高考數學一輪總復習 第八章 第7節(jié) 曲線與方程課件.ppt

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第八章 平面解析幾何,第7節(jié) 曲線與方程,,1．了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系． 2．了解解析幾何的基本思想和利用坐標法研究幾何問題的基本方法． 3．能夠根據所給條件選擇適當的方法求曲線的軌跡方程．,[要點梳理] 1．曲線與方程 在平面直角坐標系中，如果曲線C與方程F(x，y)＝0之間具有如下關系： (1)曲線C上點的坐標都是_________________． (2)以方程F(x，y)＝0的解為坐標的點都____________．那么這個方程叫做____________，這條曲線叫做__________．,,,,,,方程F(x，y)＝0的解,在曲線C上,曲線的方程,方程的曲線,2．求動點的軌跡方程的一般步驟 (1)建系——建立適當的坐標系． (2)設點——設軌跡上的任一點P(x，y)． (3)列式——列出動點P所滿足的關系式． (4)代換——依條件式的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉化為x，y的方程式，并化簡． (5)證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程．,3．兩曲線的交點 (1)由曲線方程的定義可知，兩條曲線交點的坐標應該是兩個曲線方程的公共解，即兩個曲線方程組成的方程組的實數解；反過來，方程組有幾組解，兩條曲線就有幾個交點；方程組無解，兩條曲線就沒有交點． (2)兩條曲線有交點的充要條件是它們的方程所組成的方程組有實數解．可見，求曲線的交點問題，就是求由它們的方程所組成的方程組的實數解問題．,[解析] 由題意知，M為PQ中點，設Q(x，y)，則P為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. [答案] D,[解析] 如圖所示，設三個切點分別為M、N、Q.,,∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PM|＋|F2N|＝|F1N|＋|F2N|＝|F1F2|＋2|F2N|＝2a， ∴|F2N|＝a－c，∴N點是橢圓的右頂點， ∴CN⊥x軸，∴圓心C的軌跡為直線． [答案] D,4．已知點A(－2,0)、B(3,0)，動點P(x，y)滿足·＝x2－6，則點P的軌跡方程是________．,5．已知M(－2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點P的軌跡方程是________． [解析] 設P(x，y)，因為△MPN為直角三角形， ∴|MP|2＋|NP|2＝|MN|2， ∴(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝16，整理得，x2＋y2＝4. ∵M，N，P不共線，∴x≠±2， ∴軌跡方程為x2＋y2＝4 (x≠±2)． [答案] x2＋y2＝4 (x≠±2),拓展提高 (1)用直接法求軌跡方程的步驟：建系，設點，列方程化簡．其關鍵是根據條件列出方程來． (2)求軌跡方程時，最后要注意它的完備性與純粹性，多余的點要去掉，遺漏的點要補上．,活學活用1 如圖所示，過點P(2,4)作互相垂直的直線l1，l2，若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點M的軌跡方程．,考向二 定義法求軌跡方程 例2 已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且|O1O2|＝4.動圓M與圓O1內切，又與圓O2外切，建立適當的坐標系，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線． 思路點撥 利用兩圓內、外切的充要條件找出點M滿足的幾何條件，結合雙曲線的定義求解．,[解] 如圖所示，以O1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系．,,由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)、O2(2,0)．設動圓M的半徑為r，則由動圓M與圓O1內切，有|MO1|＝r－1；,拓展提高 求曲線的軌跡方程時，應盡量地利用幾何條件探求軌跡的曲線類型，從而再用待定系數法求出軌跡的方程，這樣可以減少運算量，提高解題速度與質量． 提醒：弄清各種常見曲線的定義是用定義法求軌跡方程的關鍵．,活學活用2 如圖，點A為圓形紙片內不同于圓心C的定點，動點M在圓周上，將紙片折起，使點M與點A重合，設折痕m交線段CM于點N.現將圓形紙片放在平面直角坐標系xOy中，設圓C：(x＋1)2＋y2＝4a2 (a＞1)，A(1,0)，記點N的軌跡為曲線E.,,思想方法18 利用參數法求軌跡方程 典例 已知拋物線y2＝4px(p＞0)，O為頂點，A、B為拋物線上的兩動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M點，則點M的軌跡為________． 審題視角 (1)點M的運動是由A點的運動引起的，而A的變動又和OA的斜率有關．(2)若OA的斜率確定，A的坐標確定，M的坐標也確定，所以可選OA的斜率為參數．,,[解析] 設點M的坐標為(x，y)，直線OA的方程為y＝kx，,,可知M點的坐標同時滿足①②， 由①及②消去k得4px＝x2＋y2， 即(x－2p)2＋y2＝4p2 (x≠0)， 當k＝±1時，容易驗證M點的坐標仍適合上述方程． 故點M的軌跡方程為(x－2p)2＋y2＝4p2(x≠0)，其軌跡是以點(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓． [答案] 以點(2p,0)為圓心，以2p為半徑的圓,方法點睛 (1)本題通過引入參數、用參數法求解較為簡捷．但很多考生找不到破解問題的切入口，無從入手．(2)個別考生由于參數選取不恰當，造成計算繁雜冗長，難以求出最終結論．(3)應用參數法求軌跡方程時，首先要選擇恰當的參數，參數必須能刻畫動點的運動變化，而且與動點坐標有直接的內在聯(lián)系．如果需要，還應顧及消去參數的方便，選定參數之后，即可當作已知數，運用軌跡條件，求出動點的坐標，即得軌跡的參數方程，消去參數即得軌跡的普通方程．,[解析] 直線l過點M(0,1)，當斜率存在時，設其斜率為k， 則l的方程為y＝kx＋1. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由題設可得點A，B的坐標(x1，y1)，(x2，y2)是方程組,[思維升華] 【方法與技巧】,求軌跡的方法 (1)直接法： 如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量(如距離與角)的等量關系，或這些幾何條件簡單明了且易于表達，我們只需把這種關系轉化為x、y的等式就得到曲線的軌跡方程．,(2)定義法： 其動點的軌跡符合某一基本軌跡(如直線或圓錐曲線)的定義，則可根據定義采用設方程，求方程系數得到動點的軌跡方程． (3)代入法(相關點法)： 當所求動點M是隨著另一動點P(稱之為相關點)而運動．如果相關點P所滿足某一曲線方程，這時我們可以用動點坐標表示相關點坐標，再把相關點代入曲線方程，就把相關點所滿足的方程轉化為動點的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關點法或代入法．,【失誤與防范】,1．求軌跡方程時，要注意曲線上的點與方程的解是一一對應關系．檢驗可從以下兩個方面進行：一是方程的化簡是否是同解變形；二是是否符合題目的實際意義． 2．求點的軌跡與軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應先求軌跡方程，然后根據方程說明軌跡的形狀、位置、大小等．,