高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用章末復習提升課件 蘇教版選修2-2.ppt
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第 1章 導數(shù)及其應用,章末復習提升,1.理解導數(shù)的定義與計算. 2.掌握導數(shù)的應用. 3.學會定積分的概念、運算、應用.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 導數(shù)的運算及幾何意義 1.函數(shù)f(x)在x=x0處導數(shù):,,答案,f′(x0),函數(shù)f(x)的導數(shù):,f′(x),2.導數(shù)的幾何意義:曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處的切線斜率等于 ,其切線方程為 .,f(x0),y-f(x0)=f′(x0)(x-x0),,3.函數(shù)的求導公式:(C)′= ,(xn)′= . (sin x)′= ,(cos x)′= ,(ax)′= , (ex)′= ,(logax)′= ,(ln x)′= . 4.導數(shù)的四則運算法則:[f(x)g(x)]′=f′(x)g′(x), [f(x)g(x)]′= , = (g(x)≠0).,0,nxn-1,cos x,-sin x,axln a,ex,f′(x)g(x)+f(x)g′(x),答案,,答案,知識點二 導數(shù)的應用 1.函數(shù)的單調性:在區(qū)間(a,b)內,f′(x)>0,則f(x) ;f′(x)<0,則f(x) . 2.函數(shù)的極值:f′(x0)=0,在x0附近,從左到右,f′(x)的符號由正到負,f(x0)為 ;由負到正,f(x0)為 . 3.函數(shù)的最值:閉區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)y=f(x),最值在______ 或 處取得,最大的為最大值,最小的為最小值. 4.生活中的優(yōu)化問題(導數(shù)的實際應用).,遞增,遞減,極大值,極小值,極值點,區(qū)間端點,,知識點三 定積分概念、運算和應用,定積分,定積分的概念,定積分的運算,定積分的性質,定積分的幾何意義,微積分基本定理 = (其中F′(x)=f(x),,,定積分的應用,,幾何中的應用:求平面圖形的面積,物理中 的應用,求變速直線運動的路程 求變力做功,,F(b)-F(a),答案,返回,題型探究 重點突破,,解析答案,題型一 解決與切線有關的問題 例1 已知函數(shù)f(x)=ex-ax(a為常數(shù))的圖象與y軸交于點A,曲線y=f(x)在點A處的切線斜率為-1. (1)求a的值及函數(shù)f(x)的極值;,解 由f(x)=ex-ax,得f′(x)=ex-a. 所以f(x)=ex-2x,f′(x)=ex-2. 當xln 2時,f′(x)0,f(x)單調遞減; 所以當x=ln 2時,f(x)取得極小值, 且極小值f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4,f(x)無極大值.,又f′(0)=1-a=-1,得a=2.,令f′(x)=0,得x=ln 2.,當xln 2時,f′(x)0,f(x)單調遞增.,,解析答案,(2)證明:當x0時,x20. 故g(x)在R上單調遞增, 又g(0)=10, 因此,當x0時,g(x)g(0)0,即x2ex.,反思與感悟,,反思與感悟,高考中求切線方程問題主要有以下兩種類型: 類型1 求“在”曲線y=f(x)上一點P(x0,y0)的切線方程(高考常考類型).則點P(x0,y0)為切點,當切線斜率存在(即函數(shù)f(x)在x0處可導)時,切線斜率為k=f′(x0),有唯一的一條切線,對應的切線方程為y-y0=f′(x0)(x-x0);當切線斜率不存在時,對應的切線方程為x=x0.,,反思與感悟,,類型2 求“過”曲線y=f(x)上一點P(x0,y0)的切線方程,則切線經過點P,點P可以是切點,也可以不是切點.這樣的直線可能有多條,解決問題的關鍵是設切點,利用“待定切點法”,即:①設點A(x1,y1)是曲線y=f(x)上的一點,則以A為切點的切線方程為y-y1=f′(x1)(x-x1);②根據(jù)題意知點P(x0,y0)在切線上,點A(x1,y1)在曲線y=f(x)上,得到方程組,求出切點A(x1,y1),代入方程y-y1=f′(x1)(x-x1),,化簡即得所求的切線方程.,,解析答案,跟蹤訓練1 已知函數(shù)f(x)=x3+x-16. (1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線的方程;,解 ∵f(2)=23+2-16=-6, ∴點(2,-6)在曲線上. ∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, ∴在點(2,-6)處的切線的斜率為k=f′(2)=322+1=13, ∴切線的方程為y=13(x-2)+(-6), 即y=13x-32.,,解析答案,(2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經過原點,求直線l的方程及切點坐標.,解 設切點坐標為(x0,y0),,∴x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26, ∴k=3(-2)2+1=13, ∴直線l的方程為y=13x,切點坐標為(-2,-26).,,解析答案,題型二 利用導數(shù)求參數(shù)取值范圍問題 例2 設函數(shù)f(x)= x2+ex-xex. (1)求f(x)的單調區(qū)間;,解 函數(shù)f(x)的定義域為(-∞,+∞), f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex). 若x<0,則1-ex>0,∴f′(x)<0; 若x>0,則1-ex<0,∴f′(x)<0; 若x=0,則f′(x)=0. ∴f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù),即f(x)的單調減區(qū)間為(-∞,+∞).,,解析答案,(2)若當x∈[-2,2]時,不等式f(x)>m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍. 解 由(1)知f(x)在[-2,2]上單調遞減, ∴f(x)min=f(2)=2-e2. ∴當m<2-e2時,不等式f(x)>m恒成立.,反思與感悟,,反思與感悟,利用導數(shù)確定參數(shù)的取值范圍時,要充分利用f(x)與其導數(shù)f′(x)之間的對應關系,然后結合函數(shù)的單調性等知識求解. 求解參數(shù)范圍的步驟為: (1)對含參數(shù)的函數(shù)f(x)求導,得到f′(x); (2)若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調遞增,則f′(x)≥0恒成立;若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調遞減,則f′(x)≤0恒成立,得到關于參數(shù)的不等式,解出參數(shù)范圍; (3)驗證參數(shù)范圍中取等號時,是否恒有f′(x)=0.若f′(x)=0恒成立,則函數(shù)f(x)在(a,b)上為常函數(shù),舍去此參數(shù)值.,,解析答案,(1)若f(x)在定義域上單調遞增,求實數(shù)a的取值范圍;,由題意知f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴ax2-ln x+1≥0在(0,+∞)上恒成立,,當x∈(0,x0)時,h′(x)>0,函數(shù)h(x)單調遞增; 當x∈(x0,+∞)時,h′(x)<0,函數(shù)h(x)單調遞減. ∴h(x)在x0= 處取得最大值.,,解析答案,(2)若函數(shù)g(x)=xf(x)有唯一零點,試求實數(shù)a的取值范圍.,,解析答案,解 由題意知g(x)=xf(x)=ax2+x+ln x=0,,故當x∈(0,1)時,R(x)<0,φ′(x)<0,函數(shù)φ(x)單調遞減;,且易得R(1)=0,,當x∈(1,+∞)時,R(x)>0,φ′(x)>0,函數(shù)φ(x)單調遞增. 故φ(x)≥φ(1)=-1. 又當x→0時,φ(x)→+∞, 而當x→+∞時,φ(x)→0且φ(x)<0,可得如圖所示的圖象. 故滿足條件的實數(shù)a的取值范圍為{a|a≥0或a=-1}.,,解析答案,題型三 利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值問題,(1)若f(x)在x=2時取得極值,求a的值;,因為f(x)的定義域是(0,+∞),所以當x∈(0,2)時,f′(x)<0; 當x∈(2,+∞),f′(x)>0, 所以當a=4時,x=2是一個極小值點,故a=4.,,解析答案,(2)求f(x)的單調區(qū)間;,所以當a≤0時,f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,+∞).,,解析答案,反思與感悟 有關函數(shù)極值、最值問題,需注意求解思路與方法,理解構造函數(shù)在解(證)題中的靈活運用.