經(jīng)過_______________的三點，有且只有一個平面． 基本性質(zhì)3：如果不重合的兩個平面有一個公共點，那么它們_______________過這個點的公共直線． (2)平面基本性質(zhì)的推論： 推論1：經(jīng)過一條直線和________的一點，有且只有一個平面． 推論2：經(jīng)過兩條__________有且只有一個平面． 推論3：經(jīng)過兩條__________ ，有且只有一個平面．,不在同一直線上,有且只有一條,直線外,相交直線,平行直線,2．空間中兩直線的位置關(guān)系 (1)空間兩直線的位置關(guān)系,,,,,,,0,1,0,(2)平行公理和等角定理 ①平行公理 平行于___________的兩條直線平行．用符號表示：設(shè)a，b，c為三條直線，若a∥b，b∥c，則a∥c. ②等角定理 空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角___________．,同一條直線,相等或互補(bǔ),,,3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,,,,,,,1,0,無數(shù),,,,,,,0,無數(shù),[基礎(chǔ)自測] 1．已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b( ) A．一定是異面直線 B．一定是相交直線 C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線 [解析] 由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若b∥c，則a∥b，與已知a、b為異面直線相矛盾． [答案] C,2．已知A、B表示不同的點，l表示直線，α、β表示不同的平面，則下列推理錯誤的是( ) A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α?l? α B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β?α∩β＝AB C．l? α，A∈l?A?α D．A∈α，A∈l，l? α?l∩α＝A [答案] C,3．(2015·臺州模擬)對于空間中的兩條直線，“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析] 若兩條直線異面，則一定無公共點，兩條直線無公共點時，這兩條直線可能平行，故選A. [答案] A,4．正方體各面所在平面將空間分成________部分． [解析] 如圖，上下底面所在平面把空間分成三部分；左右兩個側(cè)面所在平面將上面的每一部分再分成三個部分；前后兩個側(cè)面再將第二步得到的9部分的一部分分成三部分，共9×3＝27部分．,,[答案] 27,5．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為________．,,EF所成的角或所成角的補(bǔ)角．連接D1C知△CB1D1為正三角形，故B1C與EF所成的角為60°. [答案] 60°,,[典例透析] 考向一 平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用 例1 (2015·安順模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，求證：E，C，D1，F(xiàn)四點共面．,,[證明] 如圖，連接CD1，EF，A1B，因為E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點，所以EF∥A1B且EF＝ A1B. 又因為A1D1∥BC，且A1D1＝BC，所以四邊形A1BCD1是平行四邊形．,,所以A1B∥CD1， 所以EF∥CD1， 即EF與CD1確定一個平面α. 且E，F(xiàn)，C，D1∈α，即E，C，D1，F(xiàn)四點共面．,所以四邊形CD1FE是梯形． 所以CE與D1F必相交．設(shè)交點為P，如圖， 則P∈CE平面ABCD，且P∈D1F平面A1ADD1. 又因為平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，所以CE，D1F，DA交于一點．,,拓展提高 1.證明空間點共線問題的方法 (1)公理法：一般轉(zhuǎn)化為證明這些點是某兩個平面的公共點，再根據(jù)公理3證明這些點都在這兩個平面的交線上． (2)納入直線法：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明其余點也在該直線上． 2.點、線共面的常用判定方法 (1)納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)．,(2)輔助平面法：先證明有關(guān)的點、線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面α，β重合． (3)反證法． 提醒：在選擇已知條件確定平面時，要看其余的點或線在確定的平面內(nèi)是否能證明．,,①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④MN與A1C1是異面直線．其中正確結(jié)論的序號是________．(注：把你認(rèn)為正確命題的序號都填上) 思路點撥 過M、N作某些垂直于棱的直線找平行關(guān)系或者構(gòu)造平面判定．