高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第十章 第6節(jié) 離散型隨機變量的分布列及均值與方差課件.ppt

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第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布,第6節(jié) 離散型隨機變量的分布列 及均值與方差,,1．理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性． 2．理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進行簡單的應(yīng)用． 3．理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念． 4．能計算簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能解決一些實際問題．,[要點梳理] 1．離散型隨機變量 隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為___________，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量．,,,,,,隨機變量,2．離散型隨機變量的分布列 (1)定義 一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率為P(X＝xi)＝pi，則表,稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時為了簡單起見，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． (2)分布列的性質(zhì) ①pi≥0，i＝1,2，…，n；,(3)常見離散型隨機變量的分布列 ①兩點分布 若隨機變量X的分布列為,則稱X服從兩點分布，并稱p＝P(X＝1)為成功概率． ②超幾何分布,,3．均值與方差 (1)均值 稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或_________．它反映了離散型隨機變量取值的_________．,數(shù)學(xué)期望,平均水平,,,,(3)均值與方差的性質(zhì) ①E(aX＋b)＝___________. ②D(aX＋b)＝__________.(a，b為常數(shù)) 質(zhì)疑探究：隨機變量的均值、方差與樣本的均值、方差的關(guān)系是怎樣的？ 提示：隨機變量的均值、方差是一個常數(shù)，樣本的均值、方差是一個隨機變量，隨著試驗次數(shù)的增加或樣本容量的增加，樣本的均值、方差趨于隨機變量的均值與方差．,aE(X)＋b,a2D(X),3．(2013·高考廣東卷)已知離散型隨機變量X的分布列為 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)等于( ),4．已知X的分布列為 設(shè)Y＝2X＋1，則Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)的值是________．,5．在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是________． [解析] E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7. [答案] 0.7,考向一 離散型隨機變量的分布列 例1 (2015·廣州市調(diào)研)某市A，B，C，D四所中學(xué)報名參加某高校今年自主招生的學(xué)生人數(shù)如下表所示： 為了了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報名參加考試的四所中學(xué)的學(xué)生當中隨機抽取50名參加問卷調(diào)查． (1)問A，B，C，D四所中學(xué)各抽取多少名學(xué)生？,(2)從參加問卷調(diào)查的50名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，求這2名學(xué)生來自同一所中學(xué)的概率； (3)在參加問卷調(diào)查的50名學(xué)生中，從來自A，C兩所中學(xué)的學(xué)生當中隨機抽取2名學(xué)生，用ξ表示抽得A中學(xué)的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列．,拓展提高 求解離散型隨機變量X的分布列的步驟：①理解X的意義，寫出X可能取的全部值；②求X取每個值的概率；③寫出X的分布列． 提醒：求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識．,活學(xué)活用1 (2015·濟南調(diào)研)已知箱中裝有4個白球和5個黑球，且規(guī)定：取出一個白球得2分，取出一個黑球得1分．現(xiàn)從該箱中任取(無放回，且每球取到的機會均等)3個球，記隨機變量X為取出此3球所得分數(shù)之和． (1)求X的分布列； (2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).,考向二 離散型隨機變量的期望與方差 例2 (2013·天津高考)一個盒子里裝有7張卡片， 其中有紅色卡片4張， 編號分別為1, 2, 3, 4; 白色卡片3張， 編號分別為2, 3, 4. 從盒子中任取4張卡片 (假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)． (1) 求取出的4張卡片中， 含有編號為3的卡片的概率. (2) 在取出的4張卡片中， 紅色卡片編號的最大值設(shè)為X, 求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．,所以隨機變量X的分布列是,拓展提高 求離散型隨機變量ξ的均值與方差的方法 (1)理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值； (2)求ξ取每個值的概率； (3)寫出ξ的分布列； (4)由均值的定義求Eξ； (5)由方差的定義求Dξ.,活學(xué)活用2 (2015·溫州市調(diào)研)從裝有大小相同的2個紅球和6個白球的袋子中，每摸出2個球為一次試驗，直到摸出的球中有紅球(不放回)，則試驗結(jié)束． (1)求第一次試驗恰好摸到一個紅球和一個白球的概率； (2)記試驗次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).,考向三 超幾何分布 例3 近年空氣質(zhì)量逐步惡化，霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多，大氣污染危害加重．大氣污染可引起心悸、呼吸困難等心肺疾?。疄榱私饽呈行姆渭膊∈欠衽c性別有關(guān)，在某醫(yī)院隨機的對入院的50人進行了問卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表：,下面的臨界值表供參考：,思路點撥 (1)先根據(jù)已知概率求出患心肺疾病的人數(shù)，從而得出表格中的各個數(shù)據(jù)；(2)利用2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式求K2，然后利用臨界值表進行判斷；(3)先確定ξ的取值，利用超幾何分布的概率公式求其每個取值所對應(yīng)的概率，列出分布列，最后代入期望與方差的計算公式求解．