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練3 已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+bx在區(qū)間(-2,1)內,當x=-1時取極小值,當x= 時取極大值. (1)求函數(shù)y=f(x)在x=-2時的對應點的切線方程;,解 f′(x)=-3x2+2ax+b.,x=-2時,f(x)=2,即(-2,2)在曲線上. 又切線斜率為k=f′(x)=-3x2-x+2,f′(-2)=-8, 所求切線方程為y-2=-8(x+2),即為8x+y+14=0.,,解析答案,(2)求函數(shù)y=f(x)在[-2,1]上的最大值與最小值.,解 x在變化時,f′(x)及f(x)的變化情況如下表:,,例4 現(xiàn)有一批貨物由海上A地運往B地,已知輪船的最大航行速度為35海里/小時,A地至B地之間的航行距離約為500海里,每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成,輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6),其余費用為每小時960元. (1)把全程運輸成本y(元)表示為速度x(海里/小時)的函數(shù); (2)為了使全程運輸成本最小,輪船應以多大速度行駛?,易錯易混,解實際問題時因忽略定義域致誤,解析答案,返回,防范措施,,解析答案,防范措施,令y′=0,解得x=40或x=-40(舍去). 當0<x<40時,y′<0;當x>40時,y′>0.,故為了使全程運輸成本最小,輪船應以40海里/小時的速度行駛.,,解析答案,防范措施,錯因分析 解應用題最關鍵的就是要表達清楚模型的函數(shù)關系式,這其中就包括函數(shù)的定義域.定義域一定要根據(jù)題目的條件,考慮自變量的實際意義.本題錯解就是因為忽略了定義域導致最后的解題錯誤.,令y′=0,解得x=40或x=-40(舍去).,因為函數(shù)的定義域為(0,35],所以函數(shù)在定義域內沒有極值.,,防范措施,又當0<x≤35時,y′<0,,故為了使全程運輸成本最小,輪船應以35海里/小時的速度行駛.,,正確確定自變量的取值范圍,在解題過程中,要在其允許取值范圍內求解.,,返回,防范措施,,當堂檢測,1,2,3,4,5,解析答案,1.函數(shù)f(x)=(2πx)2的導數(shù)是 .,解析 因f(x)=4π2x2,故f′(x)=8π2x.,f′(x)=8π2x,,解析答案,1,2,3,4,5,2.函數(shù)f(x)=xe-x的單調遞增區(qū)間是 .,令f′(x)>0, 得x<1,故增區(qū)間為(-∞,1).,(-∞,1),,1,2,3,4,5,解析 由s′=t3-5t2+4t=0, 得t(t2-5t+4)=0,t(t-1)(t-4)=0,t1=0,t2=1,t3=4, 即t=0或1或4時,速度為0.,0或1或4,解析答案,,解析答案,1,2,3,4,5,4.用長為18 cm的鋼條圍成一個長方體形狀的框架,要求長方體的長與寬之 比為2∶1,則該長方體的長、寬、高分別為 時,其體積最大.,由V′=0得x=1或x=0(舍去). ∴x=1是函數(shù)V在(0,+∞)上唯一的極大值點,也是最大值點,,,解析答案,1,2,3,4,5,5.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點x=1處的切線為l:3x-y+1=0,若x= 時,y=f(x)有極值. (1)求a,b,c的值;,解 由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b. 由題意,當x=1時,切線的斜率為3,可得2a+b=0. ①,可得4a+3b+4=0. ② 由①②解得a=2,b=-4, ∴1+a+b+c=4,∴c=5.,由于切點橫坐標為1,∴f(1)=4,,故a=2,b=-4,c=5.,,解析答案,(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.,解 由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,,∴f′(x)=3x2+4x-4.,當x變化時,y,y′的變化情況如下表:,1,2,3,4,5,,課堂小結,,返回,1.可導函數(shù)f(x)在x0處取得極值的充分必要條件是f′(x0)=0且f ′(x)在x0兩側的符號不同,f′(x0)=0是x0為極值點的必要不充分條件,函數(shù)極值是一個局部概念,求極值時經常把f′(x)=0的點附近函數(shù)值的變化情況列成表格. 2.一些求參數(shù)取值范圍的問題,常轉化為恒成立問題,利用f(x)<a恒成立?f(x)max<a和f(x)>a恒成立?f(x)min>a的思想解題.存在或有解問題,如f(x)<a有解?a>f(x)min和f(x)>a有解?a<f(x)max成立.,- 配套講稿:
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