高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義課件 新人教版選修2-2.ppt

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1.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,第一章 1.1 變化率與導(dǎo)數(shù),1.理解曲線的切線的含義. 2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 3.會(huì)求曲線在某點(diǎn)處的切線方程. 4.理解導(dǎo)函數(shù)的定義，會(huì)用定義法求簡單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測 自查自糾,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 曲線的切線,,答案,切線,如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線y＝f(x)無限趨近于點(diǎn)P時(shí)，割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的 .,(1)曲線y＝f(x)在某點(diǎn)處的切線與該點(diǎn)的位置有關(guān)； (2)曲線的切線，并不一定與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，可以有多個(gè)，甚至可以有無窮多個(gè).,,答案,思考 有同學(xué)認(rèn)為曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線l與曲線y＝f(x)只有一個(gè)交點(diǎn)，你認(rèn)為正確嗎？,答案 不正確.曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線l與曲線y＝f(x)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定只有一個(gè)，如圖所示.,函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)(x0，f(x0))處切線的 .,知識(shí)點(diǎn)二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義,,答案,斜率,答案 函數(shù) f(x)在x0處有導(dǎo)數(shù)，則在該點(diǎn)處函數(shù) f(x)表示的曲線必有切線，且在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是該切線的斜率.函數(shù) f(x)表示的曲線在點(diǎn)(x0，f(x0))處有切線，但函數(shù) f(x)在該點(diǎn)處不一定可導(dǎo)，如 f(x)＝ 在x＝0處有切線，但不可導(dǎo).,,答案,思考 (1)曲線的割線與切線有什么關(guān)系？,答案 曲線的切線是由割線繞一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)割線與曲線的另一交點(diǎn)無限接近這一點(diǎn)時(shí)趨于的直線.曲線的切線并不一定與曲線有一個(gè)交點(diǎn).,(2)曲線在某點(diǎn)處的切線與在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？,知識(shí)點(diǎn)三 導(dǎo)函數(shù)的概念,,答案,對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)確定的數(shù)，這樣，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)便是關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)，稱它為函數(shù) y＝f(x)的 ，簡稱導(dǎo)數(shù)，也可記作y′， 函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù) 就是函數(shù)y＝f(x)在開區(qū)間(a，b)(x∈(a，b))上的導(dǎo)數(shù)f′(x)在x＝x0處的函數(shù)值，即 ＝f′(x0)，所以函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)也記作f′(x0).,導(dǎo)函數(shù),,思考 如何正確理解“函數(shù)f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)”“導(dǎo)函數(shù)”“導(dǎo)數(shù)”三者之間的區(qū)別與聯(lián)系？,,返回,答案,答案 “函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個(gè)數(shù)值，是針對(duì)x0而言的，與給定的函數(shù)及x0的位置有關(guān)，而與Δx無關(guān)； “導(dǎo)函數(shù)”簡稱為“導(dǎo)數(shù)”，是一個(gè)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)是對(duì)一個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)確定的函數(shù)，依賴于函數(shù)本身，而與x，Δx無關(guān).,題型探究 重點(diǎn)突破,題型一 求曲線的切線方程,,解析答案,反思與感悟,1.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程 例1 求曲線y＝f(x)＝x3－x＋3在點(diǎn)(1,3)處的切線方程.,解 因?yàn)辄c(diǎn)(1,3)在曲線上，過點(diǎn)(1,3)的切線的斜率為,故所求切線方程為y－3＝2(x－1)， 即2x－y＋1＝0.,,反思與感悟,若求曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程，其切線只有一條，點(diǎn)P(x0，y0)在曲線y＝f(x)上，且是切點(diǎn)，其切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0).,,,解析答案,,解析答案,(2)曲線y＝f(x)＝x3在點(diǎn)P處切線斜率為3，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .,解析 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ，則有,∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,1)或(－1，－1).,(－1，－1)或(1,1),,解析答案,2.求曲線過某點(diǎn)的切線方程 例2 求過點(diǎn)(－1，－2)且與曲線y＝2x－x3相切的直線方程.,反思與感悟,,解析答案,又∵切線過點(diǎn)(－1，－2)，,反思與感悟,,即19x＋4y＋27＝0. 綜上可知，過點(diǎn)(－1，－2)且與曲線相切的直線方程為 y＝2x或19x＋4y＋27＝0.,反思與感悟,,反思與感悟,若題中所給點(diǎn)(x0，y0)不在曲線上，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 求過點(diǎn)P(3,5)且與曲線y＝x2相切的直線方程.,,解析答案,設(shè)所求切線的切點(diǎn)為A(x0，y0). ∵點(diǎn)A在曲線y＝x2上， ∴y0＝ . 