高考數(shù)學(xué)總復(fù)習 第九章 第5講 離散型隨機變量及其分布列課件 理.ppt

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第5講,離散型隨機變量及其分布列,1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，,了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性.,2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進行簡單的應(yīng)用. 3.了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念，能理解 n 次 獨立重復(fù)實驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問 題.,1.隨機變量,(1)隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字,母 X，Y，ξ，η…表示.,(2)所有取值可以一一列出的隨機變量稱為離散型隨機變,量.,(3)隨機變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫,做連續(xù)型隨機變量.,2.條件概率及其性質(zhì) (1)條件概率的定義：,A 發(fā)生的條件下，事件 B 發(fā)生的概率. (2)條件概率的求法： 求條件概率除了可借助定義中的公式，還可以借助古典概,(3)條件概率的性質(zhì)：,0,1,①條件概率具有一般概率的性質(zhì)，即____≤P(B|A)≤____； ②若 B 和 C 是兩個互斥事件，則 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋ P(C|A).,3.事件的相互獨立性,P(A)P(B),(1)設(shè) A，B 為兩個事件，若 P(AB)＝__________，則稱事件 A 與事件 B 相互獨立.,4.離散型隨機變量的分布列,稱為離散型隨機變量 X 的概率分布列，簡稱為 X 的分布列. 有時為了表達簡單，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表 示 X 的分布列.,一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表：,5.離散型隨機變量分布列的性質(zhì),(1)pi≥0(i＝1,2，…，n).(2)p1＋p2＋…＋pn＝1. 6.常見的離散型隨機變量的分布列 (1)兩點分布：,如果隨機變量 X 的分布列為：,其中 0p1，稱 X 服從兩點分布，而稱 p＝P(X＝1)為成功,概率.,(2)超幾何分布： 一般地，在含有 M 件次品的 N 件產(chǎn)品中，任取 n 件，其中恰,k＝0,1,2，…，m(其中 m＝min{M，n}，且 n≤N，M≤N，n，M， N∈N*)，稱隨機變量 X 服從超幾何分布，其分布列如下表：,(3)二項分布：,一般地，在 n 次獨立重復(fù)試驗中，設(shè)事件 A 發(fā)生的次數(shù)為 X，在每次試驗中事件 A 發(fā)生的概率為 p，那么在 n 次獨立重復(fù),(k＝0,1,2,…,n).此時稱隨機變量 X 服從二項分布.記作 X～B(n， p)，并稱 p 為成功概率.其分布列如下表：,1.下列四個表格中，可以作為離散型隨機變量分布列的一,個是(,),C,D,C,4.某一射手射擊所得的環(huán)數(shù)ξ的分布列如下：,0.7,此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)不小于 8 環(huán)”的概率為______.,考點 1,離散型隨機變量的分布列,例 1：(2014 年廣東珠海二模)已知甲、乙兩名乒乓球運動 員進行比賽，根據(jù)二人以往比賽資料統(tǒng)計，在一局比賽中，甲 甲、乙二人準備進行三局比賽. (1)求在三局比賽中甲勝前兩局、乙勝第三局的概率； (2)用ξ表示三局比賽中甲獲勝的局數(shù)，求ξ的分布列.,【規(guī)律方法】離散型隨機變量的分布列的求法：,①寫出X 的所有可能取值(注意準確理解X 的含義，以免失,誤)；,②利用概率知識(古典概型或相互獨立事件的概率)求出 X,取各值的概率；,③列表并檢驗，寫出分布列.,【互動探究】,1.(2013 年山東)甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝 3 局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束，除第五局甲隊獲勝的概,結(jié)果相互獨立.,(1)分別求甲隊以 3∶0,3∶1,3∶2 獲勝的概率；,(2)若比賽結(jié)果為 3∶0 或 3∶1，則勝利方得 3 分，對方得 0 分；若比賽結(jié)果為 3∶2，則勝利方得 2 分，對方得 1 分.求乙 隊得分 X 的分布列.,解：(1)記“甲隊以 3∶0,3∶1,3∶2 獲勝”分別為事件 A1， A2，A3.由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，,(2)設(shè)“乙隊以 3∶2 獲勝”為事件 A4，由題意，各局比賽 結(jié)果相互獨立，所以,由題意，隨機變量X 的所有可能的取值為0,1,2,3，，根據(jù)事 件的互斥性，得,故 X 的分布列為：,考點 2,超幾何分布的應(yīng)用,例 2：2012 年春節(jié)前，有超過 20 萬名廣西、四川等省籍的 外來務(wù)工人員選擇駕乘摩托車沿 321 國道長途跋涉返鄉(xiāng)過年， 為防止摩托車駕駛?cè)艘蜷L途疲勞駕駛，手腳僵硬影響駕駛操作 而引發(fā)交通事故，肇慶市公安交警部門在 321 國道沿線設(shè)立了 多個長途行駛摩托車駕乘人員休息站，讓過往返鄉(xiāng)過年的摩托 車駕駛?cè)藛T有一個停車休息的場所.交警小李在某休息站連續(xù) 5 天對進站休息的駕駛?cè)藛T每隔 50 輛摩托車就詢問駕駛?cè)藛T的 省籍一次，詢問結(jié)果如圖 9-5-1：,圖 9-5-1,(1)問交警小李對進站休息的駕駛?cè)藛T的省籍詢問采用的,是什么抽樣方法？,(2)用分層抽樣的方法對被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T進行抽,樣，若廣西籍的有 5 名，則四川籍的應(yīng)抽取幾名？,(3)在上述抽出的駕駛?cè)藛T中任取 2 名，求抽取的 2 名駕駛,人員中四川籍人數(shù)ξ的分布列.,解：(1)交警小李對進站休息的駕駛?cè)藛T的省籍詢問采用的 是系統(tǒng)抽樣方法. (2)從圖中可知，被詢問了省籍的駕駛?cè)藛T是廣西籍的有 5 ＋20＋25＋20＋30＝100(名)， 四川籍的有 15＋10＋5＋5＋5＝40(名). 