2019-2020年高三數(shù)學 等差數(shù)列及其前n項和導學案.doc

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2019-2020 年高三數(shù)學 等差數(shù)列及其前 n 項和導學案 【學習目標】 ①理解等差數(shù)列的概念； ②探索并掌握等差數(shù)列的通項公式與前項和公式； ③體會等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的關(guān)系；等差數(shù)列前項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系； ④掌握等差數(shù)列的一些基本性質(zhì)； 【自主學習】 1.要點梳理 1、等差數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從 起，每一項與它的前一項的差都等于 ，那么這個數(shù)列就叫做 等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的 ，通常用字母 表示。 2、等差數(shù)列的通項公式 若等差數(shù)列的首項為，公差是，則其通項公式為 ;掌握公式的推導方法 3、等差中項 如果三個數(shù)成 ，則叫做和的等差中項，且有= 4、等差數(shù)列的前項和公式 = = （二次型）;掌握公式的推導方法 5、等差數(shù)列的判定方法 （1）定義法： 是等差數(shù)列 （2）等差中項： 是等差數(shù)列 （3）通項公式法： 是等差數(shù)列 （4）前項和法： 是等差數(shù)列 6、等差數(shù)列的性質(zhì) (1)通項公式的推廣： （2）若是等差數(shù)列，且 ??????Nnmlklk,,，則 （3）若是等差數(shù)列 ，公差為，則也是等差數(shù)列，公差為 （4）若是等差數(shù)列 ，則 ??akk,,2? 組成公差為 的等差數(shù)列。 （5）若、是等差數(shù)列 ，則是 7、 等差數(shù)列與等差數(shù)列各項和有關(guān)的性質(zhì) （1）若是等差數(shù)列，則也成 數(shù)列，其首項與首項相同，公差是公差的 （2）分別是的前項，前項，前項的和， 成等差數(shù)列 ，公差為 （3）若項數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列有 ????1212 ???nnnaaS ； ， （4 若項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列有 中,?； ， ， （5）若、是等差數(shù)列 ，設其前項和分別為 ，則 （6）是等差數(shù)列①若有 值，何時取最值可由不等式組或關(guān)于的二次函數(shù)的對稱 軸來確定。 ② 若有 值，何時取最值可由不等式組或關(guān)于的二次函數(shù)的對稱軸來確定。 （7）等差數(shù)列中，①若 ??????Nnmanm,, ，則 等差數(shù)列中，②若 S,，則 等差數(shù)列中，③若 ?n ，則 8、常用的方法與技巧 （1）三數(shù)成等差數(shù)列的設法：、 、 ，為公差。 四數(shù)成等差數(shù)列的設法：、 、 、 ，公差 。 （2）會用方程的思想處理等差數(shù)列的有關(guān)問題：等差數(shù)列的通項公式和前項和公式涉及 五個量：， “知三求二” ，同時還應注意整體代換。 2、基礎自測 1、等差數(shù)列的前項和為，若，則 …… （ ） A、12 B、10 C、8 D、6 2、等差數(shù)列中，已知 3,4,3152???naa，則為……（ ） A、48 B、49 C、50 D、51 3、首項為-24 的等差數(shù)列，從第十項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是……（ ） A、 B、 C、 D、 4、一個有限項的等差數(shù)列，它的前 5 項和為 34,最后 5 項和為 146，所有項和為 234，則 它的第七項等于……（ ） A、22 B、21 C、 19 D、18 5、設等差數(shù)列、 ，其前項和分別為 ，若對任意的自然數(shù)都有，則的值為 【典例分析】 ★ 等差數(shù)列的基本運算等差數(shù)列的基本運算 例 1、設是一個公差為的等差數(shù)列，它的前 10 項和且成等比數(shù)列。 （1）證明； （2）求公差的值和數(shù)列的通項公式。 例 2、（xx 安徽卷文）已知為等差數(shù)列， ，則等于……（ ） A. -1 B. 1 C. 3 D.7 例 3、 （四川文 7）等差數(shù)列{ an}中， a1=1,a3+a5=14，其前 n 項和 Sn=100,則 n=（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 例 4、(xx 全國Ⅰ卷理)已知等差數(shù)列滿足， ，則它的前 10 項的和（ ） A．138 B．135 C．95 D．23 ※練習： 1、等差數(shù)列的前項和為，已知。 （1）求通項及前項和； （2）若，求。 2、在等差數(shù)列中， ，則=……（ ） A、 24 B、 22 C、 20 D、-8 3、一個等差數(shù)列的前 10 項和為 100，前 100 項和為 10，則前 110 項和為 4、 （xx 福建卷理）等差數(shù)列的前 n 項和為，且 =6，=4， 則公差 d 等于……（ ）A． B C.