又∵A是切點(diǎn)， ∴過點(diǎn)A的切線的斜率y′| ＝2x0. ∵所求切線過P(3,5)和A(x0，y0)兩點(diǎn)，,,解得x0＝1或x0＝5. 從而切點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,1)或(5,25). 當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線的斜率為k1＝2x0＝2； 當(dāng)切點(diǎn)為(5,25)時(shí)，切線的斜率為k2＝2x0＝10. ∴所求的切線有兩條，方程分別為y－1＝2(x－1)和y－25＝10(x－5)， 即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0.,題型二 求導(dǎo)函數(shù),,解析答案,解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x),反思與感悟,,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練3 已知函數(shù)f(x)＝x2－1，求f′(x)及f′(－1).,解 因Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(x＋Δx)2－1－(x2－1) ＝2Δxx＋(Δx)2，,得f′(x)＝2x，f′(－1)＝－2.,題型三 導(dǎo)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用,,反思與感悟,例4 設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲線y＝f(x)的斜率最小的切線與直線12x＋y＝6平行，求a的值.,解 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1) ＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，,由題意知f′(x)最小值是－12，∴－9－ ＝－12，a2＝9， ∵a＜0，∴a＝－3.,解析答案,,與導(dǎo)數(shù)的幾何意義相關(guān)的題目往往涉及解析幾何的相關(guān)知識(shí)，如直線的方程、直線間的位置關(guān)系等，因此要綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解題.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練4 (1)已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的圖象如圖所示，記k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝f(2)－f(1)，則k1，k2，k3之間的大小關(guān)系為 .(請用“＞”連接),k1＞k3＞k2,解析 結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，k1就是曲線在點(diǎn)A處切線的斜率， k2則為在點(diǎn)B處切線的斜率， 而k3則為割線AB的斜率，由圖易知它們的大小關(guān)系.,,解析答案,,,,解析答案,因?qū)Α霸谀滁c(diǎn)處”“過某點(diǎn)”分不清致誤,例5 已知曲線y＝f(x)＝x3上一點(diǎn)Q(1,1)，求過點(diǎn)Q的切線方程.,返回,防范措施,,易錯(cuò)易混,,錯(cuò)解 因y′＝3x2，f′(1)＝3. 故切線方程為3x－y－2＝0. 錯(cuò)因分析 上述求解過程中，忽略了當(dāng)點(diǎn)Q不是切點(diǎn)這一情形，導(dǎo)致漏解. 正解 當(dāng)Q(1,1)為切點(diǎn)時(shí)， 可求得切線方程為y＝3x－2. 當(dāng)Q(1,1)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為P(x0， )，,解析答案,防范措施,,所以(x0－1)2(2x0＋1)＝0，,綜上，所求切線的方程為3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.,防范措施,,,解題前，養(yǎng)成認(rèn)真審題的習(xí)慣，其次，弄清“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”，點(diǎn)Q(1,1)盡管在所給曲線上，但它可能是切點(diǎn)，也可能不是切點(diǎn).,返回,防范措施,,當(dāng)堂檢測,1,2,3,4,5,1.下列說法中正確的是( ) A.和曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是曲線的切線 B.和曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)的直線一定不是曲線的切線 C.曲線的切線與曲線不可能有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) D.曲線的切線與曲線有可能有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn),,D,解析答案,1,2,3,4,5,,2.已知曲線y＝f(x)＝2x2上一點(diǎn)A(2,8)，則點(diǎn)A處的切線斜率為( ) A.4 B.16 C.8 D.2,C,解析答案,即k＝8.,1,2,3,4,5,,3.若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則( ) A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1 C.a＝1，b＝－1 D.a＝－1，b＝－1,解析答案,A,∴a＝1. 又(0，b)在切線上， ∴b＝1，故選A.,1,2,3,4,5,,解析答案,A.30 B.45 C.135 D.165,B,∴y′|x＝1＝1.∴點(diǎn)P處切線的斜率為1，則切線的傾斜角為45.,1,2,3,4,5,,解析答案,5.已知曲線y＝f(x)＝2x2＋4x在點(diǎn)P處的切線斜率為16，則P點(diǎn)坐標(biāo)為 .,(3,30),令4x0＋4＝16得x0＝3， ∴P(3,30).,,課堂小結(jié),,返回,2.“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”是一個(gè)數(shù)值，不是變數(shù)，“導(dǎo)函數(shù)”是一個(gè)函數(shù)，二者有本質(zhì)的區(qū)別，但又有密切關(guān)系，f′(x0)是其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)在x＝x0處的一個(gè)函數(shù)值. 3.利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，要注意已知點(diǎn)是否在曲線上.如果已知點(diǎn)在曲線上，則以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知點(diǎn)不在切線上，則設(shè)出切點(diǎn)(x0，f(x0))，表示出切線方程，然后求出切點(diǎn).,