,[解] (1)列聯(lián)表補充如下,拓展提高 (1)超幾何分布的兩個特點 ①超幾何分布是不放回抽樣問題． ②隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)． (2)超幾何分布的應(yīng)用 超幾何分布是一個重要分布，其理論基礎(chǔ)是古典概型，主要應(yīng)用于抽查產(chǎn)品，摸不同類別的小球等概率模型．,活學(xué)活用3 某校高一年級共有學(xué)生320人．為調(diào)查高一年級學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時間(指除了完成老師布置的作業(yè)后學(xué)生根據(jù)自己的需要進行學(xué)習(xí)的時間)情況，學(xué)校采用隨機抽樣的方法從高一學(xué)生中抽取了n名學(xué)生進行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷得到了這n名學(xué)生每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時間的數(shù)據(jù)(單位：分鐘)，按照以下區(qū)間分為7組：①[0,10)，②[10,20)，③[20,30)，④[30,40)，⑤[40,50)，⑥[50,60)，⑦[60,70]，得到頻率分布直方圖如圖．已知抽取的學(xué)生中每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時間低于20分鐘的有4人．,,(1)求n的值； (2)若高一全體學(xué)生平均每天晚自習(xí)自主支配學(xué)習(xí)時間少于45分鐘，則學(xué)校需要減少作業(yè)量．根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，學(xué)校是否需要減少作業(yè)量？(注：統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作為代表) (3)問卷調(diào)查完成后，學(xué)校從第3組和第4組學(xué)生中利用分層抽樣的方法抽取7名學(xué)生進行座談，了解各學(xué)科的作業(yè)布置情況，并從這7人中隨機抽取兩名學(xué)生聘為學(xué)情調(diào)查聯(lián)系人．設(shè)第3組中學(xué)生被聘的人數(shù)是X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．,[解] (1)由題圖知第1組和第2組的頻率分別是0.02和0.06，則n×(0.02＋0.06)＝4，解得n＝50. (2)設(shè)第i組的頻率和頻數(shù)分別是pi和xi， 由題圖知p1＝0.02，p2＝0.06，p3＝0.3，p4＝0.4，p5＝0.12，p6＝0.08，p7＝0.02， 則由xi＝50×pi可得x1＝1，x2＝3，x3＝15，x4＝20，x5＝6，x6＝4，x7＝1. 則高一學(xué)生每天平均自主支配時間是,規(guī)范答題9 離散型隨機變量的分布列、期望與方差 典例 (2013·湖南高考)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物．根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗一株該種作物的年收獲量Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：,,這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米． (1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物，求它們恰好“相近”的概率； (2)從所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望． [滿分展示],,【答題模板】 第一步：弄清題目意思，找到內(nèi)部及邊界各個點； 第二步：計算出從三角形地塊內(nèi)部及邊界各取一株作物結(jié)果種數(shù)及相近的種數(shù)； 第三步：數(shù)出各點相近點的株數(shù)，分類； 第四步：求每類的概率； 第五步：列出分布列； 第六步：計算期望．,跟蹤訓(xùn)練 (2015·北京東城模擬)為迎接6月6日的“全國愛眼日”，某高中學(xué)校學(xué)生會隨機抽取16名學(xué)生，經(jīng)校醫(yī)用對數(shù)視力表檢查得到每個學(xué)生的視力狀況的莖葉圖(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)如圖，若視力測試結(jié)果不低于5.0，則稱為“好視力”.,(1)寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)； (2)求從這16人中隨機選取3人，至少有2人是“好視力”的概率； (3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個學(xué)校的總體數(shù)據(jù)，若從該校(人數(shù)很多)任選3人，記X表示抽到“好視力”學(xué)生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．,[思維升華] 【方法與技巧】,1．對于隨機變量X的研究，需要了解隨機變量將取哪些值以及取這些值或取某一個集合內(nèi)的值的概率，對于離散型隨機變量，它的分布正是指出了隨機變量X的取值范圍以及取這些值的概率． 2．求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定ξ的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出ξ取各個值的概率．,3．求期望與方差基本方法： (1)已知隨機變量的分布列求它的期望、方差和標準差，可直接按定義(公式)求解； (2)已知隨機變量ξ的期望 、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的期望、方差和標準差，可直接用ξ的期望、方差的性質(zhì)求解； (3)如能分析所給隨機變量是服從常用的分布(如二點分布、二項分布等)，可直接利用它們的期望、方差公式求解．,【失誤與防范】,1．掌握離散型隨機變量的分布列，須注意：(1)分布列的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機變量X所有可能取得的值；第二行是對應(yīng)于隨機變量X的值的事件發(fā)生的概率．看每一列，實際上是上為“事件”，下為“事件發(fā)生的概率”，只不過“事件”是用一個反映其結(jié)果的實數(shù)表示的．每完成一列，就相當于求一個隨機事件發(fā)生的概率．(2)要會根據(jù)分布列的兩個性質(zhì)來檢驗求得的分布列的正誤．,2．在沒有準確判斷概率分布列模型之前不能亂套公式． 3．對于應(yīng)用問題，必須對實際問題進行具體分析，一般要將問題中的隨機變量設(shè)出來，再進行分析，求出隨機變量的概率分布列，然后按定義計算出隨機變量的期望、方差或標準差．,