高中數學 3.1.1 角的概念的推廣課件 湘教版必修2.ppt

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,高中數學必修2湘教版,,,第3章 三角函數 3.1 弧度制與任意角 3.1.1 角的概念的推廣,[學習目標] 1．掌握正角、負角和零角的概念，理解任意角的意義． 2. 熟練掌握象限角、終邊相同的角的概念，會用集合符號表示這些角．,預習導學,[知識鏈接] 1．手表慢了5分鐘，如何校準？手表快了1.5小時，又如何校準？ 答 可將分針順時針方向旋轉30；可將時針逆時針方向旋轉45.,預習導學,2．在初中角是如何定義的？ 答 定義1：有公共端點的兩條射線組成的幾何圖形叫做角． 定義2：平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角． 3．初中所學角的范圍是什么？ 答 角的范圍是[0，360]．,預習導學,[預習導引] 1．角的概念 (1)角的定義：角可以看成平面內 繞著端點從一個位 置 到另一個位置所成的圖形． (2)角的表示方法：①常用大寫字母 等表示； ②也可以用希臘字母 ， ， 等表示； ③特別是當角作為變量時，常用字母 表示．,預習導學,一條射線,旋轉,A，B，C,α,β,γ,x,(3)角的分類： 一條射線繞著端點以 的旋轉為正向，所成的角稱 為 ，用 來表示； 旋轉所成的角稱 為 ，用負的角度來表示；不旋轉所成的角稱為 ， 用 表示．,預習導學,逆時針方向,正角,正的角度,順時針方向,負角,零角,0,2．象限角 角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重 合，那么，角的終邊(除端點外)在第幾象限，就說這個角 是 ．如果角的終邊在坐標軸上，就認為這個角 不屬于任何一個象限． 3．終邊相同的角 設α＝∠AOB，則所有以OA為始邊，OB為終邊的角都是α 與 的和，組成集合S＝{β|β＝α＋k360， k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α 與 的和.,預習導學,第幾象限角,整數個周角,整數個周角,課堂講義,要點一 任意角概念的辨析 例1 在下列說法中： ①0～90的角是第一象限角； ②第二象限角大于第一象限角； ③鈍角都是第二象限角； ④小于90的角都是銳角． 其中錯誤說法的序號為________ 答案 ①②④,課堂講義,解析 ①0～90的角α是指[0≤α＜90)，0角不屬于任何象限，所以①不正確． ②120是第二象限角，390是第一象限角，顯然390120，所以②不正確． ③鈍角α的范圍是90＜α＜180，顯然是第二象限角，所以③正確． ④銳角α的范圍是0＜α＜90，小于90的角也可以是零角或負角，所以④不正確．,課堂講義,規(guī)律方法 判斷說法錯誤，只需舉一個反例即可．解決本題關鍵在于正確理解各種角的定義．隨著角的概念的推廣，對角的認識不能再停留在初中階段，否則判斷容易錯誤．,課堂講義,跟蹤演練1 A＝{小于90的角}，B＝{第一象限角}，則A∩B＝ ( ) A．{銳角} B．{小于90的角} C．{第一象限角} D．以上都不對 答案 D 解析 小于90的角由銳角、零角、負角組成，而第一象限的角包含有銳角及其他終邊在第一象限的角，所以A∩B是由銳角和終邊在第一象限的負角組成的集合，故選D.,課堂講義,要點二 象限角的判定 例2 在0～360范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角． (1)－150；(2)650；(3)－95015′. 解 (1)因為－150＝－360＋210，所以在0～360范圍內，與－150角終邊相同的角是210角，它是第三象限角．,課堂講義,(2)因為650＝360＋290，所以在0～360范圍內，與650角終邊相同的角是290角，它是第四象限角． (3)因為－95015′＝－3360＋12945′，所以在0～360范圍內，與－95015′角終邊相同的角是12945′角，它是第二象限角． 規(guī)律方法 本題要求在0～360范圍內，找出與已知角終邊相同的角，并判斷其為第幾象限角，這是為以后證明恒等式、化簡及利用誘導公式求三角函數的值打基礎．,課堂講義,跟蹤演練2 給出下列四個命題：①－75角是第四象限角；②225角是第三象限角；③475角是第二象限角；④－315是第一象限角，其中真命題有 ( ) A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 答案 D,課堂講義,解析 對于①：如圖1所示，－75角是第四象限角； 對于②：如圖2所示，225角是第三象限角； 對于③：如圖3所示，475角是第二象限角； 對于④：如圖4所示，－315角是第一象限角．,課堂講義,要點三 終邊相同的角的應用 例3 在與角10 030終邊相同的角中，求滿足下列條件的角． (1)最大的負角；(2)最小的正角；(3)360～720的角． 