2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第四章 平面向量與復(fù)數(shù).doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義 第四章 平面向量與復(fù)數(shù) 【知識圖解】 Ⅰ.平面向量知識結(jié)構(gòu)表 向量 向量的概念 向量的運算 向量的運用 向量的加、減法 實數(shù)與向量的積 向量的數(shù)量積 兩個向量平行的充要條件件件 兩個向量垂直的充要條件件件 Ⅱ.復(fù)數(shù)的知識結(jié)構(gòu)表 數(shù)系的擴充與 復(fù)數(shù)的引入 復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)的運算 數(shù)系的擴充 【方法點撥】 由于向量融形、數(shù)于一體,具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”,使它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點,成為聯(lián)系眾多知識內(nèi)容的媒介。所以,向量成為了“在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計試題”的很好載體。從高考新課程卷來看,對向量的考查力度在逐年加大,除了直接考查平面向量外,將向量與解析幾何、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合,在知識交匯點處命題,既是當(dāng)今高考的熱點,又是重點。 復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的平面向量知識,既要注重回顧和梳理基礎(chǔ)知識,又要注意平面向量與其他知識的綜合運用,滲透用向量解決問題的思想方法,從而提高分析問題與綜合運用知識解決問題的能力,站在新的高度來認識和理解向量。 1. 向量是具有大小和和方向的量,具有“數(shù)”和“形”的特點,向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁,在處理向量問題時注意用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 2. 平面向量基本定理是處理向量問題的基礎(chǔ),也是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ),它表明同一平面內(nèi)任意向量都可以表示為其他兩個不共線向量的線性組合. 3. 向量的坐標(biāo)表示實際上是向量的代數(shù)形式,引入坐標(biāo)表示,可以把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決. 4. 要了解向量的工具作用,熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡單問題的方法. 第1課 向量的概念及基本運算 【考點導(dǎo)讀】 1. 理解平面向量和向量相等的含義,理解向量的幾何表示. 2. 掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運算,并理解其幾何意義. 3. 了解平面向量基本定理及其意義. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.出下列命題:①若,則;②若A、B、C、D是不共線的四點,則是四邊形為平行四邊形的充要條件;③若,則;④的充要條件是且;⑤若,,則。其中,正確命題材的序號是②③ 2. 化簡得 3.在四邊形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,其中a、b不共線,則四邊形ABCD為梯形O A P Q B a b 第4題 4.如圖,設(shè)點P、Q是線段AB的三等分點, 若=a,=b,則=, = (用a、b表示) 【范例導(dǎo)析】 D C E F A B 例1 .已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點分別為E、F, 求證:. 分析:構(gòu)造三角形,利用向量的三角形法則證明. 證明:如圖,連接EB和EC , 例1 由和可得, (1) 由和可得, (2) (1)+(2)得, (3) ∵E、F分別為AD和BC的中點,∴,, 代入(3)式得, 點撥:運用向量加減法解決幾何問題時,需要發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造三角形或平行四邊形. 例2.已知不共線,,求證:A,P,B三點共線的充要條件是 分析:證明三點共線可以通過向量共線來證明. 解:先證必要性:若A,P,B三點共線,則存在實數(shù),使得,即,∴∵,∴,∴ 再證充分性:若則==,∴ 與共線,∴A,P,B三點共線. 點撥:向量共線定理是向量知識中的一個基本定理,通??梢宰C明三點共線、直線平行等問題. 【反饋練習(xí)】 1.已知向量a和b反向,則下列等式成立的是(C) A. |a|-|b|=|a-b| B. |a|-|b|=|a+b| C.|a|+|b|=|a-b| D. |a|+|b|=|a+b| 2.設(shè)四邊形ABCD中,有則這個四邊形是(C) A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 3.設(shè)A、B、C、D、O是平面上的任意五點,試化簡: ①, ②, ③。 解析:①原式= ; ②原式= ; ③原式= 。 4.設(shè)為未知向量, 、為已知向量,滿足方程2-(5+3-4)+-3=0, 則=(用、表示) 5.在四面體O-ABC中,為BC的中點,E為AD的中點,則=(用a,b,c表示) 6如圖平行四邊形OADB的對角線OD,AB相交于點C,線段BC上有一點M滿足BC=3BM,線段CD上有一點N滿足CD=3CN,設(shè) 第6題 解: . 第2課 向量的數(shù)量積 【考點導(dǎo)讀】 1. 理解平面向量數(shù)量積的含義及幾何意義. 2. 掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算律. 3. 掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達式. 4. 