- 2 D 3 5、 （xx 寧夏海南卷理）等比數(shù)列的前 n 項和為，且 4，2，成等差列。若=1，則=……（ ） （A）7 （B）8 （3）15 （4）16 6、xx 寧夏海南卷理）等差數(shù)列{}前 n 項和為。已知+-=0，=38,則 m=_______ 7、(xx 海南、寧夏文)已知{a n}為等差數(shù)列，a 3 + a8 = 22，a 6 = 7，則 a5 = _____ 8、已知等差數(shù)列中， ，前 10 項和。 （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若從數(shù)列中依次取出第 2，4，8，……， ，……項，按原來的順序排列成一個 新的數(shù)列，試求新的數(shù)列的前項和 9、等差數(shù)列的前項和為，若，則 ；一般地，若，則 10、設是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 80,1532321??aa，則等于……（ ） A、 120 B、 105 C、 90 D、75 10、下表給出一個“等差數(shù)陣”： 4 7 （ ） （ ） （ ） …… …… 7 12 （ ） （ ） （ ） …… …… （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） …… …… （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第行第列的數(shù)。 （1）寫出的值； （2）寫出的計算公式，以及 xx 這個數(shù)在等差數(shù)陣中所在的一個位置。 11、已知，數(shù)列的前項和為，點在曲線上，且， （1）求數(shù)列的通項公式 （2）數(shù)列的首項，前項和為，且 3816221????naTn，求數(shù)列 的通項公式 ★ 等差數(shù)列的判定等差數(shù)列的判定 例 5、已知數(shù)列的前項和為，且滿足 ??21,021?????anSan 。 （1）求證：是等差數(shù)列； （2） 求的表達式。 ※練習： 1、已知數(shù)列滿足，令，求證：數(shù)列 是等差數(shù)列。 2、數(shù)列滿足，又，則使得為等差數(shù)列的實數(shù) 3、設實數(shù)，且函數(shù) ???????????axaxf 122有最小值，若數(shù)列的前項和，令?? ,3,242?nbn ，求證：數(shù)列是等差數(shù)列。 ★ 等差數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì) 例 6、 （1）設等差數(shù)列的前項和為，已知前 6 項和為 36,，最后 6 項和為 180，求數(shù)列的項數(shù) 及； （2）等差數(shù)列、設其前項和分別為 ，且，求的值。 （3）若，則 ； （4）若項數(shù)為奇數(shù)，且奇數(shù)項和為 44，偶數(shù)項和為 33，求數(shù)列的中間項及項數(shù)。 ※練習： 1、等差數(shù)列中， ，則 2、已知等差數(shù)列的前項和為為 377，項數(shù)為奇數(shù)，且前項奇數(shù)項和與偶數(shù)項和之比為:6，則 中間項為 3、等差數(shù)列中，已知 240),9(30,1849 ????nnSaS，則= 4、設是等差數(shù)列的前項和，已知，則等于……（ ） A、13 B、35 C、 49 D、63 5、在各項均不為零的等差數(shù)列中，若，則……（ ） A、-2 B、 0 C、 1 D、2 6、如果為各項都大于零的等差數(shù)列，公差，則……（ ） A、 B、 C、 D、 7、等差數(shù)列的奇數(shù)項和為 216，偶數(shù)項和為 192，首項為 1，項數(shù)為奇數(shù)，求此數(shù)列的末和 通項公式。 8、等差數(shù)列中，其前項和為， 20527,081 ???Sa，則的值為 9、 等差數(shù)列的公差為 2，若，則的值為 10、設是等差數(shù)列的前項和，若，則等于……（ ） A、 B、 C、 D、 11、 已知兩個等差數(shù)列、 ，其前項和分別為 ，且，則使得 為正整數(shù)的個數(shù)是……（ ） 。 A、 2 B、 3 C、4 D、5 ★ 等差數(shù)列的前項和的最值問題等差數(shù)列的前項和的最值問題 例 7、在等差數(shù)列中，已知，前項和為，且，求當取何值時， 取得最大值，并求出它的最大 值。 ※練習： 1、已知數(shù)列， （1）求證：是等差數(shù)列； （2）若，求數(shù)列的前項和為的最小值。 2、設等差數(shù)列的前項和為已知。 （1）求公差的取值范圍； （2）中哪一個值最大？并說明理由。 3、在等差數(shù)列中，其前項和為，若，則在， ，……，中最大的是……（ ） A、 B、 C、 D、 4、在等差數(shù)列中， ，且，若的前項和為，則的最大值是……（ ） A、17 B、 18 C、 19 D、20 5、(xx 四川理)設等差數(shù)列的前項和為，若，則的最大值為___________。 6、已知是一個等差數(shù)列，且。 （1）求的通項公式 （2）求的前項和為的最大值