解 (1)與10 030終邊相同的角的一般形式為β＝k360＋10 030(k∈Z)，由－360k360＋10 0300，得－10 390k360－10 030，解得k＝－28，故所求的最大負角為β＝－50.,課堂講義,(2)由0k360＋10 030360，得－10 030k360－9 670，解得k＝－27，故所求的最小正角為β＝310. (3)由360≤k360＋10 030720，得－9 670≤k360－9 310，解得k＝－26，故所求的角為β＝670. 規(guī)律方法 求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構建不等式求出k的值．,課堂講義,跟蹤演練3 寫出與α＝－1 910終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720≤β360的元素β寫出來．,課堂講義,k＝4時，β＝4360－1 910＝－470； k＝5時，β＝5360－1 910＝－110； k＝6時，β＝6360－1 910＝250.,課堂講義,要點四 區(qū)域角的表示 例4 寫出終邊落在陰影部分的角的集合． 解 設終邊落在陰影部分的角為α，角α的集合由兩部分組成． ①{α|k360＋30≤αk360＋105，k∈Z}．,課堂講義,②{α|k360＋210≤αk360＋285，k∈Z}． ∴角α的集合應當是集合①與②的并集： {α|k360＋30≤αk360＋105，k∈Z} ∪{α|k360＋210≤αk360＋285，k∈Z} ＝{α|2k180＋30≤α2k180＋105，k∈Z} ∪{α|(2k＋1)180＋30≤α(2k＋1)180＋105，k∈Z} ＝{α|2k180＋30≤α2k180＋105，或(2k＋1)180＋30≤α(2k＋1)180＋105，k∈Z} ＝{α|n180＋30≤αn180＋105，n∈Z}．,課堂講義,規(guī)律方法 解答此類題目應先在0～360上寫出角的集合，再利用終邊相同的角寫出符合條件的所有角的集合，如果集合能化簡的還要化成最簡．本題還要注意實線邊界與虛線邊界的差異．,課堂講義,跟蹤演練4 如圖，若角α的終邊落在函數y＝x(x≥0)與y＝－x(x≤0)的圖象所夾的區(qū)域(即圖中陰影部分，不包括邊界)內，求角α的集合．,課堂講義,解 終邊落在函數y＝x(x≥0)的圖象上的角的集合是{α|α＝45＋k360，k∈Z}， 終邊落在函數y＝－x(x≤0)的圖象上的角的集合是{α|α＝135＋k360，k∈Z}． 所以所求角的集合是{α|45＋k360α135＋k360，k∈Z}.,當堂檢測,1．－361的終邊落在 ( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案 D,當堂檢測,2．集合A＝{α|α＝k90－36，k∈Z}，B＝{β|－180＜β＜180}，則A∩B等于 ( ) A．{－36，54} B．{－126，144} C．{－126，－36，54，144} D．{－126，54} 答案 C 解析 令－180＜k90－36＜180，則－144＜k90＜216，當k＝－1,0,1,2時，不等式均成立，所對應的角分別為－126，－36，54，144，故選C.,當堂檢測,3．若角α滿足180α360，角5α與α有相同的始邊，且又有相同的終邊，那么角α＝________. 答案 270 解析 由于5α與α的始邊和終邊相同，所以這兩角的差應是360的整數倍，即5α－α＝4α＝k360. 又180α360，令k＝3，得α＝270.,當堂檢測,4．寫出終邊落在坐標軸上的角的集合S. 解 終邊落在x軸上的角的集合： S1＝{β|β＝k180，k∈Z}； 終邊落在y軸上的角的集合： S2＝{β|β＝k180＋90，k∈Z}； ∴終邊落在坐標軸上的角的集合： S＝S1∪S2＝{β|β＝k180，k∈Z}∪{β|β＝k180＋90，k∈Z}＝{β|β＝2k90，k∈Z}∪{β|β＝(2k＋1)90，k∈Z}＝{β|β＝n90，n∈Z}．,1．對角的理解，初中階段是以“靜止”的眼光看，高中階段應用“運動”的觀點下定義，理解這一概念時，要注意“旋轉方向”決定角的“正負”，“旋轉幅度”決定角的“絕對值大小”．,當堂檢測,2．關于終邊相同角的認識 一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α＋k360，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數個周角的和． 注意：(1)α為任意角． (2)k360與α之間是“＋”號，k360－α可理解為k360＋(－α)． (3)相等的角終邊一定相同；終邊相同的角不一定相等，終邊相同的角有無數多個，它們相差360的整數倍． (4)k∈Z這一條件不能少.,當堂檢測,