設(shè)四川籍的駕駛?cè)藛T應(yīng)抽取 x 名，依題意，得,(3)ξ的所有可能取值為 0,1,2.,ξ的分布列為：,【規(guī)律方法】在超幾何分布中，只要知道N，M 和 n，就 可以根據(jù)公式，求出X 取不同值m 時的概率P(X＝m)，從而列 出 X 的分布列.,【互動探究】,2.一個口袋中裝有大小相同的 2 個白球和 3 個黑球.,(1)采取放回抽樣方式，從中摸出 2 個球，求 2 個球恰好顏,色不同的概率；,(2)采取不放回抽樣方式，從中摸出 2 個球，求摸得白球的,個數(shù)的分布列.,解：(1)采取放回抽樣方式，從中摸出 2 個球，2 球恰好顏 色不同，也就是說從 5 個球中摸出一球，若第一次摸到白球， 則第二次摸到黑球；若第一次摸到黑球，則第二次摸到白球.,考點 3,二項分布的應(yīng)用,例 3：(2014 年上海金山一模)2012 年 3 月 2 日，國家環(huán)保 部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標準》.其中規(guī)定：居民區(qū)中 的 PM2.5 年平均濃度不得超過 35 微克/立方米，PM2.5 的 24 小 時平均濃度不得超過 75 微克/立方米.某城市環(huán)保部門隨機抽取 了一居民區(qū) 2013 年 40 天的 PM2.5 的 24 小時平均濃度的監(jiān)測 數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：,(1)請你根據(jù)上表的數(shù)據(jù)統(tǒng)計估計該樣本的眾數(shù)和中位數(shù),(不必寫出計算過程)；,(2)求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計總體的思想，從 PM2.5 的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改 進？并說明理由；,(3)將頻率視為概率，對于 2013 年的某 2 天，記這 2 天中 該居民區(qū) PM2.5 的 24 小時平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標準的 天數(shù)為ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望 E(ξ).,解：(1)眾數(shù)約為 22.5，中位數(shù)約為 37.5. (2)去年該居民區(qū) PM2.5 年平均濃度為 7.50.1 ＋22.50.3 ＋37.50.2 ＋52.50.2 ＋67.50.1 ＋ 82.50.1＝40.5(微克/立方米). 因為40.535，所以2013 年該居民區(qū)PM2.5 年平均濃度不 符合環(huán)境空氣質(zhì)量標準， 故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進. (3)記事件 A 表示“一天 PM2.5 的 24 小時平均濃度符合環(huán),【規(guī)律方法】(1)判斷一個隨機變量是否服從二項分布，關(guān) 鍵有兩點：一是對立性，即一次試驗中，事件發(fā)生與否必居其 一；二是重復(fù)性，即試驗是否獨立重復(fù)進行了 n 次.,(2)二項分布滿足的條件：,①每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的； ②各次試驗中的事件是相互獨立的；,③每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生； ④隨機變量是這 n 次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù).,【互動探究】,3.一袋子中有大小相同的 2 個紅球和 3 個黑球，從袋子里 隨機取球，取到每個球的可能性是相同的，設(shè)取到 1 個紅球得 2 分，取到 1 個黑球得 1 分.,(1)若從袋子里一次隨機取出 3 個球，求得 4 分的概率； (2)若從袋子里每次取出 1 個球，看清顏色后放回，連續(xù)取,3 次，求得分ξ的概率分布列.,●思想與方法●,⊙分類討論思想與離散型隨機變量的結(jié)合,例題：(2014 年福建)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎 的方式對 1000 位顧客進行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有 4 個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出 2 個球，球上所標的面 值之和為該顧客所獲的獎勵額.,(1)若袋中所裝的 4 個球中有 1 個所標的面值為 50 元，其,余 3 個均為 10 元，求：,i)顧客所獲的獎勵額為 60 元的概率；,ii)顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望.,(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是 60 000 元，并規(guī)定袋中的 4 個 球只能由標有面值為 10 元和 50 元的兩種球組成，或標有面值 為 20 元和 40 元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可 能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋 中的 4 個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.,ii)依題意，得X 的所有可能取值20,60.,即 X 的分布列為：,所以顧客所獲的獎勵額的期望為 E(X)＝200.5＋600.5,＝40.,(2)根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案. 對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1； 對于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.,以下是對兩個方案的分析： 對于方案 1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為 X1，則 X1 的分布列為,對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為 X2，則 X2 的分布列為：,由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案 2 獎勵 額的方差比方案 1 的小，所以應(yīng)該選擇方案 2.,【規(guī)律方法】本題主要考查相互獨立事件及互斥事件概率 的計算，考查分類討論思想以及運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力. 尤其是運用分類討論思想解決離散型隨機變量分布列問題的時 候，可通過檢查最后求出的分布列是否符合分布列的兩個性質(zhì) 來檢查分類討論是否有所遺漏或重復(fù).,