,[解析] 過N作NP⊥BB1于點P，連接MP，可證AA1⊥平面MNP，∴AA1⊥MN，①正確．過M、N分別作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于點R、S，則當(dāng)M不是AB1的中點、N不是BC1的中點時，直線A1C1與直線RS相交；當(dāng)M、N分別是AB1、BC1的中點時，A1C1∥RS，∴A1C1與MN可以異面，也可以平行，故②④錯誤．由①正確知，AA1⊥平面MNP，而AA1⊥平面A1B1C1D1，∴平面MNP∥平面A1B1C1D1，故③對．綜上所述，其中正確命題的序號是①③. [答案] ①③,拓展提高 空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定，對于異面直線，可采用直接法或反證法；對于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決．,活學(xué)活用1 如圖是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中， ①GH與EF平行； ②BD與MN為異面直線； ③GH與MN成60°角； ④DE與MN垂直． 以上四個命題中，正確命題的序號是________．,,[解析] 如圖所示，GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN. [答案] ②③④,,考向三 異面直線所成的角 例3 (2015·寧波調(diào)研)正方體ABCD－A1B1C1D1中． (1)求AC與A1D所成角的大小； (2)若E、F分別為AB、AD的中點，求A1C1與EF所成角的大小． 思路點撥 (1)平移A1D到B1C，找出AC與A1D所成的角，再計算． (2)可證A1C1與EF垂直．,[解] (1)如圖所示，連接AB1，B1C，由ABCD－A1B1C1D1是正方體，易知A1D∥B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角． ∵AB1＝AC＝B1C， ∴∠B1CA＝60°. 即A1D與AC所成的角為60°.,,(2)如圖所示，連接AC、BD，在正方體ABCD－A1B1C1D1中， AC⊥BD，AC∥A1C1， ∵E、F分別為AB、AD的中點， ∴EF∥BD，∴EF⊥AC. ∴EF⊥A1C1. 即A1C1與EF所成的角為90°.,,拓展提高 求異面直線所成角的一般步驟為： (1)平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置的點，如線段的中點或端點，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點． (2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角． (3)尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之．,,易錯警示12 平面直線所成的角與三角形內(nèi)角混淆 典例 (2015·廣州模擬)已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成60°角，點M、N分別是BC、AD的中點，求直線AB和MN所成的角． [正解] 如圖，取AC的中點P.,,,則△PMN是等邊三角形，所以∠PMN＝60°， 即AB與MN所成的角為60°. 若∠MPN＝120°，則易知△PMN是等腰三角形． 所以∠PMN＝30°，即AB與MN所成的角為30°. 故直線AB和MN所成的角為60°或30°. 易錯分析：①在△MPN中，找不清AB與CD、AB與MN所成的角． ②只得出∠MPN＝60°一種情況，而忽略另一種情況∠MPN＝120°，即混淆了異面直線所成的角與三角形內(nèi)角．,防范措施 (1)在用平行平移將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角時，不要忽視對三角形的內(nèi)角“即為兩異面直線所成的角(或其補(bǔ)角)”的敘述；也就是平移線段后形成的三角形的內(nèi)角為鈍角時，其對應(yīng)的異面直線所成的角為它的補(bǔ)角．求異面直線所成的角務(wù)必注意范圍(0°，90°]． (2)解三角形時要注意分析三角形是否為特殊三角形，可使解答簡單：如本題的等腰三角形．,[解] 取AC的中點F，連接EF，BF， 在△ACD中，E、F分別是AD、AC的中點，∴EF∥CD. ∴∠BEF即為異面直線BE與CD所成的角或其補(bǔ)角．,,[思維升華] 【方法與技巧】,1．主要題型的解題方法 (1)要證明“線共面”或“點共面”可先由部分直線或點確定一個平面，再證其余直線或點也在這個平面內(nèi)(即“納入法”)． (2)要證明“點共線”可將線看作兩個平面的交線，只要證明這些點都是這兩個平面的公共點，根據(jù)公理3可知這些點在交線上，因此共線．,2. 判定空間兩條直線是異面直線的方法 (1)判定方法：平面外一點A與平面內(nèi)一點B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點B的直線是異面直線． (2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面．,【失誤與防范】,1．全面考慮點、線、面位置關(guān)系的情形，可以借助常見幾何模型． 2．注意點、線、面位置關(guān)系符號的正確應(yīng)用．,