高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.5.1-1.5.2 曲邊梯形的面積、定積分課件 蘇教版選修2-2.ppt

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1.5.1 曲邊梯形的面積 1.5.2 定積分,第 1章 1.5 定積分,1.了解定積分的概念. 2.理解定積分的幾何意義. 3.通過求曲邊梯形面積的過程和解決有關汽車行駛路程問題的過程，了解“以直代曲”“以不變代變”的思想.4.能用定積分的定義求簡單的定積分.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 曲邊梯形的面積和汽車行駛的路程 1.曲邊梯形的面積 (1)曲邊梯形：由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線 所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖①所示).,,答案,y＝f(x),(2)求曲邊梯形面積的方法 把區(qū)間[a，b]分成許多小區(qū)間，進而把曲邊梯形拆分為一些 ，對每個 “以直代曲”，即用矩形的面積近似 代替 的面積，得到每個小曲邊梯形面積的 ，對這些近似值 ，就得到曲邊梯形面積的 (如圖②所示). (3)求曲邊梯形面積的步驟：① ，② ，③ ，④ . 2.求變速直線運動的(位移)路程 如果物體做變速直線運動，速度函數(shù)v＝v(t)，那么也可以采用 ，____ ， ， 的方法，求出它在a≤t≤b內所作的位移s.,,答案,小曲邊梯形,小曲邊梯形,小曲邊梯形,近似值,求和,近似值,分割,以直代曲,作和,逼近,分割,以直,代曲,作和,逼近,,思考 (1)如何計算下列兩圖形的面積？,答案,答案 ①直接利用梯形面積公式求解. ②轉化為三角形和梯形求解.,,(2)求曲邊梯形面積時，對曲邊梯形進行“以直代曲”，怎樣才能盡量減小求得的曲邊梯形面積的誤差？ 答案 為了減小近似代替的誤差，需要先分割再分別對每個小曲邊梯形“以直代曲”，而且分割的曲邊梯形數(shù)目越多，得到的面積的誤差越小.,答案,,知識點二 定積分的概念 設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上有定義，將區(qū)間[a，b]等分成n個小區(qū)間，每個小區(qū)間長度為Δx(Δx＝ )，在每個小區(qū)間上取一點，依次為x1，x2，…，xi，…，xn，作和Sn＝f(x1)Δx＋f(x2)Δx＋…＋f(xi)Δx＋…＋f(xn)Δx，如果當Δx→0(亦即n→＋∞)時，Sn→S(常數(shù))，那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作S＝ .其中a與b分別叫做 與 ，區(qū)間[a，b]叫做 ，函數(shù)f(x)叫做 ，x叫做 ，f(x)dx叫做 .,答案,積分下限,積分上限,積分區(qū)間,被積函數(shù),積分變量,被積式,,思考 (1)如何理解定積分？ 答案 定積分是一個數(shù)值(極限值)，它的值僅僅取決于被積函數(shù)與積分的上、下限，而與積分變量用什么字母表示無關，,答案,,答案,答案 ①分割：將區(qū)間[a，b]n等分，記第i個小區(qū)間為[xi－1，xi]，區(qū)間長度Δx＝xi－xi－1；,③逼近.,,知識點三 定積分的幾何意義與性質 1.定積分的幾何意義 由直線x＝a，x＝b(ab)，x軸及一條曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積設為S，則有： (1)在區(qū)間[a，b]上，若f(x)≥0， 則S＝ ，如圖(1)所示， 即 . (2)在區(qū)間[a，b]上，若f(x)≤0， 則S＝ ，如圖(2)所示， 即 .,答案,,答案,即 (SA，SB表示所在區(qū)域的面積).,,答案,返回,思考 設v＝v(t)在時間區(qū)間[t1，t2]上連續(xù)且恒有v(t)≥0，定積分 的意義是什么？ 