能用平面向量數(shù)量積處理有關(guān)垂直、角度、長度的問題. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.已知均為單位向量,它們的夾角為,那么 2.在直角坐標(biāo)系中,分別是與軸,軸平行的單位向量,若直角三角形中,,,則的可能值個數(shù)為2個 3. 若,,與的夾角為,若,則的值為 4.若,且,則向量與的夾角為 120 【范例導(dǎo)析】 例1.已知兩單位向量與的夾角為,若,試求與的夾角的余弦值。 分析:利用及求解. 解:由題意,,且與的夾角為,所以,,,同理可得 而,設(shè)為與的夾角,則 點評:向量的模的求法和向量間的乘法計算可見一斑。 例2.已知平面上三個向量、、的模均為1,它們相互之間的夾角均為120, (1)求證:⊥;(2)若,求的取值范圍. 分析:問題(1)通過證明證明,問題(2)可以利用 解:(1)∵ ,且、、之間的夾角均為120, ∴ ∴ (2)∵ ,即 也就是 ∵ ,∴ 所以 或. 解:對于有關(guān)向量的長度、夾角的求解以及垂直關(guān)系的判斷通常是運用平面向量的數(shù)量積解決. 例3.如圖,在直角△ABC中,已知,若長為的線段以點為中點,問的夾角取 何值時的值最大?并求出這個最大值 分析:本題涉及向量較多,可通過向量的加減法則得 ,再結(jié)合直角三 角形和各線段長度特征法解決問題 解: 例3 點撥:運用向量的方法解決幾何問題,充分體現(xiàn)了向量的工具性,對于大量幾何問題,不僅可以用向量語言加以敘述,而且完全可以借助向量的方法予以證明和求解,從而把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的向量運算. 【反饋練習(xí)】 第2題 1.已知向量滿足則與的夾角為 2.如圖,在四邊形ABCD中, ,則的值為4 3.若向量滿足,的夾角為60,則= 4.若向量,則 5.已知| a|=4,|b|=5,|a+b|= ,求:① ab ;②(2a-b) (a+3b) 解:(1)|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2ab+|b|2,∴ (2)(2a-b)(a+3b)=2a2+5ab-3b2=2|a|2+5ab-3|b|2=242+5(-10)-352=-93. 6.已知a與b都是非零向量,且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,求a與b的夾角. 解:∵且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直, ∴(a+3b)(7a-5b)=0,(a-4b)(7a-2b)=0 ∴7a2+16 ab-15 b2=0,7a2-30 ab+8 b2=0, ∴b2=2 ab,|a|=|b| ∴ ∴ 第3課 向量的坐標(biāo)運算 【考點導(dǎo)讀】 1. 掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示. 2. 會用坐標(biāo)表示平面向量的加減及數(shù)乘、數(shù)量積運算. 3.掌握平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)表示,并利用它解決向量平行的有關(guān)問題. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1若=,=,則= 2平面向量中,若,=1,且,則向量= 3.已知向量,且A、B、C三點共線,則k= 4.已知平面向量,,且,則1 【范例導(dǎo)析】 例1.平面內(nèi)給定三個向量,回答下列問題: (1)求滿足的實數(shù)m,n; (2)若,求實數(shù)k; (3)若滿足,且,求 分析:本題主要考察向量及向量模的坐標(biāo)表示和向量共線的充要條件. 解:(1)由題意得 所以,得 (2) (3)設(shè),則 由題意得 得或∴ 點撥:根據(jù)向量的坐標(biāo)運算法則及兩個向量平等行的充要條件、模的計算公式,建立方程組求解。 例2.已知△ABC的頂點分別為A(2,1),B(3,2),C(-3,-1),BC邊上的高為AD,求及點D的坐標(biāo)、 分析:注意向量坐標(biāo)法的應(yīng)用,及平行、垂直的充要條件. 解:設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y) ∵AD是邊BC上的高, ∴AD⊥BC,∴⊥ 又∵C、B、D三點共線, ∴∥ 又=(x-2,y-1), =(-6,-3) =(x-3,y-2) 例2 ∴ 解方程組,得x=,y= ∴點D的坐標(biāo)為(,),的坐標(biāo)為(-,) 點撥:在解題中要注意綜合運用向量的各種運算解決問題. 例3.已知向量且 求(1)及;(2)若的最小值是,求的值。 分析:利用向量的坐標(biāo)運算轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解. 解:(1) , 。 (2) (1) 當(dāng)時, (2) 當(dāng)時, (3) 當(dāng)時, 綜上所述:。 點撥:注意運用不同章節(jié)知識綜合處理問題,對于求二次函數(shù)得分最值問題,注意分類討論. 【反饋練習(xí)】 1.已知向量,,則與 (A)23 A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向 2.與向量a=b=的夾解相等,且模為1的向量是 3.已知向量且則向量等于 4.已知向量120 5.若,試判斷則△ABC的形狀____直角三角形_____ 6.已知向量,向量,則的最大值是 4 7.若是非零向量且滿足, ,則與的夾角是 8.已知: 、、是同一平面內(nèi)的三個向量,其中 =(1,2) (1)若||,且,求的坐標(biāo); (2)若||=且與垂直,求與的夾角. 解:(1)設(shè),由和可得: ∴ 或 ∴,或 (2) 即 ∴ , 所以 ∴ ∵ ∴ . 9.已知點是且試用. 解:以O(shè)為原點,OC,OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標(biāo)系. 由OA=2,,所以, 第9題 易求,設(shè) . 第4課 向量綜合應(yīng)用 【考點導(dǎo)讀】 1. 