答案 定積分 表示做變速直線運動的物體在時間區(qū)間[t1，t2]內經過的路程，這就是定積分 的物理意義.,,,,,題型探究 重點突破,,解析答案,題型一 對定積分的理解 例1 用定積分的定義求曲線y＝x3＋1與x＝0，x＝1及y＝0所圍成的曲邊梯形的面積.,,過各區(qū)間端點作x軸的垂線，從而得到n個小曲邊梯形，它們的面積分別記為ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.,解析答案,,解析答案,反思與感悟,,反思與感悟,對圖形進行分割實現(xiàn)了把求不規(guī)則的圖形面積化歸為矩形面積，但這僅是近似值，分割得越細，近似程度就會越高，這就是“以直代曲”方法的應用.,,解析答案,跟蹤訓練1 求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形的面積.,,解析答案,解 (1)分割： 將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，,過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.,,(2)以直代曲： 用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積.,為了計算方便取xi為小區(qū)間的左端點，,解析答案,,解析答案,(3)作和： 因為每一個小矩形的面積都可以作為相應的小曲邊梯形面積的近似值， 所以n個小矩形面積的和，就是曲邊梯形面積S的近似值.,(4)逼近： 當分點數(shù)目愈多，即Δx愈小時，和式①的值就愈接近曲邊梯形的面積S， 因此，當n→＋∞，即Δx→0時，和式①的逼近值就是所求曲邊梯形的面積.,,解析答案,題型二 求汽車行駛的路程 例2 汽車以速度v做勻速直線運動時，經過時間t所行駛的路程為s＝vt.如果汽車做變速直線運動，在時刻t的速度為v(t)＝t2＋2(v的單位：km/h，t的單位：h)，那么它在1≤t≤2這段時間內行駛的路程s(單位：km)是多少？,反思與感悟,,解 將區(qū)間[1,2]等分成n個小區(qū)間，,反思與感悟,,反思與感悟,利用類比轉化的思想，把求汽車行駛的路程轉化為求時間—速度坐標系中的曲邊梯形的面積，再用求曲邊梯形的面積方法來解決此問題.,,解析答案,跟蹤訓練2 一物體自200 m高空自由落下，求它在開始下落后的第3秒至第6秒之間的距離.(g＝9.8 m/s2).,解 自由落體的下落速度為v(t)＝gt.,以左端點函數(shù)值作為該區(qū)間的速度.,故該物體在下落后第3 s至第6 s之間的距離是132.3 m.,,解析答案,題型三 由定積分的幾何意義求定積分 例3 利用定積分的幾何意義，求：,以3為半徑的上半圓，如圖(1)所示.,,解析答案,解 在坐標平面上，f(x)＝2x＋1為一條直線.,反思與感悟 利用定積分的幾何意義求定積分，關鍵是準確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關的幾何知識求面積，求不規(guī)則圖形的面積常用分割法，注意分割點的選取.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練3 利用定積分的幾何意義計算.,解 如圖①所示，定積分為圖中陰影部分面積A減去B.,解 如圖②所示，定積分為圖中陰影部分面積，,,例4 如圖所示，f(x)在區(qū)間[a，b]上，則陰影部分的 面積S為 .,易錯易混,因對定積分的幾何意義理解不準確致誤,解析答案,返回,防范措施,,錯解 錯填①或②或③. 錯因分析 錯誤的原因在于對定積分的幾何意義不理解或理解不夠透徹.,防范措施,若在[a，c]上，f(x)≤0，在[c，b]上，f(x)≥0，,,返回,,定積分的幾何意義是在x軸上半部計算的面積取正值，在x軸下半部計算的面積取負值.,防范措施,,當堂檢測,1,2,3,4,解析答案,1.把區(qū)間[1,3]n等分，所得n個小區(qū)間的長度均為 .,,①與f(x)和積分區(qū)間[a，b]有關，與ξi的取法無關； ②與f(x)有關，與區(qū)間[a，b]以及ξi的取法無關； ③與f(x)以及ξi的取法有關，與區(qū)間[a，b]無關； ④與f(x)、積分區(qū)間[a，b]和ξi的取法都有關.,①,答案,1,2,3,4,,3.求由曲線y＝ x2與直線x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形面積時，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個小區(qū)間的左端點)是 .,解析答案,1.02,1,2,3,4,,4.根據(jù)定積分的幾何意義，用不等號連接下列式子：,答案,,,1,2,3,4,,課堂小結,1.求曲邊梯形面積和汽車行駛的路程的步驟： (1)分割：n等分區(qū)間[a，b]； (2)以直代曲：取點ξi∈[xi－1，xi]；,(4)逼近.“以直代曲”也可以用較大的矩形來代替曲邊梯形，為了計算方便，可以取區(qū)間上的一些特殊點，如區(qū)間的端點(或中點).,,返回,3.可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定積分；對于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分. 4.定積分的幾何性質可以幫助簡化定積分運算.,