能綜合運用所學(xué)向量知識及有關(guān)數(shù)學(xué)思想方法解決向量知識內(nèi)部綜合問題和與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列等知識的綜合問題. 2. 能從實際問題中提煉概括數(shù)學(xué)模型,了解向量知識的實際應(yīng)用. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.已知a=(5,4),b=(3,2),則與2a-3b平行的單位向量為 2.已知=1,=1,a與b的夾角為60,x=2a-b,y=3b-a,則x與y的夾角的余弦值為 【范例導(dǎo)析】 例1.已知平面向量a=(,-1),b=(, ). (1) 若存在實數(shù)k和t,便得x=a+(t2-3)b, y=-ka+tb,且x⊥y,試求函數(shù)的關(guān)系式k=f(t); (2) 根據(jù)(1)的結(jié)論,確定k=f(t)的單調(diào)區(qū)間。 分析:利用向量知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解. 解:(1)法一:由題意知x=(,), y=(t-k,t+k),又x⊥y 故x y=(t-k)+(t+k)=0。 整理得:t3-3t-4k=0,即k=t3-t. 法二:∵a=(,-1),b=(, ), ∴. =2,=1且a⊥b ∵x⊥y,∴x y=0,即-k2+t(t2-3)2=0,∴t3-3t-4k=0,即k=t3-t (2) 由(1)知:k=f(t) =t3-t ∴k=f(t) =t2-, 令k<0得-1<t<1;令k>0得t<-1或t>1. 故k=f(t)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1, 1 ),單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1)和(1,+∞). 點撥:第1問中兩種解法是解決向量垂直的兩種常見的方法:一是先利用向量的坐標(biāo)運算分別求得兩個向量的坐標(biāo),再利用向量垂直的充要條件;二是直接利用向量的垂直的充要條件,其過程要用到向量的數(shù)量積公式及求模公式,達到同樣的求解目的(但運算過程大大簡化,值得注意)。第2問中求函數(shù)的極值運用的是求導(dǎo)的方法,這是新舊知識交匯點處的綜合運用。 例2.已知兩個力(單位:牛)與的夾角為,其中,某質(zhì)點在這兩個力的共同作用下,由點移動到點(單位:米) (1) 求; (2) 求與的合力對質(zhì)點所做的功 分析:理解向量及向量數(shù)量積的物理意義,將物理中的求力和功的問題轉(zhuǎn)化為向量問題解決. 點撥:學(xué)習(xí)向量要了解向量的實際背景,并能用向量的知識解決方一些簡單的實際問題. 【反饋練習(xí)】 1.平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,已知兩點A(3, 1),B(-1, 3), 若點C滿足,其中,∈R且+=1,則點C的軌跡方程為x+2y-5=0 2.已知a,b是非零向量且滿足(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,則a與b的夾角是 第5題 3. 已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點,且|+|=|-|,其中O為原點,則實數(shù)a的值為2或-2 4.已知向量a=(),向量b=(),則|2a-b|的最大值是 4 5.如圖, , (1)若∥,求x與y間的關(guān)系; (2)在(1)的條件下,若有,求x,y的值及四邊形ABCD的面積. 解(1)又∥ ① (2)由⊥,得(x-2)(6+x)+(y-3)(y+1)=0,② 即x2+y2+4x-2y-15=0由①,②得或 第5課 復(fù)數(shù)的概念和運算 【考點導(dǎo)讀】 1.了解數(shù)系的擴充的基本思想,了解引入復(fù)數(shù)的必要性. 2.理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念,掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義. 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1.設(shè)、、、,若為實數(shù),則 2.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是 3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)+(1+i)2對應(yīng)的點位于第二象限 4.若復(fù)數(shù)滿足方程,則 【范例導(dǎo)析】 例 .m取何實數(shù)時,復(fù)數(shù)(1)是實數(shù)?(2)是虛數(shù)?(3)是純虛數(shù)? 分析:本題是判斷復(fù)數(shù)在何種情況下為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù).由于所給復(fù)數(shù)z已寫成標(biāo)準(zhǔn)形式,即,所以只需按題目要求,對實部和虛部分別進行處理,就極易解決此題. 解:(1)當(dāng)即 ∴時,z是實數(shù). (2)當(dāng)即 ∴當(dāng)且時,z是虛數(shù). (3)當(dāng)即∴當(dāng)或時,z是純虛數(shù). 點撥:研究一個復(fù)數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)或純虛數(shù)時,首先要保證這個復(fù)數(shù)的實部、虛部是有意義的,這是一個前提條件,學(xué)生易忽略這一點.如本題易忽略分母不能為0的條件,丟掉,導(dǎo)致解答出錯. 【反饋練習(xí)】 1.如果復(fù)數(shù)是實數(shù),則實數(shù) 2.已知復(fù)數(shù)z滿足(+3i)z=3i,則z= 3.若復(fù)數(shù)Z=,則Z+Z+1+i的值為0 4.設(shè)、為實數(shù),且,則+=4.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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